1.?數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程猶如一場馬拉松比賽。我們今天的課程，帶領(lǐng)大家從另一個視角來探尋他們的美妙之處。微積分（Calculus）是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分（Differentiation）、積分（Integration）以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。它是數(shù)學(xué)的一個基礎(chǔ)學(xué)科。內(nèi)容主要包括極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用。
我們先來做個小調(diào)查，經(jīng)過這些年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，你們對數(shù)學(xué)有什么感受？抽象，神奇等等。那我們今天，希望帶領(lǐng)大家探尋所學(xué)知識點(diǎn)背后的來龍去脈，了解了每一個問題所處的時代背景，就會明白每一個數(shù)學(xué)符號的背后，都有無數(shù)數(shù)學(xué)家的心血。這樣也就不會感受到數(shù)學(xué)是枯燥的。
2.?我們今天圍繞著微分和積分展開，具體而言微分學(xué)包括求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，是一套關(guān)于變化率的理論。它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進(jìn)行討論。積分學(xué)，包括求積分的運(yùn)算，為定義和計(jì)算面積、體積等提供一套通用的方法。
3.?首先，我們來看第一部分，這部分我們著重探討三個問題。
4.?首先做個小調(diào)查
我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)微積分呢？咱們小學(xué)和中學(xué)階段學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識是不是已經(jīng)夠我們?nèi)粘Ｉ钪杏昧?？大家可以說說小學(xué)階段都學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)知識嗎？對的，我們還是在算數(shù)的范圍內(nèi)，這是我們?nèi)祟悗兹f年的知識。中學(xué)階段，我們學(xué)習(xí)了代數(shù)，字母表示數(shù)，一些初步的方程和函數(shù)，這是我們?nèi)祟悗浊甑闹R成果。
請大家看看這幾個實(shí)際問題能不能用中學(xué)的知識解決呢？
(1)?求變速運(yùn)動的瞬時速度，比如行星橢圓軌跡運(yùn)行時的瞬時速度。我們回到求解瞬時速度的問題，大家說說我們可以通過什么方法求解呢？是不是讓時間逐漸減小，那么這一過程就是稱為取極限的過程
(2)?求曲線上的某個點(diǎn)的切線，比如望遠(yuǎn)鏡設(shè)計(jì)時要確定透鏡曲面的法線。而法向與切線垂直，因此先確定切線的方向。
(3)?求函數(shù)的最大、最小值，比如計(jì)算炮彈的最大射程。
那么這些涉及到描述變化和運(yùn)動的問題，僅用我們學(xué)習(xí)過的算數(shù)和代數(shù)問題就無法解決了，微分（Differentiation）、積分（Integration）可以幫助我們理解和解決類似的問題。另外、微積分也為物理、化學(xué)、地理和金融提供了有用的研究工具。
5.?微分（Differentiation）、積分（Integration），這其中包含的具體思想有哪些？對的，極限思想和分解思想，當(dāng)我們的時間取得很小，就可以計(jì)算相應(yīng)的瞬時速度，這就用到了極限的思想。而計(jì)算曲邊圖形的面積時，我們將其分解為多個曲邊梯形(trapezoid with curved edge)的面積之和，這就用到了分解和極限思想。
6.?我們看看，在實(shí)際生活中，是不是會用到微分（Differentiation）、積分（Integration）以及極限和分解思想（limit and decomposition thinking）呢？這里展示的是有限元軟件模擬出了飛機(jī)飛行時，機(jī)翼的振動，汽車撞擊實(shí)驗(yàn)和橋梁受載的情況。大家想想我們是如何用電腦去模擬飛機(jī)、汽車的真實(shí)運(yùn)動環(huán)境呢？大家觀察這些圖，看看能夠發(fā)現(xiàn)什么？
我們是用數(shù)量足夠多的微元體，來逼近真實(shí)的飛機(jī)結(jié)構(gòu)，以了解飛機(jī)、汽車、橋梁在受力過程中的承載性能。我們都可以借助這樣的思想來研究，這會極大的節(jié)約成本，且可以優(yōu)化結(jié)構(gòu)性能。
7.?大家有想過如何準(zhǔn)確模擬手機(jī)掉落在地上時的受力嗎？同樣根據(jù)前面的思想，用無窮多的單元去逼近手機(jī)和地面，在進(jìn)行計(jì)算。手機(jī)摔落實(shí)驗(yàn)的模擬，左端為沒有手機(jī)殼時，其受力情況，這些模擬背后是什么呢？是用足夠多的網(wǎng)格近似逼近真實(shí)物體，當(dāng)需要精細(xì)捕捉的地方，需要再次加細(xì)網(wǎng)格，如右圖所示。即體現(xiàn)極限和分解思想（limit and decomposition thinking）。
8.?具體給大家一個例子，在需要精細(xì)描述的地方，我們可以按需要對網(wǎng)格進(jìn)行不斷地細(xì)分。
9.?大家都接觸過現(xiàn)在很火且給我們生活帶來很大便利的人工智能。想想這些算法中是否會用到微分（Differentiation）、積分（Integration）呢？
目前的人工智能更多是基于機(jī)器學(xué)習(xí)，其中很多算法都需要微積分這個工具。相關(guān)概念有凸優(yōu)化、多元函數(shù)function of several variables、偏導(dǎo)Partial derivative、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中反向傳播使用的鏈?zhǔn)椒▌t(chain rule)、用多項(xiàng)式逼近描述高階導(dǎo)數(shù)的泰勒級數(shù)Taylor series、牛頓法、梯度下降法等等。當(dāng)然這些內(nèi)容就是和高階微積分相關(guān)的知識。這也說明，為了更好的適應(yīng)社會的發(fā)展，我們必須要把微積分學(xué)好。
10.?好的，有了上面的應(yīng)用背景，大家是不是感受到學(xué)習(xí)calculus的迫切重要性。那么，接下來，我們進(jìn)行微分（Differentiation）相關(guān)知識的學(xué)習(xí)。
11.?首先，咱們回想下課程開始的問題，如何計(jì)算瞬時速度。北京到上海的高鐵，高鐵到站后，車廂中，往往會顯式當(dāng)前列車的速度是多少。此時顯示的為瞬時速度，但請大家仔細(xì)想想，速度等于路程除以時間，此時，列車是停在站臺上的，路程是零，時間也是零，怎么還能算出來速度呢？
解決辦法：引入無窮小量，在非常短時間內(nèi)的路程。大家看看我們求平均速度的定義式和我們求解直線斜率的定義是不是一致？都是表示函數(shù)的變化量。
大家類比著上述思想討論下，我們?nèi)绾斡?jì)算某一點(diǎn)處切線的斜率呢？或者說求解切線斜率和這里考慮的瞬時速度有什么相同之處呢？
12.?大家看到，我們由平均速度求瞬時速度，由割線的斜率求切線的斜率，這都?xì)w結(jié)于求改變量之比的極限。我們接下來給出這種形式的極限的一般定義。大家從我們這里的動圖可以看出，導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是：用割線的斜率代替切線的斜率。
不知道大家之前是否接觸過導(dǎo)數(shù)。我們看如何用定義計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，這里給出一個簡單的例子。大家自己根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義算一下，看是否存在問題？
這里，我們在提一下高階導(dǎo)數(shù)，例如，二階導(dǎo)數(shù)是求兩次導(dǎo)數(shù)，就是對一階導(dǎo)數(shù)在求一次導(dǎo)數(shù)
13.?當(dāng)然，一些基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)經(jīng)過計(jì)算是有通用公式的，我們不用每次計(jì)算都去推導(dǎo)一遍。這里就不詳細(xì)推導(dǎo)了。
同時，我們也會遇到函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)，他們的公式也在這里。這都是可以通過嚴(yán)格證明得到的。
另外，關(guān)于復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，這也是需要大家能夠掌握的。這里有一個例子，大家可以試著算一下。我們將其拆分為基本初等函數(shù)逐層復(fù)合而成的函數(shù)。
我們做一個小練習(xí)，x^3的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)分別是多少？
14.?函數(shù)的單調(diào)性和最值（Monotonicity of functions and ）。有一個邊長為a的正方形板。 現(xiàn)在，從盤子的四個角上切下相同的小正方形，制成一個沒有蓋子的長方體容器。 為了使容積最大，截下的小正方形的邊長為多少？
首先請大家根據(jù)問題描述，列出問題的式子。我們可以看到這時候得到的函數(shù)并不方便畫出圖像。那如何借助我們已有的數(shù)學(xué)工具來幫助我們呢？剛剛學(xué)到的導(dǎo)數(shù)能夠幫助我們嗎？我們回到導(dǎo)數(shù)的定義，來看看，導(dǎo)數(shù)能不能體現(xiàn)處函數(shù)的增減性呢？根據(jù)導(dǎo)數(shù)的意義，我們可以判斷出取到極值的點(diǎn)。
具體而言，大家從導(dǎo)數(shù)的定義來看，當(dāng)函數(shù)是一個增函數(shù)的時候，我們計(jì)算出的導(dǎo)數(shù)值是大于零的；而函數(shù)是減函數(shù)時，我們計(jì)算的導(dǎo)數(shù)值為負(fù)數(shù)。那么在導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，就會取到極大值和極小值。簡言之，導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，可能是函數(shù)的最大值或者最小值點(diǎn)。
回到我們這里關(guān)心的問題，我們想要讓體積達(dá)到最大值，
當(dāng)然，這里要注意，我們需要用到乘法導(dǎo)數(shù)公式，或者直接展開各項(xiàng)求導(dǎo)，都可以。這里講到的知識點(diǎn)，大家都理解了嗎？
這時候，就體現(xiàn)了數(shù)學(xué)工具的強(qiáng)大性。當(dāng)然，這里只是一個簡單的例子。
15.?從本質(zhì)上講，人工智能的目標(biāo)就是最優(yōu)化：在復(fù)雜環(huán)境與多體交互中做出最優(yōu)決策。幾乎所有的人工智能問題最后都會歸結(jié)為一個優(yōu)化問題的求解，因而最優(yōu)化理論同樣是人工智能必備的基礎(chǔ)知識。最優(yōu)化理論（optimization）研究的問題是判定給定目標(biāo)函數(shù)的最大值（最小值）是否存在，并找到令目標(biāo)函數(shù)取到最大值（最小值）的數(shù)值。同樣，我們要找到芯片上晶體管的最優(yōu)排列數(shù)目，以保證他們發(fā)揮最大的性能。
擴(kuò)展大家的視野，我們求極值，當(dāng)問題可以用一元函數(shù)表示時，極值就是求一階導(dǎo)數(shù)。而用多元函數(shù)表述時，極值就是梯度。梯度是關(guān)于各個方向求導(dǎo)數(shù)。當(dāng)然，我們各種電子設(shè)備的芯片中晶體管數(shù)目如何排列，也屬于最優(yōu)化問題。
16.?問題：如果你駕車在一條限速為100公里/小時的公路上行駛，監(jiān)控儀證明你在半個小時內(nèi)跑了60公里，那么警察會給你開一張超速罰單嗎？大家說說看自己的想法和這樣想的原因，那如何用我們的數(shù)學(xué)知識來解決呢？
拉格朗日中值公式反映可導(dǎo)函數(shù)在[a,b]上整體平均變化率與在（a，b）內(nèi)某點(diǎn)處函數(shù)的局部變化率的關(guān)系。若從力學(xué)角度看，公式表示整體上的平均速度等于某一內(nèi)點(diǎn)處的瞬時速度。因此；拉格朗日中值定理是聯(lián)結(jié)局部與整體的紐帶。
因?yàn)槠骄俣?20公里/小時，而根據(jù)中值定理平均速度等于某一內(nèi)點(diǎn)處的瞬時速度，所以你在半個小時內(nèi)的某一時刻一定是達(dá)到了120公里/小時〉100公里/小時，也就是超速了
17.?再給出一道計(jì)算題目。大家計(jì)算一下這道題目，大家可以將這道題目，看作我們上面的問題中，如何確定出你超速的那一時刻?？纯词欠裼袉栴}。
微分中值定理在研究函數(shù)性態(tài)、討論方程的根、證明等式、證明不等式等方面都有應(yīng)用。
18.?上一部分，我們學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的概念和如何求函數(shù)的極值，以及中值定理的應(yīng)用和計(jì)算。接下來，我們進(jìn)入積分的學(xué)習(xí)。這部分分為四個小部分。積分的三種定義及其計(jì)算，變限積分的導(dǎo)數(shù)及其計(jì)算、微積分基本定理、旋轉(zhuǎn)體體積的計(jì)算。
19.?大家都計(jì)算過很多面積，看圖片中的例子，是不是都有相應(yīng)的計(jì)算公式。針對規(guī)則的多邊形，我們可以通過逐漸將其劃分為三角形來計(jì)算。如果是邊為曲線時，我們該如何計(jì)算呢？能不能找到類似簡單圖形的計(jì)算公式呢？大家有什么想法？可以互相討論下?？纯炊伎梢韵氤瞿男┺k法呢？
20.?同學(xué)提到了將圖形劃分，那我們來具體看看。
當(dāng)劃分的區(qū)間數(shù)逐漸增多時，就可以近似表示曲邊梯形的面積了。我們來看一個具體的例子。區(qū)間為(0,a)，我們將區(qū)間等間距的劃分為n等份。這時候，我們來劃分矩形，每一個小矩形寬就是a/n，那高取哪一個端點(diǎn)的數(shù)值呢？所以我們可以將端點(diǎn)分為兩類。
21.?計(jì)算出每一個小矩形的面積，再相加是不是就是我們需要的面積了，這里是分別以矩形的左端點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值為高。我們利用矩形面積的計(jì)算公式，可以得到。大家自己寫一些，如果以矩形的右端點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值為高，此時面積是什么樣呢？大家想一想，我們這兩種計(jì)算方法計(jì)算的面積一樣嗎？
當(dāng)然，這里只列出了兩種情況。在計(jì)算每一個小矩形的面積時，我們還可以取小區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值為高。當(dāng)然計(jì)算中，要求大家會將區(qū)間劃分為3-4個區(qū)間，分別以小區(qū)間左端點(diǎn)、中點(diǎn)和右端點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值為高，近似計(jì)算面積。
22.?大家計(jì)算計(jì)算一下這個例子，看看是不是理解了這里的概念。這里的左黎曼和，就是我們說到的用區(qū)間劃分的左端點(diǎn)做函數(shù)的高。
23.?那么，計(jì)算曲邊圖形的面積，有沒有一般公式呢？一般形式是什么樣呢？如圖所示。我們的積分號就是拉長了的求和符號s。這里符號的意思分別是積分上限，積分下限，和積分區(qū)間。大家想想，定積分的幾何意義是什么呢？是不是相當(dāng)于無窮多個矩形面積之和。我們最終計(jì)算的是什么？面積
24.?看到用定積分的定義求定積分是非常復(fù)雜的，有時候無法求出積分的精確值。根據(jù)定積分的幾何意義(即求面積)，我們可以得到一些簡單函數(shù)的積分值。這時候，我們來看微分和積分有什么關(guān)系。
那么積分上限是定值，如果是變化的函數(shù)，大家想想此時的面積是多少？如果面積變化時，依據(jù)定積分的幾何意義，此時的積分是多少，再求導(dǎo)數(shù)又是多少呢？這就是微積分基本定理，
大家看看，對這個定理理解了嗎？看看下面這個例子如何做
25.?我們來看看，導(dǎo)數(shù)和積分之間有什么關(guān)系，F(xiàn)函數(shù)是原函數(shù)，即F的導(dǎo)數(shù)是小f?？聪逻@個例子。
26.?接下來，我們看看積分在幾何中的應(yīng)用。大家討論下，花瓶內(nèi)部體積如何計(jì)算
27.?如果一個平面繞著一條線旋轉(zhuǎn)，所得到物體叫做旋轉(zhuǎn)體。通過剛才的例子，大家可以發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)體都是由二維平面旋轉(zhuǎn)得到的。我們看這里的示意圖，如果曲線繞著x軸旋轉(zhuǎn)，我們?nèi)〕雠cx軸垂直的面，這個面可以看作圓，他的面積是 。將所有這些面積累加，就可以得到我們需要的旋轉(zhuǎn)體的體積。大家試試看，這個簡單的例子，如何計(jì)算。
28.?關(guān)于積分部分的介紹就是這樣。接下來我們對所講的內(nèi)容進(jìn)行簡單的總結(jié)。
29.?我們主要關(guān)注微分和積分中的一些小知識點(diǎn)，希望能夠引起大家對數(shù)學(xué)的興趣。
29.?我們主要關(guān)注微分和積分中的一些小知識點(diǎn)，希望能夠引起大家對數(shù)學(xué)的興趣。
30.?莫比烏斯帶也被用于工業(yè)制造。一種從莫比烏斯帶得到靈感的傳送帶能使用更長的時間，因?yàn)榭梢愿玫睦谜麄€帶子，或者用于制造磁帶，可以承載雙倍的信息量
一張紙一定會有兩個面嗎？
實(shí)驗(yàn)1：任取一點(diǎn)，開始劃線，旋轉(zhuǎn)一周以后，會回到原點(diǎn)。
實(shí)驗(yàn)2：沿著剛剛畫的中線剪開，不會剪短邊界，反而會形成新的條帶
實(shí)驗(yàn)3：沿著三分之一剪開
31.
時代在變，人工智能的發(fā)展不斷挑戰(zhàn)著人們對于傳統(tǒng)學(xué)科的思考。然而，拋開知識點(diǎn)，良好的數(shù)學(xué)思維邏輯依然將是未來社會人才所必備的素質(zhì)。
解題即建立聯(lián)系。有人在解題的過程中，游刃有余，遇到障礙時，很容易找到克服障礙的工具或是找到繞過障礙的新路；有人卻顯得寸步維艱，一籌莫展。造成如此大區(qū)別的原因很多，有無足夠的數(shù)學(xué)知識是一個基本的原因。波利亞有一名言:?豐富而有條理的知識儲備是解題者的至寶。
你若想成為一名高手，就應(yīng)該盡量廣泛地吸收已有的數(shù)學(xué)知識，經(jīng)常地總結(jié)整理。這樣，在與具體問題進(jìn)行“搏殺”時，隨時都能拿出有針對性的法寶，克敵制勝。
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混知
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leettin1979
3
3
梯度，勢，場，保守場。
07-08 03:01
回復(fù)
歷史中的未來[作者]：嗯呢，在大學(xué)或者研究生階段，這些都是非常重要的，不過這些對高中生稍有復(fù)雜
呂曠wLeM：對,就是勢場,我把他和場的關(guān)系搞混了
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望秋月2010
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數(shù)學(xué)太抽象太難學(xué)了，壓根沒有幾個人能學(xué)好數(shù)學(xué)。對于90%以上的人來說，終其一生所用到的數(shù)學(xué)知識不會超過小學(xué)三年級
43分鐘前
回復(fù)
歷史中的未來[作者]：的確是
許嘉欣Gx
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轉(zhuǎn)發(fā)了
9小時前
回復(fù)
枝椏3l
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知識少看不了。
13分鐘前
回復(fù)
校尉鞋墊036
1
1
垂直x軸也可能是半圓
12小時前
回復(fù)
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