在非線性MIMO中想用凸優(yōu)化、最優(yōu)化等算法就要找到目標(biāo)函數(shù)，優(yōu)化條件等等，我先從最簡(jiǎn)單的Y=HX+N的模型入手，看看LS,MMSE等算法的用法，再拓展至非線性模型中。

通常無(wú)線信道估計(jì)分成兩大類(lèi)：無(wú)線信道狀態(tài)參數(shù)的估計(jì)、信道時(shí)域/頻域響應(yīng)的估計(jì)。因?yàn)閷?duì)信道中狀態(tài)參數(shù)、時(shí)/頻域響應(yīng)的估計(jì)，有助于恢復(fù)出接收到的數(shù)據(jù)，從而大大提高接收信號(hào)的質(zhì)量。在無(wú)線系統(tǒng)中，一般會(huì)采用相干檢測(cè)，為了實(shí)現(xiàn)相干檢測(cè)，要對(duì)信道進(jìn)行估計(jì)，接收端在已知 CSI 的條件下對(duì)信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)。

傳統(tǒng)的信道估計(jì)方法

（1）導(dǎo)頻輔助信道估計(jì)：在發(fā)送數(shù)據(jù)中插入一些已知的數(shù)據(jù)(可以為導(dǎo)頻)進(jìn)行信道估計(jì)，導(dǎo)頻輔助估計(jì)可被分為基于導(dǎo)頻和基于訓(xùn)練序列兩種信道估計(jì)。前者常用在連續(xù)傳輸數(shù)據(jù)的系統(tǒng)，在傳輸用戶(hù)數(shù)據(jù)中插入已知的導(dǎo)頻符號(hào)，可以得出相對(duì)應(yīng)導(dǎo)頻位置的信道估計(jì)結(jié)果，繼而得到用戶(hù)數(shù)據(jù)位置處的信道估計(jì)，從而完成導(dǎo)頻信道估計(jì)。導(dǎo)頻輔助信道估計(jì)優(yōu)點(diǎn)是即使在低復(fù)雜度時(shí)仍可以獲得很好的信道誤差性能。

（2）盲信道估計(jì)：通常用相應(yīng)的數(shù)據(jù)處理技術(shù)來(lái)估計(jì)信道，或是采用判決反饋的方法來(lái)進(jìn)行信道估計(jì)的方法。其突出缺點(diǎn)是運(yùn)算時(shí)間長(zhǎng)，收斂速度較慢，因此阻礙了它在實(shí)際中的應(yīng)用。

（3）半盲信道估計(jì)：該估計(jì)彌補(bǔ)了（2）中估計(jì)方法存在的不足，它采用較少訓(xùn)練序列來(lái)獲取信道信息。因此，對(duì)信道進(jìn)行估計(jì)可以通過(guò)設(shè)計(jì)訓(xùn)練序列，此外還可以采取在數(shù)據(jù)中按照周期地插入導(dǎo)頻符號(hào)的方法。

對(duì)三者稍作比較可知，（2）（3）中盲和半盲信道估計(jì)算法無(wú)需訓(xùn)練序列或者說(shuō)其需要較短的訓(xùn)練序列就能提高頻譜效率，因此在信道估計(jì)中獲得了廣泛的研究與應(yīng)用。但是一般盲和半盲估計(jì)方法的復(fù)雜度高，因此計(jì)算成本也隨之較高，這在某些程度上使它們的應(yīng)用受到了限制。

基于導(dǎo)頻的信道估計(jì)包括三種方法，如最小二乘法(Least Squares, LS)、最大似然（Maximum Likelihood，ML)和最小均方誤差法(Minimum Mean Square Error,? MMSE)。以經(jīng)典的 MIMO 信道為例，為發(fā)送端的導(dǎo)頻符號(hào)矩陣，為接收端的加性高斯白噪聲，該噪聲中元素是均值為0、方差為的隨機(jī)變量，接收端接收信號(hào),幾個(gè)接收天線上的信號(hào)表示如

1.最小二乘法（LS）信道估計(jì)

最小二乘法(Least-Square Method, LS)是一種數(shù)學(xué)上的方法，未知數(shù)據(jù)用 LS 能夠很容易地獲得，并且所獲得的數(shù)據(jù)與實(shí)際發(fā)送數(shù)據(jù)的平方誤差之和可以達(dá)到最小化。其他一些優(yōu)化問(wèn)題也可以用 LS 表示，其中包含最小能量和最大熵原理。LS 算法在估計(jì)信道時(shí)可以將待估計(jì)的問(wèn)題作為求出一個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題的解。

用信道估計(jì)值的均方誤差(Mean Square Error，MSE)來(lái)評(píng)估信道重建算法的恢復(fù)性能，其中 MSE 通常定義為估計(jì)值與真實(shí)值的差的平均二范數(shù)，定義如下:

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(3.5)

則通過(guò) LS 算法估計(jì)出的信道矩陣的 MSE 為:

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(3.6)

其中，是噪聲的方差，為導(dǎo)頻的方差。從上式可以看出MSE與成反比，因此，LS 信道估計(jì)會(huì)增強(qiáng)噪聲使誤差更大。由于在大規(guī)模 MIMO 系統(tǒng)中有數(shù)百個(gè)乃至更多的發(fā)射天線，LS 信道估計(jì)方法誤差太大，不適合用于信道估計(jì)。

2.最大似然（ML）估計(jì)

最大似然（Maximum likelihood method，ML）算法在估計(jì)理論中起著很重要的作用。針對(duì)上面提出的系統(tǒng)模型，如果要對(duì)信道矩陣采用ML方法進(jìn)行估計(jì)，首先需要得到似然函數(shù)或者。接下來(lái) ML 算法通過(guò)如下代價(jià)函數(shù)進(jìn)行信道估計(jì):

通過(guò)式(3.9)和(3.3)可以得到，當(dāng)加性高斯白噪聲均值為 0 時(shí)，ML 算法和 LS 算法的信道估計(jì)矩陣相同。因?yàn)闊o(wú)論是 LS 還是 ML 算法都是基于接收信息發(fā)送序列的一二階統(tǒng)計(jì)特性。當(dāng)高斯白噪聲為零均值時(shí)，接發(fā)送信息的一二階統(tǒng)計(jì)特性就足以描述出隨機(jī)過(guò)程。

3.最小均方誤差(MMSE)信道估計(jì)

利用 LS 信道估計(jì)求出的解，記。定義一個(gè)加權(quán)矩陣Q 使得 MMSE 信道估計(jì)為。最小均方誤差（Minimum Mean Square Error，MMSE）的信道估計(jì)可以表示為

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (3.10)

可以證明，選擇適當(dāng)?shù)募訖?quán)矩陣Q 使得上式中的 MSE 最小，誤差e與正交，即

與 LS 相比，MMSE 信道估計(jì)對(duì)噪聲能夠起到較好的抑制作用，但在信道相關(guān)性較強(qiáng)的時(shí)候，MMSE 信道估計(jì)的性能反而會(huì)嚴(yán)重下降，這一情況在低 SNR 的天線數(shù)目很大的時(shí)候更為嚴(yán)重。MMSE? 雖然可以用于相關(guān)性信道模型下，但信道的統(tǒng)計(jì)特性必須被提前知道。