矩母函數(shù)（Moment Generating Function)

矩母函數(shù)（Moment generating functions, mgfs)是關(guān)于t的函數(shù)，定義為：M_X(t) = E[e^{tX}].

矩母函數(shù)性質(zhì)：

  1. 唯一性。如果一個隨機變量存在mgf，則對于這個mgf，有且只有一個與該mgf相關(guān)的分布（即兩隨機向量有相同矩母函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同概率密度函數(shù)）。因此，矩母函數(shù)可以用于確定隨機變量的分布（證明？？？有空找一下證明）。
  2. 矩母函數(shù)M_X(t)n階導(dǎo)數(shù)并令t= 0，即可得到隨機變量的n階矩。
    證明如下：
    首先由泰勒級數(shù)可知：
    e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} +\frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^n}{n!}
    則可得到，
    e^{tx} = 1 + tx + \frac{(tx)^2}{2!} + \frac{(tx)^3}{3!} + \dots + \frac{(tx)^n}{n!}
    對上式取期望可得：
    E(e^{tx}) = E[1 + tx + \frac{(tx)^2}{2!} + \frac{(tx)^3}{3!} + \dots + \frac{(tx)^n}{n!}] = E[1] + tE[x] + \frac{t^2}{2!} E[x^2] + \frac{t^3}{3!} E[x^3] + \dots + \frac{t^n}{n!}E[x^n]
    對t取一階導(dǎo)，并求倒數(shù)在t=0處的結(jié)果，可得：
    \fracu0z1t8os{dt}E[e^{tx}] = \fracu0z1t8os{dt}(E[1] + tE[x] + \frac{t^2}{2!} + \frac{t^3}{3!} + \dots + \frac{t^n}{n!}E[x^n]) = E[x]
    其他階導(dǎo)數(shù)同樣可以求得X的n階矩。
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