凱利公式志在解決的問題-賭博游戲中的最佳倉位

一、 假設(shè)賭局1：你贏的概率是60%，輸?shù)母怕适?0%。贏時(shí)的凈收益率是100%，輸時(shí)的虧損率也是100%。也即：如果贏，那么你每賭1元可以贏得1元；如果輸，則每賭1元將會(huì)輸?shù)?元。賭局可以進(jìn)行無限次，每次下的賭注由你自己任意定。

? ? ? ? 問題：假設(shè)你的初始資金是100元，那么怎么樣下注？即：每次下注金額占本金的百分之多少，才能使得長期收益最大？

? ? ? 對于這個(gè)賭局，每次下注的期望收益是下注金額的60%*1-40%*1=20%，期望收益為正。也就是說這是一個(gè)對賭客占優(yōu)的賭局，而且占的優(yōu)勢非常大。

? ? ? 那么我們應(yīng)該怎么樣下注呢？

? ? ? 如果不進(jìn)行嚴(yán)密的思考，粗略的想象一下，我們會(huì)覺得既然我每次賭的期望收益是20%，那么為了實(shí)現(xiàn)長期的最大收益，我應(yīng)該在每次賭博中盡量放入更多比例的本金。這個(gè)比例的最大值是100%。

? ? ? 但是顯然每一局賭博都放入100%的本金是不合理的，因?yàn)橐坏┠囊淮钨€博賭輸了，那么所有的本金就會(huì)全部輸光，再也不能參加下一局，只能黯然離場。而從長期來看，賭輸一次這個(gè)事件必然發(fā)生，所以說長期來看必定破產(chǎn)。

? ? 所以說這里就得出了一個(gè)結(jié)論：只要一個(gè)賭局存在一下子把本金全部輸光的可能，哪怕這個(gè)可能非常的小，那么就永遠(yuǎn)不能滿倉。

? ? 因?yàn)殚L期來看，小概率事件必然發(fā)生，而且在現(xiàn)實(shí)生活中，小概率事件發(fā)生的實(shí)際概率要遠(yuǎn)遠(yuǎn)的大于它的理論概率。這就是金融學(xué)中的肥尾效應(yīng)。

二、回到賭局1。

? ? ? 既然每次下注100%是不合理的，那么99%怎么樣？如果每次下注99%，不但可以保證永遠(yuǎn)不會(huì)破產(chǎn)，而且運(yùn)氣好的話也許能實(shí)現(xiàn)很大的收益。實(shí)際情況是不是這個(gè)樣子呢？

? ? ? 我們先不從理論上來分析這個(gè)問題，我們可以來做個(gè)實(shí)驗(yàn)。我們模擬這個(gè)賭局，并且每次下注99%，看看結(jié)果會(huì)怎么樣。

? ? 這個(gè)模擬實(shí)驗(yàn)非常的簡單，用excel就能完成。請看下圖：

? ? ? ? 如上圖：第一列表示局?jǐn)?shù)，第二列為勝負(fù)。excel會(huì)按照60%的概率產(chǎn)生1，即：60%的概率凈收益率為1；40%的概率產(chǎn)生-1，即：40%的概率凈收益為-1。第三列為每局結(jié)束時(shí)賭客所有的資金。這個(gè)實(shí)驗(yàn)每次下注倉位是99%，初始本金是100，分別用黃色和綠色標(biāo)出。

? ? ? 大家從圖中可以看出，在進(jìn)行了10局之后， 10局中贏的局?jǐn)?shù)為8，比60%的概率還要大，僅僅輸了兩次。但即使是這樣，最后的資金也只剩下了2.46元，基本上算是輸光了。

? ? 當(dāng)我把實(shí)驗(yàn)次數(shù)加大，變成1000次、2000次、3000次……的時(shí)候，結(jié)果可想而知了，到最后手中的資金基本上是趨向于0。

? ? 既然99%也不行，那么我們再拿其他幾個(gè)比例來試試看，看下圖：

? ? 從圖中可以看出，當(dāng)把倉位逐漸降低，從99%，變成90%，80%，70%，60%的時(shí)候，同樣10局的結(jié)果就完全不一樣了。從圖中似乎可以看出隨著倉位逐漸的變小，在10局之后的資金是逐漸變大的。

? ? 大家看到這里，就會(huì)漸漸的發(fā)現(xiàn)這個(gè)賭局的問題并不是那么簡單的。就算是賭客占優(yōu)如此之大的賭局，也不是隨隨便便都能贏錢的。

三、? 怎么下注才能使得長期收益最大呢？

? ? 是否就像上圖所顯示的那樣，比例越小越好呢？應(yīng)該不是，因?yàn)楫?dāng)比例變成0的時(shí)候顯然也不能賺錢。

? ? 那么這個(gè)最優(yōu)的比例到底是多少呢？這就是著名的凱利公式所要解決的問題！

? ? 凱利公式介紹

? ? 其中f為最優(yōu)的下注比例，p為贏的概率，rw是贏時(shí)的凈收益率，例如在賭局1中rw=1。rl是輸時(shí)的凈損失率，例如在賭局1中rl=1。(注意此處rl>0。)

? ? 根據(jù)凱利公式，可以計(jì)算出在賭局1中的最有下注比例是20%。

? ? 我們可以進(jìn)行一下實(shí)驗(yàn)，加深對這個(gè)結(jié)論的理解。

? ? 如圖，我們分別將倉位設(shè)定為10%，15%，20%，30%，40%。他們對應(yīng)的列數(shù)分別是D、E、F、G、H。

? ? 當(dāng)我把實(shí)驗(yàn)次數(shù)變成3000次的時(shí)候，如下圖：

當(dāng)我把實(shí)驗(yàn)次數(shù)變成5000次的時(shí)候，如下圖：

? ? ? 大家從兩幅圖中可以看到F列對應(yīng)的結(jié)果最大，和其它列相比壓根就不是一個(gè)數(shù)量級的。而F列對應(yīng)的倉位比例正是20%。

? ? ? 大家看到凱利公式的威力了吧。在上面的實(shí)驗(yàn)中，如果你不幸將比例選擇為40%，也就是對應(yīng)H列，那么在5000局賭博之后，你的本金雖然從100變成了22799985.75，收益巨大。但是和20%比例的結(jié)果相比，那真是相當(dāng)于沒賺錢。

? ? ? 這就是知識的力量！

知識庫

最后更新：11-13 11:50

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