5.3簡(jiǎn)化操作

前言

既然sympy是對(duì)于符號(hào)的運(yùn)算，那么它對(duì)于符號(hào)表達(dá)式的簡(jiǎn)化與展開(kāi)一定很強(qiáng)大。

今天我們學(xué)習(xí)的是符號(hào)表達(dá)式的簡(jiǎn)化與展開(kāi)。

本章節(jié)對(duì)應(yīng)官網(wǎng)的Simplification

官網(wǎng)的Simplification

https://docs.sympy.org/latest/tutorial/simplification.html

（一）有理數(shù)與多項(xiàng)式的簡(jiǎn)化

1.最簡(jiǎn)化-simplify（）

（1）說(shuō)明：

simplify（）是盡可能的讓表達(dá)式最簡(jiǎn)化，其最簡(jiǎn)化的形式是不定的。

（2）源代碼：

from sympy import *


x = Symbol('x')

expr1 = cos(x)**2+sin(x)**2

expr2 = (x**3 + x**2 - x - 1)/(x**2 + 2*x + 1)

# 簡(jiǎn)化表達(dá)式
r1 = simplify(expr1)
r2 = simplify(expr2)

print(r1)
print(r2)

（3）輸出：

$cos(x)^2+sin(x)^2$ -->1

$(x^3 + x^2 - x - 1)/(x^2 + 2x + 1)$ --> $x-1$

01.png

2.展開(kāi)-expand（）

（1）說(shuō)明：

expand（）是對(duì)括號(hào)里的多項(xiàng)式進(jìn)行展開(kāi)。

（2）源代碼：

from sympy import *

x = Symbol('x')

expr1 = (x+1)**2
expr2 = ((x + 1)*(x - 2) - (x - 1)*x)

# 展開(kāi)
r1 = expand(expr1)
r2 = expand(expr2)

print(r1)
print(r2)

（3）輸出：

$(x+1)^2$ --> $x^2+2x+1$

$(x + 1)(x - 2) - (x - 1)x$ -->-2

02.png

3.提公因式-factor（）

（1）說(shuō)明：

factor（）是對(duì)展開(kāi)的多項(xiàng)式進(jìn)行提公因式

（2）源代碼：

from sympy import *

x = Symbol('x')

expr1 = (x ** 3 - x ** 2 + x - 1)

# 提公因數(shù)
r1 = factor(expr1)

print(r1)
print(latex(expr1))
print(latex(r1))

（3）輸出：

$x^{3} - x^{2} + x - 1$ --> $\left(x - 1\right) \left(x^{2} + 1\right)$

03.png

4.合并同類(lèi)項(xiàng)-ceiling（）

（1）說(shuō)明：

對(duì)于多項(xiàng)式進(jìn)行合并同類(lèi)項(xiàng)

（2）源代碼：

from sympy import *

x = Symbol('x')
y = Symbol('y')
z = Symbol('z')

expr1 = x*y + x - 3 + 2*x**2 - z*x**2 + x**3
expr2 = x**3+x*2-3*x**2+x**3-x**2+x*4-5

# 合并同類(lèi)項(xiàng)
r1 = ceiling(expr1)
r2 = ceiling(expr2)

print(r1)
print(r2)
print(latex(r1))
print(latex(r2))

（3）輸出：

$xy + x - 3 + 2x^2 - zx^2 + x^3$ --> $\lceil{x^{3} - x^{2} z + 2 x^{2} + x y + x}\rceil - 3$

$x^3+x2-3x^2+x^3-x^2+x4-5$ --> $\lceil{2 x^{3} - 4 x^{2} + 6 x}\rceil - 5$

04.png

5.簡(jiǎn)化分式-cancel（）

（1）說(shuō)明：

cancle既有約分又有簡(jiǎn)化的作用

（2）源代碼：

from sympy import *

x = Symbol('x')

expr1 = (x**2 + 2*x + 1)/(x**2 + x)
expr2 = 1/x + (3*x/2 - 2)/(x - 4)

# 約分消去分式的公因數(shù)
r1 = cancel(expr1)

# 簡(jiǎn)化分式
r2 = cancel(expr2)

# 結(jié)果
print("結(jié)果:r1", r1)
print("結(jié)果:r2", r2)

# r1的表達(dá)式與結(jié)果
print("r1的表達(dá)式與結(jié)果:")
print(latex((x**2 + 2*x + 1)/(x**2 + x)))
print(latex(r1))


# r2的表達(dá)式與結(jié)果
print("\nr2的表達(dá)式與結(jié)果:")
print(latex(1/x + (3*x/2 - 2)/(x - 4)))
print(latex(r2))

（3）輸出：

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x}$ --》 $\frac{x + 1}{x}$

$\frac{\frac{3 x}{2} - 2}{x - 4} + \frac{1}{x}$ --》 $\frac{3 x^{2} - 2 x - 8}{2 x^{2} - 8 x}$

05.png

6.分式展開(kāi)-apart（）

（1）說(shuō)明：

原本只有一項(xiàng)的分式表達(dá)式，展開(kāi)為多項(xiàng)的分式表達(dá)式。

（2）源代碼：

from sympy import *

x = Symbol('x')

expr1 = (4*x**3 + 21*x**2 + 10*x + 12)/(x**4 + 5*x**3 + 5*x**2 + 4*x)

# 對(duì)于分式進(jìn)行展開(kāi)
r1 = apart(expr1)

print(r1)
print(latex(r1))
print(latex(expr1))

（3）輸出：

$\frac{4x^3 + 21x^2 + 10x + 12}{x^4 + 5x^3 + 5x^2 + 4x}$

---》
$\frac{2 x - 1}{x^{2} + x + 1} - \frac{1}{x + 4} + \frac{3}{x}$

06.png

（二）三角函數(shù)的簡(jiǎn)化

1.三角形的簡(jiǎn)化-trigsimp（）

（１）說(shuō)明：

使用trigsimp（）可以簡(jiǎn)化三角函數(shù)，反三角函數(shù)也可以。

（２）源代碼：

from sympy import *

x = Symbol('x')

expr1 = sin(x)**2+cos(x)**2
expr2 = sin(x)**4 - 2*cos(x)**2*sin(x)**2 + cos(x)**4

# 進(jìn)行三角形簡(jiǎn)化
r1 = trigsimp(expr1)
r2 = trigsimp(expr2)


print("r1:", r1)
print("r2:", r2)

# r1的latex
print("="*20)
print("expr1-latex:", latex(expr1))
print("r1-latex:", latex(r1))

# r2的latex
print("="*20)
print("expr2-latex:", latex(expr2))
print("r2-latex:", latex(r2))

（３）輸出：

$\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}$ --> $1$

$\sin^{4}{\left (x \right )} - 2 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} + \cos^{4}{\left (x \right )}$ --> $\frac{\cos{\left (4 x \right )}}{2} + \frac{1}{2}$

07.png

2.三角形的展開(kāi)-expand_trig()

（１）說(shuō)明：

使用expand_trig()可以展開(kāi)三角函數(shù)，同樣反三角函數(shù)也可以。

（２）源代碼：

from sympy import *

x = Symbol('x')
y = Symbol('y')

expr1 = sin(x+y)
expr2 = tan(2*x)

# 三角形的展開(kāi)
r1 = expand_trig(expr1)
r2 = expand_trig(expr2)

print("===========r1==========")
print(r1)
print(latex(expr1))
print(latex(r1))

print("===========r2==========")
print(r2)
print(latex(expr2))
print(latex(r2))

（３）輸出：

$\sin{\left (x + y \right )}$ --> $\sin{\left (x \right )} \cos{\left (y \right )} + \sin{\left (y \right )} \cos{\left (x \right )}$

$\tan{\left (2 x \right )}$ --> $\frac{2 \tan{\left (x \right )}}{- \tan^{2}{\left (x \right )} + 1}$

08.png

（三）指數(shù)函數(shù)的簡(jiǎn)化

1.指數(shù)的合并一-powsimp()

（１）說(shuō)明：

powsimp()主要用于同底數(shù)或者同指數(shù)

（２）源代碼：

from sympy import *

# 假設(shè) x與y 是正值， a 是真實(shí)的值
x = Symbol('x', positive=True)
y = Symbol('y', positive=True)
a = Symbol('a', real=True)

expr1 = x**2*x**3
expr2 = x**a*y**a


# 進(jìn)行指數(shù)的合并，如果不符合，則不進(jìn)行簡(jiǎn)化
r1 = powsimp(expr1)
r2 = powsimp(expr2)


print("===========r1==========")
print(r1)
print(latex(expr1))
print(latex(r1))

print("===========r2==========")
print(r2)
print(latex(expr2))
print(latex(r2))

（３）輸出：

$x^2x^3$ --> $x^5$

$x^ay^b$ --> $\left(x y\right)^{a}$

09.png

2.指數(shù)的合并二-powdenest()

（１）說(shuō)明：

powdenest()主要用于只有一個(gè)底數(shù)的不同指數(shù)。

（２）源代碼：

from sympy import *

# 假設(shè) x與y 是正值， a 是真實(shí)的值
x = Symbol('x', positive=True)
y = Symbol('y', positive=True)
a = Symbol('a', real=True)
b = Symbol('b', real=True)

expr1 = (x**a)**b
expr2 = (((x**2)**a)**b)


# 進(jìn)行指數(shù)的合并，如果不符合，則不進(jìn)行簡(jiǎn)化
r1 = powdenest(expr1)
r2 = powdenest(expr2)


print("===========r1==========")
print(r1)
print(latex(expr1))
print(latex(r1))

print("===========r2==========")
print(r2)
print(latex(expr2))
print(latex(r2))

（３）輸出：

$(x^a)^b$ --> $x^{ab}$

${{x^2}^a}^b$ --> $x^{2ab}$

10.png

3.指數(shù)的展開(kāi)：-expand_power_exp\expand_power_base

（１）說(shuō)明：

expand_power_exp()用于同底數(shù)的展開(kāi)

expand_power_base()用于同指數(shù)的展開(kāi)

（２）源代碼：

from sympy import *

# 假設(shè) x與y 是正值， a 是真實(shí)的值
x = Symbol('x', positive=True)
y = Symbol('y', positive=True)
a = Symbol('a', real=True)
b = Symbol('b', real=True)

expr1 = x**(a+b)
expr2 = (x*y)**a


# 進(jìn)行指數(shù)的展開(kāi)
# 底數(shù)相同展開(kāi)
r1 = expand_power_exp(expr1)

# 指數(shù)相同展開(kāi)
r2 = expand_power_base(expr2)


print("===========r1==========")
print(r1)
print(latex(expr1))
print(latex(r1))

print("===========r2==========")
print(r2)
print(latex(expr2))
print(latex(r2))

（３）輸出：

$x^{a+b}$ --> $x^{a} x^$

$\left(x y\right)^{a}$ --> $x^{a} y^{a}$

11.png

（四）對(duì)數(shù)函數(shù)的簡(jiǎn)化

1.對(duì)數(shù)的簡(jiǎn)化-logcombine()

（１）說(shuō)明：

logcombine()用于合并對(duì)數(shù)。

（２）源代碼：

from sympy import *

# 假設(shè) x與y 是正值， a 是真實(shí)的值
x = Symbol('x', positive=True)
y = Symbol('y', positive=True)
n = Symbol('n', real=True)

expr1 = log(x) + log(y)
expr2 = log(x) - log(y)
expr3 = n*log(x)


# 對(duì)于對(duì)數(shù)的展開(kāi)
r1 = logcombine(expr1)
r2 = logcombine(expr2)
r3 = logcombine(expr3)

print(r1)
print(r2)
print(r3)

（３）輸出：

$log(x) + log(y)$ --> $log(xy)$

$log(x)-log(y)$ --> $\log(xy)$

$n\log(x)$ --> $log(x^n)$

12.png

2.對(duì)數(shù)的展開(kāi)-expand_log（）

（１）說(shuō)明：

expand_log（）用于對(duì)數(shù)的展開(kāi)。

（２）源代碼：

from sympy import *

# 假設(shè) x與y 是正值， a 是真實(shí)的值
x = Symbol('x', positive=True)
y = Symbol('y', positive=True)
n = Symbol('n', real=True)

expr1 = log(x*y)
expr2 = log(x/y)
expr3 = log(x**n)


# 對(duì)于對(duì)數(shù)的展開(kāi)
r1 = expand_log(expr1)
r2 = expand_log(expr2)
r3 = expand_log(expr3)

print(r1)
print(r2)
print(r3)

（３）輸出：

$log(xy)$ --> $log(x)+log(y)$

$log(x/y)$ --> $log(x)-\log(y)?$

$log(x^n)$ --> ? $n\log(x)$

13.png

（五）其他函數(shù)的簡(jiǎn)化

１.階乘與排列組合-factorial()\binomial()

（１）說(shuō)明：

factorial()用于求階乘

binomial()用于求排列組合

（２）源代碼：

from sympy import *

n = Symbol("n")

# 求階乘
r1 = factorial(3)
r2 = factorial(n)


print(r1)
print(r2)

# 排列組合
print(binomial(4, 2))

（３）輸出：

14.png

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5.3Python數(shù)據(jù)處理篇之Sympy系列(三)---簡(jiǎn)化操作

5.3簡(jiǎn)化操作

目錄

前言

（一）有理數(shù)與多項(xiàng)式的簡(jiǎn)化

1.最簡(jiǎn)化-simplify（）

（1）說(shuō)明：

（2）源代碼：

（3）輸出：

2.展開(kāi)-expand（）

（1）說(shuō)明：

（2）源代碼：

（3）輸出：

3.提公因式-factor（）

（1）說(shuō)明：

（2）源代碼：

（3）輸出：

4.合并同類(lèi)項(xiàng)-ceiling（）

（1）說(shuō)明：

（2）源代碼：

（3）輸出：

5.簡(jiǎn)化分式-cancel（）

（1）說(shuō)明：

（2）源代碼：

（3）輸出：

6.分式展開(kāi)-apart（）

（1）說(shuō)明：

（2）源代碼：

（3）輸出：

（二）三角函數(shù)的簡(jiǎn)化

1.三角形的簡(jiǎn)化-trigsimp（）

（１）說(shuō)明：

（２）源代碼：

（３）輸出：

2.三角形的展開(kāi)-expand_trig()

（１）說(shuō)明：

（２）源代碼：

（３）輸出：

（三）指數(shù)函數(shù)的簡(jiǎn)化

1.指數(shù)的合并一-powsimp()

（１）說(shuō)明：

（２）源代碼：

（３）輸出：

2.指數(shù)的合并二-powdenest()

（１）說(shuō)明：

（２）源代碼：

（３）輸出：

3.指數(shù)的展開(kāi)：-expand_power_exp\expand_power_base

（１）說(shuō)明：

（２）源代碼：

（３）輸出：

（四）對(duì)數(shù)函數(shù)的簡(jiǎn)化

1.對(duì)數(shù)的簡(jiǎn)化-logcombine()

（１）說(shuō)明：

（２）源代碼：

（３）輸出：

2.對(duì)數(shù)的展開(kāi)-expand_log（）

（１）說(shuō)明：

（２）源代碼：

（３）輸出：

（五）其他函數(shù)的簡(jiǎn)化

１.階乘與排列組合-factorial()\binomial()

（１）說(shuō)明：

（２）源代碼：

（３）輸出：

作者：Mark

日期：2019/03/16 周六

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