引入
- SVD奇異值分解屬于矩陣分解的知識，矩陣分解用白話解釋就是將一個復(fù)雜的矩陣分解成一些特殊形式的矩陣，這些特殊形式的矩陣可能是上三角矩陣、下三角矩陣以及酉矩陣等等，這些特殊的矩陣往往具有一些優(yōu)秀的性質(zhì)。
- 說一下我寫奇異值分解的動機(jī)，我寫這篇文章的時候是本科，在研究6D視覺以及機(jī)器人抓取的時候接觸了對極幾何、PnP以及ICP，這些算法在求解時基本都用到了奇異值分解，而大多數(shù)博客默認(rèn)奇異值分解你是會的，但具我所知矩陣論是研究生課程(有的線性代數(shù)書會介紹，但是與我講的有區(qū)別，線性代數(shù)一般在實(shí)數(shù)域下，而矩陣論在復(fù)數(shù)域下)，好像控制專業(yè)開的比較多，其他專業(yè)開的比較少，所以這里細(xì)致入微的進(jìn)行介紹。
- 在寫這篇文章的時候，默認(rèn)線性代數(shù)的知識你是會的，超出線性代數(shù)的知識但又是SVD基礎(chǔ)的我會在這篇預(yù)備知識里面介紹，如果預(yù)備知識會的可以直接看正題SVD奇異值分解(2)定義與例子
預(yù)備知識
1.酉矩陣
定義：設(shè)，若
滿足
則稱A為酉矩陣。
注：為復(fù)數(shù)域下的符號，如果把復(fù)數(shù)域退化到實(shí)數(shù)域那么酉矩陣也就是正交矩陣，正交矩陣的定義是
，H表示共軛轉(zhuǎn)置，至于為什么要共軛，我不知道，總之共軛是對的。
顯然，當(dāng)A是實(shí)方陣時，酉矩陣就是正交矩陣。
定理：
(1) 若是酉矩陣，則
也是酉矩陣
(2)若A,B是酉矩陣，則AB也是酉矩陣
(3)若A是酉矩陣，則
2.酉等價
定義：設(shè)，若存在m階酉矩陣U和n階酉矩陣V，使得
，則稱A與B酉等價。
可以看到酉等價并不局限于方陣，這也是奇異值分解相比于其他分解的優(yōu)點(diǎn)。
3.奇異值
定義：設(shè)，
的特征值為:
則稱為A的奇異值
這里解釋一下C的下表為r代表C的秩為r，又因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=rank(A%5E%7BH%7DA)%3Drank(A)%3Dr" alt="rank(A^{H}A)=rank(A)=r" mathimg="1">(定理)，所以
的后r個特征值一定為0。
有相同的非零特征值（定理），從而A的非零奇異值的個數(shù)恰等于
，
與
有相同的非零奇異值，這里可以把
