導(dǎo)數(shù)的概念

導(dǎo)數(shù)的定義

定義：設(shè)函數(shù) $y=f(x)$ 在 $U(x_0)$ 有定義,若極限 $\lim\limits_{x\to x_0}{f(x)-f(x_0)\over x-x_0}$ 存在,則稱函數(shù)f在點 $x_0$ 處可導(dǎo),并稱該極限位函數(shù)f在點 $x_0$ 處的導(dǎo)數(shù),記作 $f'(x_0)$

定義：令 $x=x_0+\Delta x$ , $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ ,則 $f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}{\Delta y\over \Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\over x-x_0}$

注：

1.導(dǎo)數(shù)為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限,這個增量比稱為函數(shù)關(guān)于自變量的平均變化率(差商),導(dǎo)數(shù) $f'(x_0)$ 為f在 $x_0$ 處關(guān)于x的變化率

2.若增量比的極限不存在,則稱f在點 $x_0$ 處不可導(dǎo)

有限增量公式

設(shè)f(x)在 $x_0$ 可導(dǎo),則 $\varepsilon={\Delta y\over \Delta x}-f'(x_0)$ 是當(dāng) $\Delta x\to 0$ 時的無窮小量,于是 $\varepsilon\cdot \Delta x=o(\Delta x)$ ,即 $\Delta y=f'(x_0)\Delta x+o(\Delta x)$ ,稱為f(x)在點 $x_0$ 的有限增量公式

注：公式對 $\Delta x=0$ 依然成立

定理：若函數(shù)f在點 $x_0$ 可導(dǎo),則f在點 $x_0$ 連續(xù)

注：可導(dǎo)必連續(xù),連續(xù)未必可導(dǎo)

例：證明函數(shù) $f(x)=x^2D(x)$ 僅在點 $x_0=0$ 處可導(dǎo),其中 $D(x)$ 為Dirichlet函數(shù)

證：

$x_0\neq 0時,由歸結(jié)原則$

$f(x)在x=x_0處不連續(xù)$

$\therefore f(x)在x=x_0處不可導(dǎo)$

$當(dāng)x_0=0時,$

$\because D(x)為有界函數(shù)$

$\therefore f'(0)=\lim\limits_{x\to 0}{f(x)-f(0)\over x-0}=\lim\limits_{x\to 0}xD(x)=0$

$\therefore f(x)僅在x_0=0處可導(dǎo)$

單側(cè)導(dǎo)數(shù)

定義：設(shè)函數(shù) $y=f(x)$ 在點 $x_0$ 的某右鄰域 $[x_0,x_0+\delta)$ 上有定義,若右極限 $\lim\limits_{\Delta x\to 0^+}{\Delta y\over \Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0^+}{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\over \Delta x}(0\lt \Delta x\lt \delta)$ 存在,則稱該極限值為f在點 $x_0$ 的右導(dǎo)數(shù),記作 $f'_+(x_0)$

類似定義左導(dǎo)數(shù) $f'_-(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0^-}{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\over \Delta x}$

右導(dǎo)數(shù)和左導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù)

定理：若函數(shù) $y=f(x)$ 在點 $x_0$ 的某鄰域上有定義,則 $f'(x_0)$ 存在 $\Leftrightarrow$$f'_+(x_0)$ 與 $f'_-(x_0)$ 都存在且 $f'+(x_0)=f'_-(x_0)$

導(dǎo)函數(shù)

定義：若函數(shù)在區(qū)間I上每一點都可導(dǎo)(對區(qū)間端點,僅考慮相應(yīng)的單側(cè)導(dǎo)數(shù)),則稱f為I上的可導(dǎo)函數(shù),此時對每個 $x\in I$ ,都有f的一個導(dǎo)數(shù) $f'(x)$ (或單側(cè)導(dǎo)數(shù))與之對應(yīng),這樣就定義了一個在I上的函數(shù),稱為f在I上的導(dǎo)函數(shù),簡稱導(dǎo)數(shù),記作 $f',y'或{dy\over dx}$

即 $f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}{f(x+\Delta x)-f(x)\over \Delta x},x\in I$

注：

1.物理學(xué)中導(dǎo)數(shù)y'也常用牛頓記號 $\dot{y}$

2. $f'(x_0)$ 有時也寫作 $y'|_{x=x_0}$ 或 ${dy\over dx}|_{x=x_0}$

例：證明(sinx)'=cosx

證：

${sin(x+\Delta x)-sinx\over \Delta x}={2sin{\Delta x\over 2}cos(x+{\Delta x\over 2})\over \Delta x}$

$={sin{\Delta x\over 2}\over {\Delta x\over 2}}cos(x+{\Delta x\over 2})$

$由cosx是(-\infty,+\infty)上的連續(xù)函數(shù)$

$\therefore (sinx)'=\lim\limits_{\Delta x\to 0}{sin{\Delta x\over 2}\over {\Delta x\over 2}}cos(x+{\Delta x\over 2})$

$=cosx$

例：證明 $(log_ax)'={1\over x}log_ae(a\gt 0,a\neq 1,x\gt 0)$ ,特別 $(lnx)'={1\over x}$

證：

${log_a(x+\Delta x)-log_ax\over \Delta x}={1\over \Delta x}log_a(1+{\Delta x\over x})$

$={1\over x}log_a(1+{\Delta x\over x})^{x\over \Delta x}$

$\therefore (log_ax)'=\lim\limits_{\Delta x\to 0}{1\over x}log_a(1+{\Delta x\over x})^{x\over \Delta x}$

$={1\over x}log_ae$

$若a=e,則(lnx)'={1\over x}$

導(dǎo)數(shù)的幾何意義

曲線 $y=f(x)$ 在點 $(x_0,y_0)$ 的切線方程 $y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$

函數(shù)f在點 $x_0$ 的導(dǎo)數(shù) $f'(x_0)$ 是曲線 $y=f(x)$ 在點 $(x_0,y_0)$ 處的切線斜率

$\alpha$ 表示切線與x軸正向的夾角,則 $f'(x_0)=tan\alpha$

例：求曲線 $y=x^3$ 在點 $P(x_0,y_0)$ 處的切線方程與法線方程

解：

${\Delta y\over \Delta x}=3x_0^2+3x_0\Delta x+\Delta x^2$

$f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}(3x_0^2+3x_0\Delta x+\Delta x^2)=3x_0^2$

$曲線y=x^3在點P的切線方程為$

$y-y_0=3x_0^2(x-x_0)$

$若x_0\neq 0法線方程為y-y_0=-{1\over 3x_0^2}(x-x_0)$

$若x_0=0,則為x=0$

注：對曲線 $y=x^3$ ,可將它在點 $P(x_0,y_0)$ 處的切線斜率 $f'(x_0)$ 改寫成如下形式：

$f'(x_0)=3x_0^2={x_0^3\over ({x_0\over 3})}={y_0\over ({x_0\over 3})}$
因此為了作過點P的切線,可對x軸上從原點O到點 $x_0$ 的線段三等分,取靠近 $x_0$ 的分點Q,則直線PQ即為所求切線

極值

定義：若函數(shù)f在 $U(x_0)$ 上 $\forall x\in U(x_0)$ ,有 $f(x_0)\ge f(x)(f(x_0)\le f(x))$ ,則稱函數(shù)f在點 $x_0$ 取得極大(小)值,稱點 $x_0$ 為極大(小)值點

極大值、極小值統(tǒng)稱為極值,極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點

例：證明：若 $f'_+(x_0)\gt 0$ ,則 $\exists \delta\gt 0,\forall x\in (x_0,x_0+\delta)$ ,有 $f(x_0)\lt f(x)$

證：

$\because f'_+(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0^+}{f(x)-f(x_0)\over x-x_0}\gt 0$

$由保號性$

$\exists \delta\gt 0,\forall x\in (x_0,x_0+\delta)$

${f(x)-f(x_0)\over x-x_0}\gt 0$

$\therefore 0\lt x-x_0\lt \delta時,f(x_0)\lt f(x)成立$

注：若 $f'(x_0)$ 存在且不為零,則 $x_0$ 不是f(x)的極值點

費馬定理

定理：設(shè)函數(shù)f在 $U(x_0)$ 上有定義,且在點 $x_0$ 可導(dǎo),若點 $x_0$ 為f的極值點,則 $f'(x_0)=0$

幾何意義：若函數(shù) $y=f(x)$ 在極值點 $x=x_0$ 可導(dǎo),則在該點的切線平行于x軸

稱滿足方程 $f'(x)=0$ 的點為穩(wěn)定點

例：對函數(shù) $f(x)=x^3$ ,點x=0是穩(wěn)定點,但不是極值點

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