亥姆霍茲方程

本篇討論波導(dǎo)中的齊次矢量亥姆霍茲方程。

從麥克斯韋方程組出發(fā)：

\nabla\times \vec{E} = - \partial \vec{B}/\partial t

\nabla \times \vec{H}=\vec{J}+\partial\vec{D}/\partial t

\nabla \bullet \vec{D} = \rho

\nabla \bullet\vec{B}=0


波導(dǎo)的條件：

均勻介質(zhì)，沒有源，即

\vec{B}=\mu\vec{H}

\vec{D}=\varepsilon\vec{E}

\vec{J}=0

\rho=0

推導(dǎo)：

由上述波導(dǎo)的條件，麥克斯韋方程組重寫為：

\nabla\times \vec{E} = - \mu\partial \vec{H}/\partial t

\nabla \times \vec{H}=\varepsilon\partial\vec{E}/\partial t

\nabla\bullet\vec{D}=\nabla\bullet\vec{E}=0

\nabla \bullet\vec{B}=0

E的旋度方程再取旋度，左邊為
\nabla\times\nabla\times \vec{E} = \nabla(\nabla\bullet \vec{E})-\nabla^2\vec{E}=-\nabla^2\vec{E}

右邊為- \mu\partial(\nabla\times \vec{H})/\partial t =- \mu\varepsilon\partial^2\vec{E}/\partial t^2

得到：\nabla^2\vec{E}- \mu\varepsilon\partial^2\vec{E}/\partial t^2 =0

同樣地，E替換成H也滿足該方程。

時諧場情況：

\nabla^2\vec{E}+\omega^2\mu\varepsilon\vec{E} =0

令k^2=\omega^2\mu\varepsilon,k是波數(shù)

\nabla^2\vec{E}+k^2\vec{E} =0

這就是齊次矢量亥姆霍茲方程。

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