目錄

• 求解線(xiàn)性方程組：高斯消元法
• 簡(jiǎn)化線(xiàn)性方程組的表示——得到原始的矩陣定義
• 用矩陣的表示方法表示高斯消元法解線(xiàn)性方程組的過(guò)程——得到矩陣乘法的原始定義

求解線(xiàn)性方程組：高斯消元法

電視的轉(zhuǎn)播過(guò)程是這樣的：

因此從電視信號(hào)線(xiàn)傳過(guò)來(lái)的是YCrCb三個(gè)顏色通道的數(shù)字信號(hào)，此時(shí)如果使用的是彩色電視，就需要

這種信號(hào)編碼方式的轉(zhuǎn)換本質(zhì)上就是在解方程組：

那么如何解這個(gè)線(xiàn)性方程組呢？

我們大家都學(xué)過(guò)的一種比較通用的方法就是高斯消元法

得到最終結(jié)果：

簡(jiǎn)化線(xiàn)性方程組的表示——得到原始的矩陣定義

當(dāng)然，解線(xiàn)性方程組使用高斯消元法，基本上就是最優(yōu)的求解方法，但是整個(gè)求解過(guò)程若按照上面這樣去表示，表示起來(lái)是比較復(fù)雜的

因此有一個(gè)英國(guó)的數(shù)學(xué)家叫阿瑟·凱萊就提出用矩陣去表示線(xiàn)性方程組，以及線(xiàn)性方程組的求解過(guò)程

以一個(gè)簡(jiǎn)單的線(xiàn)性方程組為例進(jìn)行說(shuō)明：

對(duì)于上述方程組，未知數(shù)x，y根本不重要，所以可以用一種稱(chēng)為矩陣的緊湊的陣列來(lái)表示，把未知數(shù)的系數(shù)提出來(lái)：

稱(chēng)為系數(shù)矩陣，而把等號(hào)右邊的數(shù)字一起提出來(lái)：

稱(chēng)為增廣矩陣

用矩陣的表示方法表示高斯消元法解線(xiàn)性方程組的過(guò)程——得到矩陣乘法的原始定義

還是以上面提到的方程組為例進(jìn)行說(shuō)明

高斯消元法的目標(biāo)是進(jìn)行下面形式的轉(zhuǎn)換：

用矩陣表示就是：

我們來(lái)看對(duì)這個(gè)原始方程組用高斯消元法進(jìn)行消元的第一步

用第一個(gè)方程消去第二個(gè)方程的第一個(gè)系數(shù)：

得到

我們已經(jīng)成功嘗試?yán)镁仃噥?lái)表示方程組了，但是好像對(duì)方程組的求解并沒(méi)有什么用，那么我們能否利用矩陣表示方式來(lái)簡(jiǎn)化方程組的求解過(guò)程呢？

首先，可以將矩陣看作是兩個(gè)行向量，那么上面的計(jì)算可以通過(guò)矩陣表示為：

這個(gè)過(guò)程實(shí)際上包含了兩個(gè)步驟：

• 第一行不變，即：
• 第二行改變，即：

首先第一行不變，即

其次，第二行改變，即

凱萊規(guī)定，把第一行運(yùn)算的結(jié)果放在第一行，第二行的結(jié)果放在第二行，即

這就是矩陣乘法的最初的定義

參考資料：

(1) 微信公眾號(hào)·馬同學(xué)高等數(shù)學(xué)《圖解線(xiàn)性代數(shù)》