[1. 求開方]
[2. 大于給定元素的最小元素]
[3. 有序數(shù)組的 Single Element]
[4. 第一個錯誤的版本]
[5. 旋轉(zhuǎn)數(shù)組的最小數(shù)字]
[6. 查找區(qū)間]
正常實現(xiàn)
Input : [1,2,3,4,5]
key : 3
return the index : 2
public int binarySearch(int[] nums, int key) {
int l = 0, h = nums.length - 1;
while (l <= h) {
int m = l + (h - l) / 2;
if (nums[m] == key) {
return m;
} else if (nums[m] > key) {
h = m - 1;
} else {
l = m + 1;
}
}
return -1;
}
時間復(fù)雜度
二分查找也稱為折半查找，每次都能將查找區(qū)間減半，這種折半特性的算法時間復(fù)雜度為 O(logN)。
m 計算
有兩種計算中值 m 的方式：
- m = (l + h) / 2
- m = l + (h - l) / 2
l + h 可能出現(xiàn)加法溢出，也就是說加法的結(jié)果大于整型能夠表示的范圍。但是 l 和 h 都為正數(shù)，因此 h - l 不會出現(xiàn)加法溢出問題。所以，最好使用第二種計算法方法。
未成功查找的返回值
循環(huán)退出時如果仍然沒有查找到 key，那么表示查找失敗?？梢杂袃煞N返回值：
- -1：以一個錯誤碼表示沒有查找到 key
- l：將 key 插入到 nums 中的正確位置
變種
二分查找可以有很多變種，實現(xiàn)變種要注意邊界值的判斷。例如在一個有重復(fù)元素的數(shù)組中查找 key 的最左位置的實現(xiàn)如下：
public int binarySearch(int[] nums, int key) {
int l = 0, h = nums.length - 1;
while (l < h) {
int m = l + (h - l) / 2;
if (nums[m] >= key) {
h = m;
} else {
l = m + 1;
}
}
return l;
}
該實現(xiàn)和正常實現(xiàn)有以下不同：
- h 的賦值表達式為 h = m
- 循環(huán)條件為 l < h
- 最后返回 l 而不是 -1
在 nums[m] >= key 的情況下，可以推導(dǎo)出最左 key 位于 [l, m] 區(qū)間中，這是一個閉區(qū)間。h 的賦值表達式為 h = m，因為 m 位置也可能是解。
在 h 的賦值表達式為 h = m 的情況下，如果循環(huán)條件為 l <= h，那么會出現(xiàn)循環(huán)無法退出的情況，因此循環(huán)條件只能是 l < h。以下演示了循環(huán)條件為 l <= h 時循環(huán)無法退出的情況：
nums = {0, 1, 2}, key = 1
l m h
0 1 2 nums[m] >= key
0 0 1 nums[m] < key
1 1 1 nums[m] >= key
1 1 1 nums[m] >= key
...
當(dāng)循環(huán)體退出時，不表示沒有查找到 key，因此最后返回的結(jié)果不應(yīng)該為 -1。為了驗證有沒有查找到，需要在調(diào)用端判斷一下返回位置上的值和 key 是否相等。
1. 求開方
69. Sqrt(x) (Easy)
Input: 4
Output: 2
Input: 8
Output: 2
Explanation: The square root of 8 is 2.82842..., and since we want to return an integer, the decimal part will be truncated.
一個數(shù) x 的開方 sqrt 一定在 0 ~ x 之間，并且滿足 sqrt == x / sqrt?？梢岳枚植檎以?0 ~ x 之間查找 sqrt。
對于 x = 8，它的開方是 2.82842...，最后應(yīng)該返回 2 而不是 3。在循環(huán)條件為 l <= h 并且循環(huán)退出時，h 總是比 l 小 1，也就是說 h = 2，l = 3，因此最后的返回值應(yīng)該為 h 而不是 l。
public int mySqrt(int x) {
if (x <= 1) {
return x;
}
int l = 1, h = x;
while (l <= h) {
int mid = l + (h - l) / 2;
int sqrt = x / mid;
if (sqrt == mid) {
return mid;
} else if (mid > sqrt) {
h = mid - 1;
} else {
l = mid + 1;
}
}
return h;
}
2. 大于給定元素的最小元素
744. Find Smallest Letter Greater Than Target (Easy)
Input:
letters = ["c", "f", "j"]
target = "d"
Output: "f"
Input:
letters = ["c", "f", "j"]
target = "k"
Output: "c"
題目描述：給定一個有序的字符數(shù)組 letters 和一個字符 target，要求找出 letters 中大于 target 的最小字符，如果找不到就返回第 1 個字符。
public char nextGreatestLetter(char[] letters, char target) {
int n = letters.length;
int l = 0, h = n - 1;
while (l <= h) {
int m = l + (h - l) / 2;
if (letters[m] <= target) {
l = m + 1;
} else {
h = m - 1;
}
}
return l < n ? letters[l] : letters[0];
}
3. 有序數(shù)組的 Single Element
540. Single Element in a Sorted Array (Medium)
Input: [1, 1, 2, 3, 3, 4, 4, 8, 8]
Output: 2
題目描述：一個有序數(shù)組只有一個數(shù)不出現(xiàn)兩次，找出這個數(shù)。
要求以 O(logN) 時間復(fù)雜度進行求解，因此不能遍歷數(shù)組并進行異或操作來求解，這么做的時間復(fù)雜度為 O(N)。
令 index 為 Single Element 在數(shù)組中的位置。在 index 之后，數(shù)組中原來存在的成對狀態(tài)被改變。如果 m 為偶數(shù)，并且 m + 1 < index，那么 nums[m] == nums[m + 1]；m + 1 >= index，那么 nums[m] != nums[m + 1]。
從上面的規(guī)律可以知道，如果 nums[m] == nums[m + 1]，那么 index 所在的數(shù)組位置為 [m + 2, h]，此時令 l = m + 2；如果 nums[m] != nums[m + 1]，那么 index 所在的數(shù)組位置為 [l, m]，此時令 h = m。
因為 h 的賦值表達式為 h = m，那么循環(huán)條件也就只能使用 l < h 這種形式。
public int singleNonDuplicate(int[] nums) {
int l = 0, h = nums.length - 1;
while (l < h) {
int m = l + (h - l) / 2;
if (m % 2 == 1) {
m--; // 保證 l/h/m 都在偶數(shù)位，使得查找區(qū)間大小一直都是奇數(shù)
}
if (nums[m] == nums[m + 1]) {
l = m + 2;
} else {
h = m;
}
}
return nums[l];
}
4. 第一個錯誤的版本
278. First Bad Version (Easy)
題目描述：給定一個元素 n 代表有 [1, 2, ..., n] 版本，在第 x 位置開始出現(xiàn)錯誤版本，導(dǎo)致后面的版本都錯誤?？梢哉{(diào)用 isBadVersion(int x) 知道某個版本是否錯誤，要求找到第一個錯誤的版本。
如果第 m 個版本出錯，則表示第一個錯誤的版本在 [l, m] 之間，令 h = m；否則第一個錯誤的版本在 [m + 1, h] 之間，令 l = m + 1。
因為 h 的賦值表達式為 h = m，因此循環(huán)條件為 l < h。
public int firstBadVersion(int n) {
int l = 1, h = n;
while (l < h) {
int mid = l + (h - l) / 2;
if (isBadVersion(mid)) {
h = mid;
} else {
l = mid + 1;
}
}
return l;
}
5. 旋轉(zhuǎn)數(shù)組的最小數(shù)字
153. Find Minimum in Rotated Sorted Array (Medium)
Input: [3,4,5,1,2],
Output: 1
public int findMin(int[] nums) {
int l = 0, h = nums.length - 1;
while (l < h) {
int m = l + (h - l) / 2;
if (nums[m] <= nums[h]) {
h = m;
} else {
l = m + 1;
}
}
return nums[l];
}
6. 查找區(qū)間
34. Find First and Last Position of Element in Sorted Array
Input: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
Output: [3,4]
Input: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
Output: [-1,-1]
題目描述：給定一個有序數(shù)組 nums 和一個目標(biāo) target，要求找到 target 在 nums 中的第一個位置和最后一個位置。
可以用二分查找找出第一個位置和最后一個位置，但是尋找的方法有所不同，需要實現(xiàn)兩個二分查找。我們將尋找 target 最后一個位置，轉(zhuǎn)換成尋找 target+1 第一個位置，再往前移動一個位置。這樣我們只需要實現(xiàn)一個二分查找代碼即可。
public int[] searchRange(int[] nums, int target) {
int first = findFirst(nums, target);
int last = findFirst(nums, target + 1) - 1;
if (first == nums.length || nums[first] != target) {
return new int[]{-1, -1};
} else {
return new int[]{first, Math.max(first, last)};
}
}
private int findFirst(int[] nums, int target) {
int l = 0, h = nums.length; // 注意 h 的初始值
while (l < h) {
int m = l + (h - l) / 2;
if (nums[m] >= target) {
h = m;
} else {
l = m + 1;
}
}
return l;
}
在尋找第一個位置的二分查找代碼中，需要注意 h 的取值為 nums.length，而不是 nums.length - 1。先看以下示例：
nums = [2,2], target = 2
如果 h 的取值為 nums.length - 1，那么 last = findFirst(nums, target + 1) - 1 = 1 - 1 = 0。這是因為 findLeft 只會返回 [0, nums.length - 1] 范圍的值，對于 findFirst([2,2], 3) ，我們希望返回 3 插入 nums 中的位置，也就是數(shù)組最后一個位置再往后一個位置，即 nums.length。所以我們需要將 h 取值為 nums.length，從而使得 findFirst返回的區(qū)間更大，能夠覆蓋 target 大于 nums 最后一個元素的情況。
