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?數(shù)列極限是微積分內(nèi)容的核心，極限思想貫穿于整個(gè)微積分內(nèi)容之中.

?數(shù)列極限是微積分最基本，最核心，最重要，最難的內(nèi)容.

數(shù)列定義：無限排列的一列數(shù) $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ , $…$ , $a_n$ , $…$ 稱為數(shù)列，記作 $\left\{ a_n \right\}$ ，稱 $a_n$ 為數(shù)列的通項(xiàng).

設(shè)函數(shù) $y=f(x)$ , $x\in D$ ，特別地 $D=N= \left\{ 1,2,3,… \right\}$ ，函數(shù)為 $y=f(x)$ , $x\in N$ ，或?qū)憺?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=y%3Df(n)" alt="y=f(n)" mathimg="1">, $n\in N$ ，稱為自變量取整函數(shù).

由于它的自變量取值可以按照自然數(shù)大小的順序排列成一無限列 $n$ $:$ $1$ , $2$ , $3$ , $…$ , $n$ , $…$ ，相應(yīng)的函數(shù)值也可以成一無限列 $f(n)$ $:$ $f(1)$ , $f(2)$ , $f(3)$ , $…$ , $f(n)$ , $…$ 稱為數(shù)列，記作 $\left\{ f(n) \right\}$ ， $f(n)$ 稱為數(shù)列的通項(xiàng)，記 $a_n = f(n)$ , $n=$ $1$ , $2$ , $3$ , $…$

數(shù)列可以寫為 $a_1$ , $a_2$ , $…$ , $a_n$ , $…$ ，稱為數(shù)列，記作 $\left\{ a_n \right\}$ ， $a_n$ 稱為數(shù)列的通項(xiàng).

給一個(gè)數(shù)列 $\left\{ a_n \right\}$ ，看隨著 $n$ 無限增大， $a_n$ 的變化趨勢(shì).

【例1】 $\left\{ \frac {1}{n} \right\}$

$1$ , $\frac {1}{2}$ , $\frac {1}{3}$ , $\frac {1} {4}$ , $…$ , $\frac {1} {n}$ , $…$ 極限是0.

【例2】 $\left\{ 1 \right\}$

$1$ , $1$ , $1$ , $1$ , $…$ , $1$ , $…$ 極限是1.

【例3】

$1$ , $0$ , $\frac {1} {2}$ , $0$ , $\frac {1}{3}$ , $0$ , $…$ , $\frac {1} {n}$ , $0$ , $…$ 極限是0.

【例4】 $\left\{ (-1)^n \right\}$

$-1$ , $1$ , $-1$ , $1$ , $…$ , $(-1)^n$ , $…$ 無極限.

【例5】 $1$ , $2^2$ , $3^3$ , $…$ , $n^2$ , $…$ 無極限.

主要研究一個(gè)數(shù)列 $\left\{ a_n \right\}$ 有極限 $a$ .

定義：設(shè) $\left\{ a_n \right\}$ 是一個(gè)給定的數(shù)列， $a$ 是一個(gè)確定的常數(shù)，隨著 $n$ 無限增大，有 $a_n$ 與 $a$ 無限地接近，稱數(shù)列 $\left\{ a_n \right\}$ 當(dāng) $n \to \infty$ 時(shí)的極限是 $a$ ，記作 $\lim \limits_{x\to \infty} a_n = a$ 或 $a_n \to a$ ( $n \to \infty$ ).

這個(gè)不是數(shù)學(xué)語言，找數(shù)學(xué)語言的表達(dá)式.#

【1】 $\lim\limits_{x \to \infty} \frac {1} {n} =0$

【2】 $\lim\limits_{x \to \infty} (1+ \frac {1}{n} )^n = e$

【3】 $\lim\limits_{x \to \infty} n^ \frac {1} {n} = 1$

【4】 $\lim\limits_{x \to \infty } \sqrt [n]{a} =1$

【5】 $\lim\limits_{x\to \infty} (1- \frac {1}{n}) ^n = \frac {1}{e}$

【6】 $\lim\limits_{x\to \infty} ( \frac {\sqrt {1 \cdot 2 }}{{n^2+1}} + \frac {\sqrt {2 \cdot 3 }}{{n^2 + 3}} +\cdot \cdot \cdot \frac {\sqrt { n(n+1) }}{{n^2 + n}}) = ?$

分析：隨著 $n$ 無限增大， $a_n$ 與 $a$ 無限地接近，如何衡量？

即 $\forall \varepsilon ＞0$ ，要使 $\vert a_n - a \vert ＜\varepsilon$ ，但是不是對(duì)所有項(xiàng)都滿足，而是找到 $\exists N$ （自然數(shù)）.當(dāng) $n＞N$ 時(shí)，都要 $\vert a_n - a \vert ＜\varepsilon$ 成立.

這里，先有 $\varepsilon$ ，再定 $N$ ，而且 $\varepsilon$ 越小， $N$ 越大.

定義：設(shè) $\left\{ a_n \right\}$ 是一個(gè)給定的數(shù)列， $a$ 是一個(gè)確定的常數(shù).如果 $\forall \varepsilon ＞0$ ， $\exists$ 自然數(shù) $N$ ，當(dāng) $n＞N$ 時(shí)，都有 $\vert a_n - a \vert ＜\varepsilon$ ，稱數(shù)列 $\left\{ a_n \right\}$ 當(dāng) $n$ 趨于無窮大時(shí)的極限是 $a$ ，記作 $\lim\limits_{x\to\infty } a_n = a$ 或 $a_n \to a$ $(n \to \infty)$ 稱為 $\varepsilon -N$ 定義.

注意：

1. $\varepsilon$ 的任意性：定義 $\varepsilon$ 是一切正數(shù).實(shí)際上這個(gè) $\varepsilon$ 指的是小.可以限制 $\varepsilon$ 小于某個(gè)正數(shù)，但是不能限制 $\varepsilon$ 大于某個(gè)正數(shù)， $\varepsilon$ 可以用 $\varepsilon ^2$ , $\sqrt {\varepsilon }$ , $…$ 代替，但是 $\varepsilon$ 不能換成 $\sqrt {\varepsilon } +1$ .

2. $N$ 的相應(yīng)性： $N$ 隨著 $\varepsilon$ 變化而變化. $\varepsilon$ 越小， $N$ 越大.如果能找到一個(gè) $N$ ，就可以找到無數(shù)個(gè) $N$ .這里 $N$ 是下標(biāo)的一個(gè)界限. $N$ 不要求是自然數(shù)， $n$ 一定是自然數(shù)，而且 $N$ 不是 $\varepsilon$ 的函數(shù).

3.幾何意義：若 $\lim\limits_{x\to\infty } a_n = a$ ，由 $\varepsilon ＞0$ ， $\exists$ 自然數(shù) $N$ .當(dāng) $n＞N$ 時(shí)，都有 $\vert a_n - a \vert ＜\varepsilon$ $(\Leftrightarrow -\varepsilon ＜ a_n - a ＜\varepsilon )$ $\Leftrightarrow$ $a-\varepsilon ＜a_n＜a+\varepsilon$ $\Leftrightarrow$ $a_n\in (a-\varepsilon , a+\varepsilon ) \triangleq \cup (a , \varepsilon )$ .即對(duì) $a$ 的任何 $\varepsilon$ 鄰域 $\cup (a , \varepsilon )$ 在鄰域外面僅有數(shù)列的有限項(xiàng)，其余項(xiàng)統(tǒng)統(tǒng)都落在 $\cup (a , \varepsilon )$ 內(nèi).

幾何意義

分析法：

【例】證明 $x＞e$ 時(shí)，都有 $x^2 - 3x +2 ＞0$ .

證：要證 $x^2 - 3x +2 ＞0$ 成立，只要證 $(x-2)(x-1)＞0$ 成立，只要證 $x＜1$ 或 $x＞2$ 成立.

由 $x＞e$ $\Rightarrow$ $x＞2$

∴ $x^2 - 3x +2 ＞0$

【例】證明 $\lim\limits_{x\to \infty } \frac {1}{n^k} =0$ （ $k＞0$ ，常）.

證： $\forall \varepsilon ＞0$ ，若要 $\vert \frac {1}{n^k}-0 \vert ＜\varepsilon$ 成立