第一章第13題：至少一人手中有兩張A的概率

例：一副牌有52張，其中4張A，隨機(jī)地把這副牌分給3個玩家，每人5張，求至少有一個人手中的5張牌剛好有2張是A的概率。

分析：樣本空間
\Omega=\{a_1a_2a_3a_4a_5,b_1b_2b_3b_4b_5,c_1c_2c_3c_4c_5\}
其中a_i,b_i,c_i(i=1,2,…,5)代表1到52的某個數(shù)字（每個數(shù)字對應(yīng)一張撲克牌），且相互不重復(fù)。本問題可以看成一個無放回的抽樣：分三次抽，每次抽出5張。若不考慮每個玩家手上的牌的排列順序，則總點(diǎn)數(shù)為C_{52}^{5}C_{47}^5C_{42}^5.

設(shè)

  • 事件B_j(j=1,2,3)表示玩家j手中沒有A
  • 事件C_j(j=1,2,3)表示玩家j的手中恰有1張A
  • 事件E_j(j=1,2,3)表示玩家j手上至少有兩張A，顯然E_j=\overline{B_j\cup C_j}
  • 事件D表示至少某個玩家手中有兩張A，則

\begin{aligned} D &=\overline{ (B_1 \cup C_1) \cap(B_2\cup C_2)\cap(B_3\cup C_3) }\\ &=\left(\overline{B_1\cup C_1} \right) \cup\left(\overline{B_2\cup C_2}\right) \cup\left(\overline{B_3\cup C_3}\right)\\ &=E_1\cup E_2\cup E_3 \end{aligned}

  1. 注意到B_j,C_j互不相容，故

\begin{aligned} P(E_j) & =1-P(B_j\cup C_j)=1-P(B_j)-P(C_j)\\ & =1 - \frac {C_{48}^5 C_{47}^5 C_{42}^5} {C_{52}^{5}C_{47}^5C_{42}^5} -\frac{C_4^1C_{48}^4C_{47}^5C_{42}^5} {C_{52}^{5}C_{47}^5C_{42}^5}\\ & = 1-\frac{C_{48}^5+C_4^1C_{48}^4} {C_{52}^5} = \frac{2257}{54145} \end{aligned}

  1. 事件E_1E_2?表示玩家1,2?手上各有兩張A，從而可知
    P(E_1E_2)=\frac{C_4^2C_{48}^3C_2^2C_{45}^3C_{42}^5}{C_{52}^{5}C_{47}^5C_{42}^5} =\frac{4}{10829}
    同理

P(E_2E_3)=P(E_3E_1)=\frac{4}{10829}

  1. 事件E_1E_2E_3?是不可能事件（因為不可能每個玩家手上都至少有2張A），故

P(E_1E_2E_3)=0.

至此，利用挖補(bǔ)公式
\begin{aligned} P(D)=&P(E_1)+P(E_2)+P(E_3)\\ &-P(E_1E_2)-P(E_2E_3)-P(E_3E_1)\\ &+P(E_1E_2E_3)\\ =&3\left(\frac{2257}{54145}-\frac{4}{10829}\right)\\ =&\frac{6711}{54145}\approx 0.123945 \end{aligned}

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