看似是小學作文素材的故事，仔細思考后其蘊涵的科學原理仍舊會讓人大開眼界。本文就帶領大家挖掘一下其背后的科學解釋。

概述

故事的內(nèi)容大致就是關于幾個和尚挑水喝而產(chǎn)生的勞動與分配矛盾，重點是圍繞和尚們挑水或不挑水，這會導致故事不同的結(jié)局。

無論有多少個和尚，在該故事中他們都有兩個選擇，即挑水或不挑水。他們自覺地根據(jù)自己的最優(yōu)利益進行決策，而這些決策有時候會導致大家的利益都受到損害。上述的“決策”一詞正是本文想要談論的核心，決策在科學研究中有專門的一個領域，名叫：博弈論。

博弈論

定義

利益沖突伴隨著人類社會發(fā)展的始終，在人與人之間存在矛盾與競爭時，參與者所進行的行為選擇，我們可以稱之為“博弈”。古代田忌賽馬的故事是運用博弈論的一個典型案例。但博弈論目前還沒有準確完備的定義，

博弈論可以看作是多人決策理論，即兩個及以上的參與者之間的決策理論。并且我們通常假設每個參與者都是理性的，即在面臨給定的約束條件下會主動地最大化自己的收益。

組成元素

博弈的基本元素包括：參與者(Player)，行動(Action)，信息(Information)，策略(Strategy)，支付(或報酬，Payoff)，理性(Rationality)，目標(Objective)，行動順序(Order of Play)，結(jié)果(Outcome)和均衡(Equilibrium)。

眾多術(shù)語可能會令讀者感到困惑，針對本文要分析的“和尚喝水問題”，我們可以只關注上述加粗的部分，這是最關鍵的五個核心要素。

模型

我們可以把問題建模成如下：

• 參與者為和尚 T = {1,2,3};
• 每個參與者都有各自的非空策略空間S，在這里就是{挑水，不挑水};
• 每個參與者有自己的支付函數(shù)(即收益)u，體現(xiàn)為：喝到水的收益與挑水付出的勞動之差。
• 為簡化問題，我們假設每個參與者的決策沒有先后順序，即他們同時作出決定。
• 最終參與者會達到一種博弈的平衡狀態(tài)，在此狀態(tài)下每個參與者都實現(xiàn)了自身利益的最大化，我們稱之為：均衡。

納什均衡(Nash Equilibrium)

這里我們著重介紹一下納什均衡的概念，上述的平衡狀態(tài)即屬于納什均衡。我們定義：每一個參與者的收益達到了一種最大化的平衡，在該狀態(tài)下，任何一個參與者一旦選擇其它策略，那么他的收益將會減少或者不變，但絕對不會增加。根據(jù)是否會嚴格減少，我們可以將納什均衡分為強納什均衡與弱納什均衡。我們通常研究強納什均衡。

由于參與者的個數(shù)較少，決策也有限，我們可以枚舉出所有策略下每個參與者的支付函數(shù)，以此直觀地來探究納什均衡時的實際意義。

問題分析

我們假設參與者個數(shù)為n。每個參與者挑一次水需要付出的勞動為C，一個參與者每次挑到水的毛收益為G。所有的水需要平分給大家，于是每個人的收益為G/n。最終每個參與者的凈收益則為：G/n-C。

一個參與者

對于一個和尚的情況，很顯然他必需要去挑水，否則收益為0。或者說與其坐等口渴不如去挑水，讓自己的收益更大。只要滿足G>C即可，這是顯然成立的。

兩個參與者

對于A和B兩個和尚，我們可以得到如下“支付矩陣”：

故事中，兩個和尚抬水喝，說明這是他們達成的納什均衡。根據(jù)納什均衡的定義，此時，任何一個參與者一旦選擇其它策略就會損害自己的收益，也就是說u11的收益是最好的，此時A和B都選擇挑水。

以A為例，一旦他選擇不挑水，支付函數(shù)u就會從u11轉(zhuǎn)到u12，此時要滿足納什均衡的條件，則要求：

• G-C > G/2-C;
• G-C > G/2;

解得：

• G > 0;
• G > 2C;

第一點說明挑水的毛收益要大于0，這一點肯定是滿足的，除非水桶是漏的。而第二點中，毛收益要大于付出勞動的兩倍，在現(xiàn)實生活中這一點也是很容易滿足的，沒有人愿意為了接一杯水而下山，一般都會一次性挑盡可能多的水。

三個參與者

A，B，C三個和尚進行博弈，我們同上分析可以得到8種情況：

故事中三個上最后都沒有去挑水，納什均衡是u000。同樣根據(jù)均衡的定義，我們可以如下分析，首先從u111入手，此時大家都去挑水，收益都為G-C。但其中一個人(以C為例)發(fā)現(xiàn)自己不挑水反而收益更高，于是C不挑水，此時u111跳轉(zhuǎn)到u110，根據(jù)此時C收益更多，我們要滿足：

• G-C < 2G/3;

接著另外一個人發(fā)現(xiàn)u110(以B為例)情況下，自己不挑水也收益更多，于是B也不挑水，u110條轉(zhuǎn)到u100，同理要求滿足：

• 2G/3-C < G/3;

最終A也發(fā)現(xiàn)自己要吃虧，因為自己付出了勞動卻要平分給三個人，可能會讓自己入不敷出，于是也決定不挑水，u100跳轉(zhuǎn)到了u000，此時滿足：

• G/3-C < 0;

三式聯(lián)立我們可以解得：

• G < 3C;

在三個和尚博弈的模型中，大家都是理性的，只要挑一次水的毛收益低于付出勞動的三倍，最終必然會導致三個和尚都不去挑水。而在現(xiàn)實生活中，上述不等式是可能成立的，例如那個水桶較小。

總結(jié)

至此大家應該對和尚喝水的寓言有了更深的理解，同時本文也拋磚引玉地向大家展現(xiàn)了博弈論的作用。

博弈論起源于經(jīng)濟學，感謝博弈論大師約翰·納什在其開創(chuàng)性論文《n人博弈的均衡點》[1]和《非合作博弈》[2]中給出了納什均衡(Nash Equilibrium)的概念和均衡存在性定理。

如今博弈論已經(jīng)在眾多非經(jīng)濟學科學領域嶄露頭角，成為了一種求解最優(yōu)化問題的有力工具。

參考文獻

• [1] Nash J F. Equilibrium points in n-person games[J]. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 1950, 36(1):48-49.
• [2] Nash J. Non-Cooperative Games[J]. Ann.math.stud, 1951, 54(3):286-295.