二叉樹無套利定價模型

使用二叉樹是為了用股票和現(xiàn)金的組合來復制期權(quán)，使用的理論是無套利定價。

定理1.2.2（多時段期權(quán)復制方法）
定義： $\tilde p = \frac{1+r-d}{u-d}$ , $\tilde q = \frac{u-1-r}{u-d}$ 和 $\Delta_n(w_1,w_2 \cdots w_n) = \frac{V_{n+1}(w_1 w_2 \cdots w_nH) - V_{n+1}(w_1 w_2 \cdots w_nT) }{S_{n+1}(w_1 w_2 \cdots w_nH) - S_{n+1}(w_1 w_2 \cdots w_nH) }$
$V_N$ 為衍生證券在時刻 $N$ 的支付（衍生證券的價格），每個 $V_n$ 都取決于前 $n$ 次拋硬幣的結(jié)果，并且可以由下式倒推 $V_{N-1}, V_{N-2 },\cdots ,V_0$ ：
$V_n(w_1 w_2 \cdots w_n) = \frac{1}{1+r}[ \ \tilde p V_{n+1}(w_1 w_2 \cdots w_nH) + \tilde q V_{n+1}(w_1 w_2 \cdots w_nT) \ ]$ 。
則，設(shè) $X_0 = V_0$ 且使用 $X_n$ 滿足 $X_{n+1} = \Delta _n S_{n+1} + (1+r)(X_n - \Delta_n S_n)$ 遞歸定義資產(chǎn)組合價值 $X_1, X_2, \cdots, X_N$ ，則有：
$X_N(w_1,w_2 \cdots w_N) = V_N(w_1,w_2 \cdots w_N)$

第一章其實就是分析了具體的幾個簡單的二叉樹例子，由這些例子推出了風險中性概率 $\tilde p$ , $\tilde q$ , 并且發(fā)現(xiàn) $\Delta_n(w_1,w_2 \cdots w_n)$ 的規(guī)律，然后由此引出了定理1.2.2，即按照以上發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來構(gòu)造二叉樹模型，則可以通過股票和現(xiàn)金的組合復制期權(quán)，從而計算出衍生證券的價格。

拋擲硬幣空間上的概率論

第二章由第一章的結(jié)論繼續(xù)推進，首先根據(jù)風險中性概率測度推出貼現(xiàn)股票價格是一個鞅，然后推出貼現(xiàn)財富過程是一個鞅。

定理2.2.5 詹森（Jesen）不等式 設(shè)X為定義在有限概率空間上的隨機變量， $\varphi(x)$ 為啞變量 $x$ 的凸函數(shù)，則有： $E[\varphi(X)] \geq\varphi(EX)$ .

定義2.4.1 考慮二叉樹資產(chǎn)定價模型。設(shè) $M_{0}, M_{1}, M_{2}, ..., M_{N}$ 為隨機變量序列，每個 $M_n$ 只依賴前 $n$ 次拋擲硬幣（ $M_0$ 為常量）。這樣的隨機變量序列稱為適應(yīng)隨機過程。
若滿足 $M_{n} = E_{n}[M_{n+1}]$ ，則這個過程為鞅；若 $M_{n} \geq E_{n}[M_{n+1}]$ ，這個過程為上鞅（遞減趨勢）；若 $M_{n} \leq E_{n}[M_{n+1}]$ ，這個過程為下鞅（遞增趨勢）。

定理2.4.4 考慮一般的二叉樹模型，其中 $0 < d < 1 + r < u$ ，設(shè)風險中線概率如下給出：
$\tilde p = \frac{1 + r - d}{u - d}, \tilde q = \frac{u-1-r}{u-d}$
那么在風險中性測度下，貼現(xiàn)股票價格過程是一個鞅，即式 $\frac{S_n}{(1+r)^n} = \tilde E_n[\frac{S_{n+1}}{(1+r)^{n+1}}]$ 在每個時刻 $n$ 對任意的拋擲硬幣結(jié)果序列成立。

定理2.4.5 考慮 $N$ 時段的二叉樹模型。設(shè) $\Delta_0, \Delta_1, \dots, \Delta_{N-1}$ 為適應(yīng)過程， $X_0$ 為實數(shù)， $X_0, X_1, \dots, X_N$ 為由式
$X_{n+1} = \Delta_n S_{n+1} + (1 + r)(X_n - \Delta_nS_n), n=0,1,\dots, N-1$ 遞歸產(chǎn)生的財富過程，那么，貼現(xiàn)財富過程 $\frac{X_n}{(1+r)^n}, n = 0, 1, \dots, N$ 為風險中性測度下的鞅，即：
$\frac{X_n}{(1+r)^n} = \tilde E_n[ \frac{X_{n+1}}{(1+r)^{n+1}} ]$

定理2.4.7 (風險中性定價公式) 考慮 $N$ 時段二叉樹資產(chǎn)定價模型，其中 $0 < d < 1 + r < u$ ，并且存在風險中性概率測度 $\tilde P$ 。設(shè) $V_N$ 是一個隨機變量（衍生證券在時刻 $N$ 的支付），它依賴于拋擲硬幣的結(jié)果。那么，對于0到 $N$ 之間的 $n$ ，衍生證券在時刻 $n$ 的價格由風險中性定價公式 $V_n = \tilde E_n[\frac{V_N}{(1+r)^{N-n}}]$ （其中 $V_n$ 的定義和定理1.2.2中 $V_n$ 的定義一致）給出。進一步，在 $\tilde P$ 之下，衍生證券的貼現(xiàn)價格是一個鞅，即：
$\frac{V_n}{(1+r)^n}=\tilde E_n[\frac{V_{n+1}}{(1+r)^{n+1}}], n = 0, 1,\dots, N-1$

定理2.4.8 (現(xiàn)金流定價) 考慮 $N$ 時段二叉樹資產(chǎn)定價模型，其中 $0 < d < 1 + r < u$ ，并且存在風險中性概率測度 $\tilde P$ 。設(shè) $C_0,C_1,\dots, C_N$ 為隨機變量序列，其中 $C_n$ 只依賴于 $w_1\dots w_n$ 。在時刻 $n, \dots, N$ ，相應(yīng)的支付分別為 $C_n, \dots, C_N$ 的衍生證券在時刻 $n$ 的價格為：
$V_n = \tilde E_n [\sum^N_{k=n} \frac{C_k}{(1+r)^{k-n}}], n = 0, 1, \dots, N$
價格過程 $V_n, n = 0, 1, \dots, N$ 滿足：
$C_n(w_1\dots w_n) = V_n(w_1\dots w_n) - \frac{1}{1+r}[\tilde p V_{n + 1}(w_1\dots w_nH) + \tilde q V_{n+1}(w_1\dots w_nT)]$
定義：
$\Delta_n(w_1 \dots w_n) = \frac{V_{n+1}(w_1 \dots w_nH) -V_{n+1}(w_1 \dots w_nT) }{S_{n+1}(w_1 \dots w_nH) -S_{n+1}(w_1 \dots w_nT)}$
其中 $n$ 在0到 $N-1$ 之間變化。如果我們令 $X_0 = V_0$ ，并按時間前向遞歸定義資產(chǎn)組合價值過程 $X_1, X_2, \dots, X_N$ 如下：
$X_{n+1} = \Delta_n S_{n+1} + (1+r)(X_n - C_n - \Delta_n S_n)$
則對所有 $n$ 和 $w_1 \dots w_n$ ，我們有：
$X_n (w_1 \dots w_n)= V_n(w_1 \dots w_n)$

定義2.5.1 馬爾可夫過程：考慮二叉樹定價模型。設(shè) $X_0, X_1,..., X_N$ 為適應(yīng)過程，如果對每個 $0$ 到 $N-1$ 之間的 $n$ 以及每個函數(shù) $f(x)$ ，存在另一個函數(shù) $g(x)$ （依賴于 $n$ 和 $f$ ），使得： $E_{n}[f(X_{n+1})]=g(X_n)$ ，則 $X_0, X_1,..., X_N$ 是一個馬爾可夫（Markov）過程。

定理2.5.8（非路徑依賴衍生證券定價） 設(shè) $X_0, X_1, \dots , X_N$ 為二叉樹模型中的風險中性概率測度 $\tilde P$ 下的馬爾可夫過程。設(shè) $v_N(x)$ 為一個啞變量 $x$ 的函數(shù)，考慮一個在時刻 $N$ 的支付為 $v_N(X_N)$ 的衍生證券。那么，對于每個0到 $N$ 之間的 $n$ ，衍生證券的價格 $V_n$ 為 $X_n$ 的某個函數(shù) $v_n$ ，即：
$V_n = v_n(X_n), n = 0, 1, \dots , N$
存在一個計算 $v_n$ 的遞歸算法，確切的公式依賴于基本的馬爾可夫過程 $X_0, X_1, \dots , X_N$ 。對于多維馬爾可夫過程，類似結(jié)果也成立。

引入馬爾可夫過程，將衍生證券的價格和股票的價格通過函數(shù) $v_n$ 聯(lián)系起來，這樣做可以計算非路徑依賴的衍生證券的價格。

資產(chǎn)定價第一基本定理：如果一個模型中存在一個風險中性測度，那么這個模型中就不存在套利。

狀態(tài)價格

定理3.1.1 Radon-Nikodym導數(shù)性質(zhì) 設(shè) $P$ 和 $\tilde P$ 是有限樣本空間 $\Omega$ 上的兩個概率測度，對任意的 $\omega \in \Omega$ ， $P(\omega) > 0$ ， $\tilde P(\omega) > 0$ ，定義隨機變量 $Z(\omega) = \frac{\tilde P(\omega)}{P(\omega)}$ 。我們有：
(i) $P(Z>0) = 1;$
(ii) $EZ = 1;$
(iii) 對任意的隨機變量 $Y$ ，有 $\tilde EY = E[ZY]$ .

定義3.1.3 狀態(tài)價格密度和狀態(tài)價格 P57 考慮 $N$ 時段二叉樹模型，設(shè)真實概率測度為 $P$ ，風險中性概率測度為 $\tilde P$ 。 $Z$ 表示 $\tilde P$ 關(guān)于 $P$ 的Radon-Nikodym導數(shù)，即：
$Z(w_1 \dots w_N) = \frac{\tilde P(w_1 \dots w_N)}{P(w_1 \dots w_N) } = ++++++++++++$

Radon-Nikodym導數(shù)：有限樣本空間 $\Omega$ 兩個概率測度 $P$ , $\tilde{P}$ ，則 $Z(w) = \frac{\tilde{P}}{P}$ 為Radon-Nikodym導數(shù)。
Radon-Nikodym導數(shù)的性質(zhì)：設(shè)和是有限樣本空間上的兩個概率測度，對任意的, , , 定義隨機變量, 有：
1. $P(Z > 0) = 1$ ;
2. $EZ = 1$ ;
3. 對任意的隨機變量Y，有 $\tilde EY = E[ZY]$ .

第二卷

布朗運動

對稱隨機游動：接連拋擲一枚均勻的硬幣（正面反面概率均為 $\frac{1}{2}$ ），拋擲結(jié)果記為 $w = w_1 w_2 w_3 \dots$ . $w_n$ 是第 $n$ 次拋擲硬幣的結(jié)果，定義
$X_j = \left\{ \begin{aligned} 1, \ &如果w_j = H\\ -1, \ &如果w_j = T \end{aligned} \right.$
并且定義 $M_0 = 0$ 以及 $M_k = \sum_{j = 1}^k X_j, k = 1, 2, \dots$ ，則過程 $M_k(k = 0, 1, 2, \dots)$ 是一個對稱隨機游動。
對稱隨機游動具有獨立增量，即對于非負整數(shù) $0 = k_0 < k_1 < \dots < k_m$ ，隨機變量 $M_{k_1} = (M_{k_1} - M_{k_0}), (M_{k_2} - M_{k_1}), \dots , (M_{k_m} - M_{k_{m-1}})$ 是兩兩獨立的。每個隨機變量 $M_{k_{i+1}} - M_{k_{i}} = \sum_{j = k_i+1}^{k_{i+1}}X_j$ 稱為隨機變量的增量。
每個增量 $M_{k_{i+1}} - M_{k_{i}}$ 具有期望0和方差 $k_{i+1} - k_{i}$ .
對稱隨機游動是鞅。
對稱隨機游動的二次變差：截至時刻 $t$ 的二次變差定義為：
$[M, M]_k = \sum_{j = 1}^{k} (M_j - M_{j-1})^2 = k$
（可以發(fā)現(xiàn)，對稱隨機游動的二次變差等于其方差( $Var(M_k)$ )；但是，如果隨機游動非對稱，會影響其方差的值，從而導致其二次變差和方差不相等。）
按比例縮小型對稱隨機游動：固定正整數(shù) $n$ ，定義：
$W^{(n)}(t) = \frac{1}{\sqrt{n}}M_{nt}$
其中， $nt$ 為正整數(shù)。（后面可以看到，研究該隨機過程，主要是為了后面引出布朗運動，因為令 $n \rightarrow \infty$ ，取極限，將得到一個布朗運動）
定理3.2.1 （中心極限定理） 固定 $t \geq 0$ ，按比例縮小型隨機游動 $W^{(n)}(t)$ 在時刻 $t$ 取值的分布當 $n \rightarrow \infty$ 時收斂于均值為 $0$ 、方差為 $t$ 的正態(tài)分布。（該定理的證明用到了矩母函數(shù)的概念）
定理3.2.2 （對數(shù)正態(tài)分布作為二叉樹模型的極限） 時刻t的股價 $S_n(t) = S(0)u^{H_{nt}}_{n} d_{n}^{T_{nt}} = S(0)(1 + \frac{\sigma}{\sqrt{n}})^{\frac{1}{2}(nt + M_{nt})}(1 - \frac{\sigma}{\sqrt{n}})^{\frac{1}{2}(nt - M_{nt})}$ （該式通過定義 $u_n = 1 + \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ ， $d_n = 1 - \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 和時刻 $t$ 的股價由初始股價 $S(0)$ 以及前 $nt$ 次硬幣拋擲的結(jié)果確定，這三個條件推導而出）。
當 $n \rightarrow \infty$ 時，上式中 $S_n(t)$ 的分布收斂于 $S(t) = S(0)e^{\sigma W(t) - \frac{1}{2} \sigma ^ 2t}$ （該分布是個對數(shù)正態(tài)分布）的分布，其中 $W(t)$ 是均值為 $0$ 、方差為 $t$ 的正態(tài)隨機變量。
個人理解，該定理的意思是，固定 $t$ ，即在每一時刻下，來對 $W(t)$ 和 $S(t)$ 的分布進行研究，即可以將 $t$ 看做是常數(shù)。
對數(shù)正態(tài)分布：任何形如 $ce^X$ （其中 $c$ 是常數(shù)， $X$ 服從正態(tài)分布）的隨機變量被稱為具有對數(shù)正態(tài)分布。
布朗運動 設(shè) $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ 是概率空間。對每個 $\omega \in \Omega$ ，假設(shè)存在依賴于 $\omega$ 的，滿足 $W(0) = 0$ 的連續(xù)函數(shù) $W(t) (t \geq 0)$ 。則 $W(t) (t \geq 0)$ 是一個布朗運動，如果對所有 $0 = t_0 < t_1 < \dots < t_m$ ，增量
$W(t_1) = W(t_1) - W(t_0), W(t_2) - W(t_1), \dots , W(t_m) - W(t_{m - 1})$ 兩兩獨立，每個增量服從正態(tài)分布，并且
$\mathbb{E}[W(t_{i + 1}) - W(t_i)] = 0$
$Var[W(t_{i+1}) - W(t_{i})] = t_{i + 1} - t_{i}$ .
（這里需要注意的是，布朗運動是連續(xù)的函數(shù)，但是不可導。）
定理3.3.2 （布朗運動的等價刻劃）設(shè) $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ 是概率空間。對每個 $\omega \in \Omega$ ，假設(shè)存在依賴于 $\omega$ 的，滿足 $W(0) = 0$ 的連續(xù)函數(shù) $W(t) (t \geq 0)$ ，則一下三條性質(zhì)等價：
（i）對所有 $0 = t_0 < t_1 < \dots < t_m$ ，增量
$W(t_1) = W(t_1) - W(t_0), W(t_2) - W(t_1), \dots, W(t_m) - W(t_{m - 1} )$ 兩兩獨立，每個增量服從正態(tài)分布，并且均值和方差由式 $\mathbb{E}[W(t_{i + 1}) - W(t_i)] = 0$ 和式 $Var[W(t_{i+1}) - W(t_{i})] = t_{i + 1} - t_{i}$ 給出。
（ii）對所有 $0 = t_0 < t_1 < \dots < t_m$ ， $W(t_1), W(t_2), \dots, W(t_m)$ 為聯(lián)合正態(tài)隨機變量，均值為 $0$ ，并且協(xié)方差矩陣為xxxx.
（iii）對所有 $0 = t_0 < t_1 < \dots < t_m$ ， $W(t_1), W(t_2), \dots, W(t_m)$ 具有聯(lián)合矩母函數(shù)xxxx.
（這個定理，只證明了(i) $\rightarrow$ (ii)，(i) $\rightarrow$ (iii)），至于為什么(ii) $\rightarrow$ (i)和(iii) $\rightarrow$ (i)，可能是需要了解協(xié)方差矩陣和矩母函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)。
定義3.3.3 設(shè) $W(t)(t \geq 0)$ 是定義在概率空間 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ 上的布朗運動。布朗運動的域流是滿足下列條件的一族 $\sigma$ -代數(shù) $F(t)(t \geq 0)$ ：
(i) （信息積累）對于 $0 \leq s <t, \mathcal{F}(t)$ 中的每一個集合也在 $\mathcal{F}(t)$ 中。換言之，在較后時刻所獲得的信息 $\mathcal{F}(t)$ 至少包括較早時刻已獲得的信息 $\mathcal{F}(s)$ .
(ii)（適應(yīng)性）對每個 $t \geq 0$ ，在時刻 $t$ ，布朗運動 $W(t)$ 是 $\mathcal{F}(t)$ 可測的。換言之，在時刻 $t$ 所獲得的信息足以確定布朗運動 $W(t)$ 在該時刻的值。
(iii) （未來增量的獨立性）對于 $0 \geq t < u$ ，增量 $W(u) - W(t)$ 獨立于 $\mathcal{F}(t)$ ，換言之，時刻 $t$ 以后布朗運動的任何增量都與時刻 $t$ 所獲得的信息無關(guān)。
定理3.3.4 布朗運動是鞅。
定義3.4.1（連續(xù)函數(shù)二次變差的定義） 設(shè) $f(t)$ 是關(guān)于 $0 \leq t \leq T$ 有定義的函數(shù)。截至時刻 $T$ ， $f$ 的二次變差為：
$[f, f](T) = \mathop{lim}\limits_{||\Pi|| \rightarrow 0}\sum\limits_{j = 0}^{n-1}[f(t_{j+1}) - f(t_j)]^2$
其中 $\Pi = {t_0, t_1, \dots, t_n}$ 并且 $0 = t_0 < t_1 < \dots < t_n = T$ .
（如果f有連續(xù)的導數(shù)，則其二次變差為0。其證明需要用到微分中值定理。另外，定理里面對于 $\Pi$ 的定義好像有問題吧……）
定理3.4.3 設(shè) $W$ 是布朗運動，則對所有 $T \geq 0$ ， $[W, W](T) = T$ 幾乎必然成立。
（該定理的證明用到了均方收斂的概念，即布朗運動的二次變差 $Q_{\Pi} = \sum_{j=0}^{n-1}(W(t_{j+1}) - W(t_j))^2$ 在 $\Pi \rightarrow 0$ 時，其期望值為 $T$ ,其方差收斂于0，從而無論路徑如何，它都收斂于期望值T。）
（隨機變量的各種收斂性，之間的差別？？）
由該定理可以引出： $dW(t)dW(t) = dt$ ， $dW(t)dt = 0$ ， $dtdt= 0$ ，書里面沒有詳細的證明，詳細的證明應(yīng)該超綱了，需要查更詳細的資料。
由于 $[W, W](T_2) - [W, W](T_1) = T_2 - T_1$ ，因此，布朗運動在單位時間內(nèi)累積二次變差的速率為1。
幾何布朗運動 設(shè) $\alpha$ 和 $\sigma >0$ 是常數(shù)，定義幾何布朗運動
$S(t) = S(0)e^{\sigma W(t) + (\sigma - \frac{1}{2}\sigma^2) }$ .
里面的 $\sigma$ 是幾何布朗運動的實現(xiàn)波動率，即
$\frac{1}{T_2 - T_1} \sum_{j=0}^{m-1}(log \frac{S(t_{j+1})}{S(t_j)})^2\approx \sigma^2$
定理3.5.1 設(shè) $W(t)$ , $t \geq 0$ 是布朗運動， $\mathcal{F}(t)，t \geq 0$ 是關(guān)于該布朗運動的域流，則 $W(t), t \geq 0$ 是馬爾可夫過程。
這個定理的證明里面用到了一個轉(zhuǎn)移密度的概念：
布朗運動的轉(zhuǎn)移密度 $p(\tau, x, y)$ 為 $p(\tau, x, y) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \tau}}e^{ - \frac{(y-x)^2}{2 \tau}}$ .
定理3.6.1（指數(shù)鞅） 設(shè) $W(t)$ , $t \geq 0$ 是布朗運動， $\mathcal{F}(t)，t \geq 0$ 是關(guān)于該布朗運動的域流， $\sigma$ 是常數(shù)，則式
$Z(t) = e^{\sigma W(t) - \frac{1}{2}\sigma^2 t}$
中的過程 $Z(t), t \geq 0$ 是鞅。
給定常數(shù) $\sigma$ ，相應(yīng)于 $\sigma$ 的所謂指數(shù)鞅即上式中定義的 $Z(t)$ 。
布朗運動的首達時間 設(shè) $m$ 是實數(shù)，定義水平 $m$ 的首達時間為： $\tau _m = min\{t \geq 0; W(t) = m\}$ 這是布朗運動 $W$ 達到水平 $m$ 的第一時間。
定理3.6.2 對于 $m \in \mathbb{R}$ ，布朗運動關(guān)于水平 $m$ 的首達時間幾乎必然有限，并且其分布的拉普拉斯（Laplace）變換為：
$\mathbb{E} e^{-\alpha \tau_m} = e^{-|m| \sqrt{2\alpha}}, \ \forall \alpha > 0$
為啥又和拉普拉斯變換扯到一起了？？？？沒搞明白

3.7 反射原理的東西，暫時用不到（略）

隨機分析

伊藤積分的作用，其實就是為了求資產(chǎn)組合的價值， $\int_0^T \Delta(t)dW(t)$ 中的 $\Delta(t)$ 是時刻 $t$ 持有資產(chǎn)的頭寸， $W(t)$ 看做每份資產(chǎn)在時刻 $t$ 的價格。

伊藤積分 一般地，如果 $t_k \geq t \geq t_{k+1}$ ，則：
$I(t) = \sum_{j = 0}^{k -1}\Delta(t_j)[W(t_{j+1}-W(t_j)] + \Delta(t_k)[W(t)-W(t_k)]$ 中的過程 $I(t)$ 就是簡單過程 $\Delta(t)$ （簡單過程說白了就是每個時間區(qū)間里都是常數(shù)的過程）的伊藤積分，記為：
$I(t) = \int_0^T\Delta(u)dW(u)$
定理4.2.1 由上式定義的伊藤積分是一個鞅。
定理4.2.2（伊藤等距） 上面定義的伊藤積分滿足：
$\mathbb{E} I^2(t) =\mathbb{E} \int _0^T \Delta^2(u)du$
定理4.3.1 設(shè) $T$ 是正數(shù)， $\Delta(t), 0 \leq t \leq T$ 是滿足式 $\mathbb{E}\int_0^T\Delta ^2(t)dt < \infty$ 的適應(yīng)隨機過程。則 $I(t) = \int_0^t\Delta(u)dW(u) = \mathop{lim}_{n \rightarrow \infty}\int_0^t\Delta_n(u)dW(u), 0 \leq t \leq T$ 具有以下性質(zhì)：
(i) （連續(xù)性）作為積分上限 $t$ 的函數(shù)， $I(t)$ 的路徑連續(xù)。
(ii)（適應(yīng)性）對每個 $t, I(t)$ 為 $\mathcal{F}(t)$ -可測。
(iii)（線性性）如果 $I(t) = \int_0^t\Delta(u)dW(u), J(t) = \int_0^t\Gamma(u)dW(u)$ ，則 $I(t) \pm J(t) = \int_0^t(\Delta(u) \pm \Gamma(u))dW(u)$ ；對任意常數(shù) $c, cI(t) =\int_0^t c\Delta(u) dW(u)$ 。
(iv)（鞅性質(zhì)） $I(t)$ 是鞅。
(v)（伊藤等距） $\mathbb{E}I^2(t) = \mathbb{E}\int_0^t\Delta^2(u)du$ 。
(vi)（二次變差） $[I, I](t) = \int_0^t \Delta^2(u)du$ 。
定理4.4.1（關(guān)于布朗運動的伊藤-德布林公式） 設(shè)函數(shù) $f(t, x)$ 的偏導數(shù) $f_t(t,x), f_x(t, x)$ 和 $f_{xx}(t, x)$ 都有定義并且連續(xù)， $W(t)$ 是布朗運動，則對于每個 $T \geq 0$ ，有：
$f(T, W(T)) = f(0, W(0)) + \int_0^Tf_t(t, W(t))dt + \int_0^Tf_x(t, W(t))dW(t) + \frac{1}{2}\int_0^Tf_{xx}(t, W(t))dt$
（伊藤-德布林公式的證明需要用到泰勒展開。這里需要注意，對于伊藤德布林公式的微分形式，其實并沒有數(shù)學含義，因為布朗運動是不可導的，故不可微，書里面的微分形式只是為了方便計算和記憶。）