線代（四）：向量組的線性相關(guān)性

向量組及其線性組合

n個(gè)有次序的數(shù) a_{1},a_{2},…a_{n} 所組成的數(shù)組稱為n 維向量，這 n 個(gè)數(shù)稱為該向量的n個(gè)分量，第i個(gè)數(shù)a_{i} 稱為第i個(gè)分量。分量全為實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量，分量為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量。

向量分為列向量a=\begin{pmatrix} a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix}和行向量a^{T}=(a_{1},a_{2},\dots,a_{n})
若干個(gè)同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組,如一個(gè) m×n矩陣的全體列向量是一個(gè)含n個(gè) m維列向量的向量組，它的全體行向量是一個(gè)含 m 個(gè)n 維行向量的向量組。

給定向量組A:a_{1},a_{2}, … ,a_{m}，對于任何一組實(shí)數(shù)k_{1},k_{2},… ,k_{m}，表達(dá)式k_{1} a_{1} +k_{2} a_{2} +… +k_{m} a_{m}稱為向量組A 的一個(gè)線性組合，k_{1},k_{2} ,… ,k_{m}稱為這個(gè)線性組合的系數(shù)。
如果向量b等于向量組A的一個(gè)線性組合，這時(shí)稱向量b能由向量組A 線性表示。

向量b 能由向量組A:a_{1},a_{2}, … ,a_{m} 線性表示的充分必要條件是矩陣A=(a_{1},a_{2}, … ,a_{m})的秩等于矩陣B=(a_{1},a_{2}, … ,a_{m},b)的秩，即：R(A)=R(A,b)

設(shè)有兩個(gè)向量組A:a_{1},a_{2}, … ,a_{m} 及 B:b_{1},b_{2}, … ,b_{m}，若 B 組中的每個(gè)向量都能由向量組A線性表示，則稱向量組B能由向量組A線性表示.。若向量組A 與向量組 B 能相互線性表示，則稱這兩個(gè)向量組等價(jià)。

向量組B:b_{1},b_{2}, … ,b_{m}能由向量組 A:a_{1},a_{2}, … ,a_{m}線性表示的充分必要條件是矩陣A =(a_{1},a_{2}，… ,a_{m})的秩等于矩陣(A,B)= (a_{1}，…，a_{m}，b_{1}，…，b_{l})的秩，即R(A)= R(A,B) \Rightarrow向量組A:a_{1},a_{2}, … ,a_{m}與向量組 B:b_{1},b_{2}, … ,b_{m}等價(jià)的充分必要條件是R(A)= R(B)=R(A,B)

向量組的線性相關(guān)性

給定向量組 A:a_{1},a_{2}, … ,a_{m} 如果存在不全為零的數(shù)k_{1},k_{2},… .k_{m},使k_{1}a_{1}+k_{2}a_{1}+...+k_{m}a_{m}=0,則稱向量組 A 是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)。

向量組A:a_{1},a_{2}, … ,a_{m} 線性相關(guān)的充分必要條件是它所構(gòu)成的矩陣A =(a_{1},a_{2}，… ,a_{m})的秩小于向量個(gè)數(shù) m；向量組 A 線性無關(guān)的充分必要條件是R(A)= m

  • 若向量組A:a_{1},a_{2}, … ,a_{m} 線性相關(guān)，則向量組B:a_{1},a_{2}, … ,a_{m},a_{m+1}也線性相關(guān)。反之，若向量組B 線性無關(guān)，則向量組A 也線性無關(guān)。
  • m 個(gè)n維向量組成的向量組，當(dāng)維數(shù) n小于向量個(gè)數(shù) m 時(shí)一定線性相關(guān).特別地 n+1 個(gè)n維向量一定線性相關(guān).
  • 設(shè)向量組A:a_{1},a_{2}, … ,a_{m} 線性無關(guān)，而向量組 B:a_{1},a_{2}, … ,a_{m},b 線性相關(guān)，則向量 b 必能由向量組 A 線性表示，且表示式是惟一的。

向量組的秩

設(shè)有向量組 A，如果在A 中能選出r 個(gè)向量:a_{1},a_{2},…,a_{r},滿足(i): 向量組A_{0}:a_{1},a_{2},…,a_{r}線性無關(guān);（ii）向量組A 中任意r+1個(gè)向量（如果A 中有r+1個(gè)向量的話）都線性相關(guān)，那么稱向量組A_{0}是向量組A的一個(gè)最大線性無關(guān)向量組(簡稱量大無關(guān)組),最大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)r稱為向量組A 的秩，記作 R(A)。
只含零向量的向量組沒有最大無關(guān)組，規(guī)定它的秩為0.

  • 矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩
  • 向量組b_{1},b_{2},… ,b_{l} 能由向量組 _{1},a_{2},…a_{m} 線性表示的充分必要條件是R(a_{1},a_{2},…,a_{m})= R(a_{1},…,a_{m},b_{1},… , b_{l}).
  • 若向量組 B 能由向量組A 線性表示，則 R(B) ≤R(A)

線性方程組的解的結(jié)構(gòu)

  • 若x=ξ _{1}, x =ξ_{2} 為向量方程（2）的解，則x=ξ_{1} +ξ_{2} 也是向量方程（2）的解.
  • 若x=ξ_{1} 為向量方程（2）的解，k為實(shí)數(shù)，則 x=kξ_{1} 也是向量方程（2）的解.

設(shè) m×n 矩陣 A 的秩R(A)=r，則 n 元齊次線性方程組 Ax=0的解集 S 的秩R(S) =n-r.

  • 設(shè) x=η_{1} 及x= η_{2} 都是向量方程（5）的解，則 x=η_{1}-η_{2} 為對應(yīng)的齊次線性方程組A x = 0的解
  • 設(shè)x=η是方程（5）的解,x=ξ是方程Ax=0的解，則x=ξ+η仍是方程（5）的解.

向 量 空 間

V為n維向量的集合，如果集合 V非空，且集合V對于向量的加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉，那么就稱集合 V為向量空間

設(shè)有向量空間 V_{1} 及 V_{2}，若 V_{1}\subseteq V_{2}，就稱 V_{1} 是 V_{2} 的子空間。
設(shè)V為向量空間，如果r個(gè)向量a_{1},a_{2} ,… ,a_{r}∈V，且滿足(1)a_{1},a_{2} ,… ,a_{r}線性無關(guān)；(2)V中任一向量都可由a_{1},a_{2} ,… ,a_{r}線性表示。那么，向量組a_{1},a_{2} ,… ,a_{r}就稱為向量空間V的一個(gè)基，r稱為向量空間 V的維數(shù)，并稱 V為r維向量空間.

如果在向量空間 V中取定一個(gè)基a_{1},a_{2} ,… ,a_{r},那么 V中任一向量x 可惟一地表示為:x =λ_{1} a_{1} +λ_{2} a_{2} + … +λ_{r} a_{r}，數(shù)組λ_{1}，λ_{2}， …，λ_{r} 稱為向量x 在基a_{1},a_{2} ,… ,a_{r} 中的坐標(biāo)

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