矩陣基礎(chǔ)

1.認(rèn)識(shí)矩陣

2.矩陣維度和記法

3.方陣

行數(shù)和列數(shù)相同的矩陣，稱為方陣
我們的課程中，主要討論的范疇就是在 22、33、44方陣

思考
下?面A ,B 矩陣那個(gè)是單元矩陣?

4.單位矩陣

單位矩陣，是一種特殊的對(duì)角矩陣，n維單位矩陣記做 In。是n * n 矩陣。對(duì)象元素為1.其他元素為0。 例如 3 * 3 單位矩陣

單位矩陣非常特殊，因?yàn)樗蔷仃嚦朔▎挝辉浠拘再|(zhì)是用任意1個(gè)矩陣乘以單位矩陣，都將得到原矩陣。所以在某種意義上對(duì)矩陣的作用就猶如1對(duì)于標(biāo)量的作用。

5.向量作為矩陣使用

注意: 任意矩陣M, (MT)T = M 對(duì)角矩陣: DT = D,單元矩陣

6 矩陣轉(zhuǎn)置

一個(gè)r * c 矩陣M。M的轉(zhuǎn)置記做MT，是一個(gè) c * r 矩陣。它的列列由M的?行行組成?？梢詮牧?面理解。
MijT = Mji ,即沿著矩陣的對(duì)角線翻折。

對(duì)向量?言，轉(zhuǎn)置將使得行向量變成列向量，是列向量變成行向量。

7 標(biāo)量 與 矩陣相乘

8 矩陣與矩陣相乘

一個(gè)R * N的矩陣A 能夠乘以一個(gè) N * C矩陣B = R * C 矩陣
注意:如果 A的N != B的N 則乘法AB就無(wú)意義.

例如，設(shè)A 為 4 * 2 矩陣，B 為 2 * 5 矩陣，那么結(jié)果AB 為 4 * 5 矩陣。

矩陣相乘法則:對(duì)結(jié)果中的任意元素Cij，取A的第i行和第j列，將行和列中的對(duì)應(yīng)元素相乘。然后將結(jié)果相加 (等于A的i列列和B的j列列的點(diǎn)積)。Cij就等于這個(gè)和。

例如

(C的第2?行行第4列列的元素等于A的第2?行行和B的第4列列的點(diǎn)積)

2 * 2 矩陣相乘完整公式

矩陣乘法注意事項(xiàng):
1.任意矩陣M乘以方陣S，不管從哪邊乘，都得到與原矩陣?小相同的矩陣。當(dāng)然，前提是假定乘法有意義。如果S是單位矩陣，結(jié)果就是原矩陣M，即:MI = IM = M 。
2.矩陣乘法不滿足交換律，即:AB != BA
3.矩陣乘法滿足結(jié)合律，即:(AB)C = A(BC)。假定ABC的維數(shù)使得其乘法有意義，要注意如果(AB)C有意義，那么A(BC)就一定有意義。
4.矩陣乘法也滿足與標(biāo)量或向量的結(jié)合律，即:(kA)B = k(AB) = A(kB); (vA)B = v(AB);
5.矩陣積的轉(zhuǎn)置相當(dāng)于先轉(zhuǎn)置矩陣然后以相反的順序乘法，即:(AB)T = BT AT

9 向量量與矩陣的乘法

思考
向量量與矩陣相乘結(jié)果是多少?是否具有意義?

向量量與矩陣的乘法詳解

總結(jié)
行向量左乘矩陣時(shí)，結(jié)果是行向量;
列向量右乘矩陣時(shí)，結(jié)果是列向量;
?向量右乘矩陣時(shí)，結(jié)果是無(wú)意義;
列向量左乘矩陣時(shí)，結(jié)果是無(wú)意義;

矩陣與向量相乘 注意事項(xiàng):
1.結(jié)果向量中的每個(gè)元素都是原向量與矩陣中單獨(dú)行或列的點(diǎn)積;
2.矩陣一向量乘法滿足對(duì)向量加法的分配律，對(duì)于向量v,w和矩陣M有，(v + w)M = vM + wM;

10 ?向量與列向量的使用場(chǎng)景

為么要使用行向量?(偏向于書寫方便)
1.在?字中使用行向量的形式更加好書寫;
2.?矩陣乘法實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換時(shí)，向量左乘矩陣的形式更加方便
3.DirectX使用的是行向量

DirectX是由微軟公司創(chuàng)建的多媒體編程接口。由C++編程語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)。它們旨在使基于Windows的計(jì)算機(jī)成為運(yùn)行和顯示具有豐富多媒體元素(例如全色圖形、視 頻、3D 動(dòng)畫和豐富?音頻)的應(yīng)用程序的理想平臺(tái)。DirectX并不是一個(gè)單純的圖形API，它是由微軟公司開發(fā)的用途廣泛的API

為么要使用列向量?
1.等式中使用列向量形式更好
2.線性代數(shù)書中使用列向量
3.多本計(jì)算機(jī)圖形學(xué)都是使用的列向量
4.OpenGL使用的是列向量

矩陣幾何意義

1 矩陣是如何變換成向量的?
?先,向量[1,-3 -4]是如果實(shí)現(xiàn)位移?
位移[1,0,0],隨后位移[0,-3,0],最后位移[0,0,4]

思考
3*3矩陣的9個(gè)數(shù)字之間有么關(guān)系?怎樣構(gòu)建一個(gè)矩陣來(lái)做這個(gè)轉(zhuǎn)換?
思考上?2個(gè)問題，我們可以看一下使用基向量[1,0,0]、[0,1,0]、[0,0,1]乘以矩陣M的情況:

總結(jié):
基向量[1,0,0]乘以矩陣M，結(jié)果是M的第?行。后面的2個(gè)?方程也是一樣的規(guī)律。
矩陣的每一個(gè)都能解釋為轉(zhuǎn)換后的基本向量。

二維矩陣的幾何意義

三維矩陣的幾何意義

總結(jié)
1.方陣的行能被解釋為坐標(biāo)系的基向量;
2.為了了將向量從原坐標(biāo)系變換到新坐標(biāo)系，用它乘以一個(gè)矩陣。
3.從原坐標(biāo)系到這些基向量定義的新坐標(biāo)系的變化是一種線性變換。線性變換保持直線和平行線。但角度、長(zhǎng)度、面積或體積可能會(huì)改變。
4.零向量乘以任何矩陣仍然得到零向量。因此，方陣所代表的線性變換的原點(diǎn)和原坐標(biāo)系原點(diǎn)一致。變換不包含原點(diǎn)。
5.可以通過(guò)想象變換后的坐標(biāo)系的基向量來(lái)想象矩陣。這些基向量在2D中構(gòu)成L形。在3D構(gòu)成“三角架”型。?一個(gè)盒子以及輔助更有助于理解

矩陣和線性變換
變換物體&變換坐標(biāo)系

變換物體優(yōu)點(diǎn)
變換物體，是最直接的變化。 ?如，渲染一輛車，需要將點(diǎn)從車的物體坐標(biāo)變換到世界坐標(biāo)接著到照相機(jī)坐標(biāo)系
將?旋轉(zhuǎn)到世界坐標(biāo)系，在世界坐標(biāo)系中做碰撞檢測(cè)，但這需要?量的資源。因?yàn)?模型有?量的頂點(diǎn)數(shù)據(jù)，計(jì)算量偏大。

變換坐標(biāo)系優(yōu)點(diǎn)
?如，如果此時(shí)2臺(tái)車撞擊。 我們知道世界坐標(biāo)中的撞擊位置和撞擊路線。想像一下， 世界坐標(biāo)系被轉(zhuǎn)換到和車的物體坐標(biāo)系重合的位置，而此時(shí)同時(shí)被撞擊車、車、撞擊路線不動(dòng)。這樣就能得到撞擊車和撞擊路線在車的物體坐標(biāo)系的坐標(biāo)。接下來(lái)就 可以判斷是汽車是否相撞。

可以選擇變換物體坐標(biāo)系、也可以選擇變換坐標(biāo)系。在某一些情況選擇合適的即可。2種變換實(shí)際上等價(jià)的。將物體變換一個(gè)量等價(jià)于將坐標(biāo)系變換一個(gè)相反的量。

三?函數(shù)表

旋轉(zhuǎn)—2D

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旋轉(zhuǎn)—3D