一、曲面通量向量場積分定理：

1.高斯公式(化為三重積分)：

? ---封閉_無奇點(diǎn)_散度易積分

2.1 轉(zhuǎn)換投影(化為二重積分)：

? ---無交疊_法向量易求_坐標(biāo)面投影區(qū)域易求

2.2標(biāo)矢互化(化為標(biāo)量積分)：

? ---方向余弦易求_坐標(biāo)面投影區(qū)域易求

3. 破面投影：(定方向+投影+代入→化二重積分)

二、通量場積分化簡技巧：

1.1 補(bǔ)面拆分

1.2 挖奇點(diǎn)拆分

3. 區(qū)域方程代入被積函數(shù)（化簡、消奇點(diǎn)）

4. 對稱性+奇偶性+輪換性

三、理論聯(lián)系實(shí)際，密切聯(lián)系實(shí)際：

0. 任何時候不要忘記考慮對稱奇偶和輪換

1. 封閉無奇點(diǎn)（基本類型）

? ? 1.1 首選高斯公式（散度好積）

? ? ? ? ? ---將閉面積分化為區(qū)域內(nèi)部三重積分

? ? 1.2 可用標(biāo)矢互化（方向余弦好求）

? ? ? ? ? ---將通量積分化為面上標(biāo)量積分

? ? 1.3 曲面拆分，積分相加（曲面好拆易算）

? ? ? ? ? ---化為破面投影

2. 封閉有奇點(diǎn)

? ? 2.1 區(qū)域方程代入去分母（奇點(diǎn)可消）

? ? ? ? ? ---化為封閉無奇點(diǎn)

? ? 2.2 挖奇點(diǎn)拆分（奇點(diǎn)不可消）

? ? ? ? ? ---化為封閉無奇點(diǎn)+封閉可消奇點(diǎn)

? ? 2.3 標(biāo)矢互化（方向余弦好求）

? ? ? ? ? ---化為第一類曲面積分

? ? 2.4 曲面拆分+積分相加（曲面好拆易算）

? ? ? ? ? ---化為破面投影

3. 非封閉無奇點(diǎn)

? ? 3.1 補(bǔ)面+拆分

? ? ? ? ? ---化為封閉無奇點(diǎn)+奇點(diǎn)可消

? ? 3.2 標(biāo)矢互化（方向余弦或者區(qū)域法向量好算）

? ? ? ? ? ---化為第一類曲面積分

? ? 3.3 曲面拆分+積分相加（曲面好拆易算）

? ? ? ? ? ---化為破面投影

4. 非封閉有奇點(diǎn)

? ? 4.1 補(bǔ)面+挖奇點(diǎn)+拆分

? ? ? ? ? ---化為封閉無奇點(diǎn)+奇點(diǎn)可消+破面投影

? ? 4.2 補(bǔ)面同時挖奇點(diǎn)+拆分

? ? ? ? ? (補(bǔ)的面恰能代入被積函數(shù)消奇點(diǎn)）

? ? ? ? ? ---化為封閉無奇點(diǎn)+奇點(diǎn)可消

? ? 4.3 標(biāo)矢互化（方向余弦好算）

? ? ? ? ? ---化為第一類曲面積分

? ? 4.4 曲面拆分+積分相加（曲面好拆易算）

? ? ? ? ? ---化為破面投影