4.高斯牛頓方程

相較于第2節(jié)的直接對函數(shù)進行二階泰勒展開，然后求函數(shù)一階導(dǎo)為零來進行迭代求極小值的方法

高斯牛頓法采用的是，只對函數(shù)進行一階泰勒展開，然后對一階泰勒展開進行平方，求其平方的一階導(dǎo)為0來進行迭代

上面這段話翻譯成公式就是
寫出函數(shù)的一階泰勒展開式
F(X^{(K+1)})=F(X^{(K)})+J(X^{(k)})^T\Delta X

求其最小二乘\frac{1}{2}||F(X^{(K)})+J(X^{(k)})^T\Delta X||^2

求全微分
\frac{\partial (\frac{1}{2}||F(X^{(K)})+J(X^{(k)})^T\Delta X||^2)}{\partial \Delta X}

=J(X^{(k)})\Big(F(X^{(K)})+J(X^{(k)})^T\Delta X\Big)
=J(X^{(k)})(F(X^{(K)})+J(X^{(k)})J(X^{(k)})^T\Delta X

令J(X^{(k)})(F(X^{(K)})+J(X^{(k)})J(X^{(k)})^T\Delta X=0

\Rightarrow \Delta X=-(J(X^{(k)}).J(X^{(k)})^T)^{-1}J(X^{(k)})F(X^{(K)}).

習(xí)慣上會讓
H_0(X^{(k)})=J(X^{(k)}).J(X^{(k)})^T
g(X^{(k)})=-J(X^{(k)})F(X^{(K)})

于是\Delta X=H_0(X^{(k)})^{-1}g(X^{(k)})

我們比較一下第二節(jié)的二階泰勒法計算極小值
\Delta X=-H(X^{(0)})^{-1}J(X^{(0)})
這里相當(dāng)于用一階的雅可比矩陣對海瑟矩陣進行了近似，相對于使用來說，減少了計算量

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