SLAM學(xué)習(xí)二 旋轉(zhuǎn)矩陣/軸角/歐拉角/四元數(shù)

一些前導(dǎo)數(shù)學(xué)知識：
矩陣的跡，一個n×n矩陣A的主對角線（從左上方至右下方的對角線）上各個元素的總和，記作tr(A)
矩陣的特征向量，從數(shù)學(xué)上看，如果向量v與變換A滿足Av=λv，則稱向量v是變換A的一個特征向量，λ是相應(yīng)的特征值。這一等式被稱作“特征值方程”。這是一個很重要的線性代數(shù)概念，需要更多的理解，切記。
正交矩陣：AA^T=E，即A^T=A^{-1}，A為正交矩陣。

旋轉(zhuǎn)矩陣即三維剛體發(fā)生旋轉(zhuǎn)變換時的位姿（位姿，物體位置及朝向）變化的數(shù)學(xué)線性表示方式，符號R，其為正交矩陣。
軸角即旋轉(zhuǎn)變化時的軸與角，軸用向量n表示，角\theta，即旋轉(zhuǎn)向量\theta{n}，n表示與旋轉(zhuǎn)軸同方向的單位向量，旋轉(zhuǎn)角\theta表示其長度
歐拉角即將軸角形式分離成三個軸上的旋轉(zhuǎn)變換角形式
四元數(shù)一種擴展復(fù)數(shù)形式，符號q，數(shù)學(xué)形式：
q=q_0 + q_1i + q_2j + q_3k
其中i^2=j^2=k^2=-1 ij=k, ji=-k jk=i, kj=-i ki=j, ik=-j

四者之間的一些轉(zhuǎn)換關(guān)系：
（1）旋轉(zhuǎn)矩陣與軸角間的變換：
R=cos{\theta}·I + (1 - cos{\theta})nn^T + sin\theta·n^\land
tr(R)=1+cos2\theta
Rn=n

\land表示向量到反對稱矩陣的轉(zhuǎn)換，tr(R)表示矩陣的跡，
第一個式子即羅德里格斯公式，軸角到旋轉(zhuǎn)矩陣的轉(zhuǎn)換；
第二個式子即表明角到旋轉(zhuǎn)矩陣R的轉(zhuǎn)換；
第三個式子中即軸經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后不變，轉(zhuǎn)軸n時矩陣R特征值1對應(yīng)的特征向量。

（2）旋轉(zhuǎn)向量與四元數(shù)的變換：
q=[cos{\frac{\theta}{2}}, n·sin{\frac{\theta}{2}}]
\theta=2{arccos} q_0
[n_x,n_y,n_z]^T=[q_1,q_2,q_3]^T/ sin{\frac{\theta}{2}}

（3）旋轉(zhuǎn)矩陣到四元數(shù)的變換，四元數(shù)自身的一些基本運算規(guī)則，此處省略，參見書中P52-P55內(nèi)容。

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