? ? ? ? 早在公元前3000年，巴比倫人和古埃及人就開始使用算術，用代數(shù)和幾何來進行稅收和其他財務計算，公元前600年至公元前300年，古希臘人開始用希臘數(shù)學進行系統(tǒng)的數(shù)學研究，數(shù)學在自然科學、工程、醫(yī)學、金融和社會科學等許多領域都是必不可少的。

? ? ? ? 人類的歷史能發(fā)展到現(xiàn)在這樣和數(shù)學有著密不可分的聯(lián)系，著名的數(shù)學王子高斯把數(shù)學稱為科學的女王，但是一提到數(shù)學，人們不是大驚失色，就是肅然起敬。仿佛數(shù)學離我們非常遙遠，毫無吸引力，非常無聊是當人們描述數(shù)學時最常見的表現(xiàn)。其實數(shù)學不僅是有用的，還是有趣的。蘋果砸到牛頓頭上，讓他發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律。這個故事雖然來源于文學家的創(chuàng)作，但人類從不會計數(shù)到用方程來做想做的事情，這中間發(fā)生了太多有趣的事情。比如在世界文明還交流不暢的年代，每一個文明都有自己的計數(shù)方式，古巴比倫人用的就不是現(xiàn)在的10進制，而是60進制；面對三角形問題，中國西周時期的人們提出了勾股定理，而古希臘人則用畢達哥拉斯定理來解決它，甚至美國的第20任總統(tǒng)都還在對這個定理進行證明。在簡單的等式符號背后，是人類舉著好奇心火把的發(fā)現(xiàn)之旅，好奇和興趣原本就屬于數(shù)學的。今天我們應該把這些都還給它。

? ? ? ? 假如我們不會計數(shù)，把1+1=2這個問題拿給不同的人去看，必然會得到不同的答案，讓我們姑且把答案分為否定和肯定兩種類型好了。如果去問問已經接受過啟蒙教育的小朋友們，這個問題看起來就會十分愚蠢了，因為小朋友們很可能會回答，他知道1+1=2，也知道怎么從1數(shù)到10，他甚至能數(shù)到100，老師剛在課堂上講過，十分簡單，他肯定不會把這個公式當成偉大發(fā)現(xiàn)，但如果是去問數(shù)學家呢？數(shù)學家一定會告訴你，這個公式十分偉大，因為它代表人類已經掌握了計數(shù)的本領，可以說讓我們在數(shù)學考試中十分頭疼的一切難題都從人類掌握計數(shù)之后才開始的。我們現(xiàn)在無法想象，如果沒有計數(shù)的能力，數(shù)學中一切抽象而復雜的內容要通過什么方式去表達。或許我們可以做一些嘗試，嘗試一下，如果人類沒有計數(shù)能力會出現(xiàn)什么樣的事情呢？讓我們從伸出自己的雙手開始好了，你一定在猜測我想問什么，你的手總共有幾根手指？或許你蒙對了，真的在不知道雙的概念時，就伸出了兩只手。那么你能回答你的手總共有幾根手指這個問題嗎？還是不能，因為你不會計數(shù)?。∥覀兛梢源竽懴胂?，如果不會計數(shù)，那么數(shù)量詞這種東西也不應該存在于世。如此一來，幾根手指中的“根”就只能代表植物莖稈下部長在土里的部分或者事物的本源之類的意思。并不能作為描述長條狀物體數(shù)量的量詞出現(xiàn)。至于說幾根手指中的“幾”，也會被削減很多意思了，畢竟你并不具有計數(shù)能力。那么幾這個數(shù)里詢問數(shù)量多少的疑問詞的意義也會消失不見。這實在是太可怕了。如果沒有計數(shù)能力，別說是數(shù)學不會有什么發(fā)展，就連語言文字都會變得一塌糊涂。我們如何掌握計數(shù)？提到這個問題，剛剛可能還對1+1=2的重要性講得眉飛色舞的數(shù)學家們就無法給出一個令人滿意的答案了。因為到現(xiàn)在為止，我們無法考證人類是從何時開始第一次使用計數(shù)能力的。正因為如此，我們也很難知道人類真正掌握計數(shù)能力的原因，或許可以這樣理解，數(shù)字并不是人類發(fā)明創(chuàng)造出來的，而是如同原子、引力這類東西一樣，原本就存在于自然界當中。我們不是創(chuàng)造了它，只是在運用它罷了，之所以會有這樣的想法，是因為不光人類掌握著計數(shù)能力，很多動物也有著類似的本領，先從靈長類動物說起，2010年的一項研究指出，經過訓練的獼猴可以在屏幕上把不同的數(shù)點結合起來做加法運算，并能得出正確的和數(shù)。這些獼猴的計算準確率高達76%，遠遠高于靠瞎蒙亂猜得出的準確率，另外，黑猩猩在經過訓練之后，也能認識和運用數(shù)學符號，這種能力在之前一直被認為只有人類才具有。如果說動物經過訓練掌握了計數(shù)能力還是在人類的干涉之下完成的，那么有些動物天生具備的計數(shù)能力就令人十分驚嘆了。比如，蜜蜂，它們能夠數(shù)出4種包含元素的圖案幫助它們順利記住食物的來源，在復雜的環(huán)境當中生存下去。人類為了掌握計數(shù)都做了啥？雖然我們現(xiàn)在無法判斷人類是從什么時候開始掌握計數(shù)能力，不過依然有一些考古發(fā)現(xiàn)可以幫助我們去理解遠古人類對計數(shù)的認知。1960年，比利時的地質學家在剛果民主共和國境內發(fā)現(xiàn)了一些刻著線的骨頭，這些骨頭來自狒狒，上面的刻痕數(shù)量繁多，最開始是被認為當時的人們用來簡單記事的，但數(shù)學家們認為這些有著22000年歷史的骨骸擁有著豐富的數(shù)學意義，遠遠不是用來記事這么單純，以其中一根骨骸上的刻痕為例，上面的刻痕從3變成了6，從4變成了8，從10變成了5，這很可能說明當時的人們不僅有了計數(shù)的概念，同時也有了加倍減半的想法，換句話說，如果有人能夠帶著一副撲克，穿越回那個時代，同樣能和當時的人一起玩斗地主，因為當時的人類已經能夠喊加倍搶地主了，更令人驚訝的是，除了加倍和減半的概念之外，當時的人們很有可能對基本的偶數(shù)以及質數(shù)有了一定的認識，比如在某一根骨骸上面刻痕是9，11，13，17之類的奇數(shù)，而有的骨骸上包含了10到20之間所有的質數(shù)，除此之外，考古學中還發(fā)現(xiàn)更早的骨頭上有20個刻痕，雖然學者們還無法真正搞明白這類骨骸到底有什么作用，不過有人猜測說這是用來記錄陰歷的工具，有了刻痕計數(shù)，距離人類真正掌握計數(shù)本領還有一段距離，為何這么說呢？從我們很多人都在兒時聽過的《奈何姓萬》的故事開始說起，這則故事中說，一位有錢的財主，他家的人世世代代都不識字，財主覺得這樣不好，就聘請老師給自己的兒子上課，這個老師就從最簡單的字教起，在紙上寫了一劃，教他說這個字念“一”，在紙上寫了兩劃，教他說這個字念“二”，在紙上寫了三劃，教他說這個字念“三”，這時財主的兒子感到很高興，原來寫字這么簡單呀！于是就把筆一丟，對他的父親說我已經學會了，他的父親也很開心，依著兒子把老師給辭退了。不久以后，財主準備找他的姓萬的朋友來吃飯，讓他的兒子早上起床寫個請?zhí)^了很久還沒有寫成，財主就去催促兒子，沒想到兒子生氣的說，天下的姓氏那么多，干嘛非要姓萬不可，我從一大早就開始寫到現(xiàn)在，才寫完五百劃。這則故事教育我們不要學了一點點東西就自以為了不起，更不要淺嘗輒止。除去這個意義之外，我們還可以從這個故事里發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學上的意義，財主的兒子掌握了一，就如同幾萬年前的人類掌握了用一道刻痕來計數(shù)一樣，我們有十根手指，好的，現(xiàn)在你有計數(shù)的本領了，終于可以數(shù)清楚你有幾根手指了。數(shù)到十也沒什么問題，可是當數(shù)字達到萬的時候，無論是刻痕，還是手指就不那么方便了。從一到萬，數(shù)字怎樣才能有更好的表達方式呢？換個位置，換個意義。我們先來看看古巴比倫人是怎么應對的？為了表達更大的數(shù)字，古巴比倫人創(chuàng)造性的將數(shù)字列成排，讓數(shù)字的位置和數(shù)字本身同時擁有了同樣重要的意義，和我們現(xiàn)在習慣使用的十進制不同，古巴比倫人用的是六十進制，當時他們通過線形文字來表達數(shù)字，一個縱向的心形表示一，好幾個這樣的組合起來可以表示二到九，接下來他們有創(chuàng)造了一個橫向的粗線形來表示10，多個10的線形符號合起來可以表示20、30、40和50，通過這些符號數(shù)字1到59就可以書寫下來了。這聽起來似乎沒什么大不了的，真正有趣的是發(fā)生在古巴比倫人記錄60的時候，當表示60這個數(shù)字的時候，他們并沒有在用6個10的符號來表示組合，而是在左邊寫出新的一列，寫入數(shù)字1的符號來表示這和我們今天用來表示10的方法非常類似，我們并沒有用新的符號去表示，而是把1放在左邊，賦予了它新的意義：10個1，這就是所謂的位置計數(shù)法，它通過讓數(shù)字呆在不同的位置用來表達出更加復雜龐大的數(shù)值。當古巴比倫人用60進制來計數(shù)的時候古印度人用10進制來作為通用的數(shù)字系統(tǒng)，和我們今天一樣，換句話說，這個系統(tǒng)的數(shù)字以10為進制，逢10進1，順便告訴大家，古印度人不僅是使用10進制的先驅，也是我們閑雜常用的阿拉伯數(shù)字的發(fā)明者，這聽起來似乎有點名不副實，但事實上這套數(shù)字最早是由古印度人發(fā)明的，后來由阿拉伯人代入歐洲，它與羅馬數(shù)字共存于歐洲長達數(shù)個世紀之久，因為書寫簡便等原因，逐漸成為主流，直到15、16世紀，隨著印刷技術的逐漸發(fā)展，熟悉的人越來越多，書寫也越來越標準化，這套數(shù)字才定個成我們現(xiàn)在看到的模樣。