物理學的終極問題，正等待數(shù)學來回答
原創(chuàng) Kevin Hartnett [返樸](javascript:void(0);) 2021-06-30 08:00
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量子場論是目前我們描寫微觀世界的基本語言，描寫所有基本粒子的標準模型就是用量子場論寫出來的。但是量子場論有一個很嚴重的問題——它甚至還不是一個數(shù)學上自洽的理論。這是因為有相互作用的量子場論，目前是通過微擾級數(shù)展開來描述的。尷尬的是，這一級數(shù)展開根本就不收斂。在標準模型中，如果只取級數(shù)展開的前幾項，標準模型會給出與實驗非常接近的結(jié)果；但展開項越多，標準模型的結(jié)果就與實驗差距越大，甚至會趨近于無窮大（參見《文小剛：標準模型還不是一個自洽的理論+溫伯格演講丨眾妙之門》）。所以這樣定義的量子場論并不自洽，也反映出我們對標準模型沒有基本的理解。理論物理、數(shù)學物理的先驅(qū)一直想給量子場論一個更堅固的基礎(chǔ)，找到一個非微擾的數(shù)學定義，是今天乃至后面幾代數(shù)學家和物理學家有待解決的問題。
——文小剛
撰文 ****| ******Kevin Hartnett**
編譯 ****| ******劉航**
人們?yōu)槔斫饬孔訄稣撝械臄?shù)學而做出的加倍努力，將同時對數(shù)學和物理產(chǎn)生深遠的影響。
在過去的一個世紀里，量子場論（Quantum Field Theory，QFT）已經(jīng)被證明是有史以來最全面、最成功的物理學理論。它是一個涵蓋了許多具體量子場理論的術(shù)語——就像“形狀”的概念里面涵蓋了正方形、圓形等具體圖形。這些理論中最著名的被稱為標準模型（Standard Model），正是這種物理學框架取得了如此的成功。
“它可以從根本上解釋我們做過的每一個實驗?！眲虼髮W的物理學家大衛(wèi)·湯（David Tong） 說。
然而，一個無可爭辯的事實是，量子場論是不完整的。物理學家和數(shù)學家都不知道到底是什么讓量子場論成為了量子場論。他們瞥見了全貌，卻無法完全理解。
普林斯頓高等研究院的物理學家內(nèi)森·塞伯格（Nathan Seiberg）表示：“各種跡象表明，我們可能有更好的方法來理解量子場論。正如管中窺豹，還看不到真正的全貌?！?/p>
數(shù)學，可能是使量子場論完整的語言；因為數(shù)學必須滿足其內(nèi)在的一致性，并且注重每一個細節(jié)。如果數(shù)學能夠?qū)W會像描述完善的數(shù)學對象那樣，同樣嚴格地描述量子場論，那么一個更加完整的物理世界圖景可能就會隨之而來。
“如果你真的能以恰當?shù)臄?shù)學方式理解了量子場論，那么目前許多開放性的物理問題就有答案了，甚至可能包括引力的量子化?！逼樟炙诡D高等研究院的主任羅伯特·戴克格拉夫（Robert Dijkgraaf）說道。
過去的幾個世紀里，物理學中使用的所有其他數(shù)學思想都在數(shù)學中都有其天然的地位。但量子場論除外。
——內(nèi)森·塞伯格，普林斯頓高等研究院教授
當然，這也不是一條單行道。千百年來，物理世界一直是數(shù)學發(fā)展的最偉大的靈感源泉。古希臘人發(fā)明了三角學來研究恒星的運動，而數(shù)學把它變成了一門有定義和規(guī)則的學科，今天的學生學習時不必了解其天文學起源。又過了近2000年，當牛頓想要理解開普勒的行星運動定律時，并試圖找到一種嚴格的方式來思考無窮小的變化，這種沖動（以及萊布尼茨的啟示）催生了微積分的誕生。然后數(shù)學把它拿了過去并改進——如今微積分已經(jīng)無處不在。
現(xiàn)在，對于量子場論，數(shù)學家們想做同樣的事情——將物理學家為研究基本粒子而發(fā)展的思想、對象和技術(shù)納入數(shù)學的主體。這意味著我們要定義好量子場論的基本特征，這樣未來數(shù)學家就不必考慮理論最初出現(xiàn)時的物理背景。
這樣做的回報很可能是巨大的。當我們發(fā)現(xiàn)新的研究對象和新的結(jié)構(gòu)，捕捉到數(shù)字、方程和形狀之間某些最重要的關(guān)系時，數(shù)學就會發(fā)展。而這些都可以由量子場論來提供。
德克薩斯大學奧斯汀分校的數(shù)學家大衛(wèi)·本-茲維（David Ben-Zvi）說，“物理學作為一種構(gòu)造，本身是非常深刻的，而且往往會提供更好的方式讓我們思考感興趣的數(shù)學問題。物理學恰好是一種很好的形式?！?/p>
至少過去40年來，量子場論一直誘惑著有想法的數(shù)學家去探索其內(nèi)涵。而近年來，他們終于開始理解量子場論本身的一些基本對象——將它們從粒子物理學的世界中抽象出來并轉(zhuǎn)化為數(shù)學對象。
不過，目前數(shù)學家的努力還處于起步階段。
“我們不能預見結(jié)果，但顯然我期望我們目前看到的只是冰山一角。如果數(shù)學家真的弄清楚了量子場論，那么將給數(shù)學領(lǐng)域帶來巨大的進步?！绷_格斯大學物理學家格雷格·摩爾（Greg Moore）如是說。
永恒的場
人們通常認為宇宙是由基本粒子構(gòu)成的，包括電子、夸克、光子等等，但物理學在很久以前就超越了這一觀點?，F(xiàn)在物理學家談?wù)摰牟辉偈橇Ｗ?，而是粒子所對?yīng)的“量子場”，它們才是真實物理世界中的經(jīng)緯線。
種類繁多的場布滿了整個宇宙時空，像起伏的海洋一樣波動。隨著場產(chǎn)生漣漪并相互作用，粒子從場中出現(xiàn)，然后又在場中消失，就像轉(zhuǎn)瞬即逝的波峰。
“粒子不是永遠存在的實體。”湯說，“它是場的舞動?！?/p>
要理解量子場，最簡單的方法就是從普通的場或者說經(jīng)典場出發(fā)。比如，你想測量地球表面每一點的溫度，那么你可以將無限多個要測量的點結(jié)合起來，形成一個包含了所有溫度信息的幾何對象，這個幾何對象即為場。
一般來說，只要你有一些參量，它們可以在空間中以無限精細分解且唯一測量，場就會出現(xiàn)。加拿大滑鐵盧圓周理論物理研究所的物理學家戴維·蓋奧托（Davide Gaiotto）談道，“在某種程度上，你可以對時空的每個點提出獨立的問題，比如這里和那里的電場各是什么?！?/p>
當你觀察量子現(xiàn)象時，量子場就出現(xiàn)了，比如時空中電子的能量。但量子場與經(jīng)典場有本質(zhì)的不同。
地球上某一點的溫度是個經(jīng)典的量，不管你是否測量，它就在那里。而對于電子的位置，只有在你觀測的那一刻它們才有確定的位置。在此之前，它們的位置只能用概率來描述——量子場中的每個點被賦予概率值，以此來描述你在那里找到電子的可能性。在觀測之前，你可以認為電子不在任何地方，也可以認為電子無處不在。
“物理學中的大多數(shù)事物不只是物體; 它們是存在于空間和時間中每個點的某種東西?！贝骺烁窭蛘f。
量子場論提出了一系列被稱為關(guān)聯(lián)函數(shù)的方法，用來描述場中某一點觀測量與另一點觀測量之間的關(guān)聯(lián)。
不同的量子場論會以特定的維度來描述物理。二維量子場論通常用于描述材料的行為，如絕緣體；六維量子場論與弦理論緊密相關(guān)；四維量子場論描述了我們實際四維宇宙中的物理，標準模型正是其中之一，也是最重要的量子場論。因為它是目前最適合描述宇宙的理論。
已知的12種基本粒子構(gòu)成了我們的宇宙，每種粒子都對應(yīng)于一個獨特的量子場。在這12個粒子場的基礎(chǔ)上，標準模型又增加了四個力場，代表了四種基本相互作用: 引力、電磁力、強核力和弱核力。標準模型將這16個場融合到一個方程中，描述了它們之間是如何相互作用的。通過這些相互作用，基本粒子被理解為它們各自量子場的漲落，這樣，整個物理世界就呈現(xiàn)在我們眼前了。
這聽起來可能很奇怪，但物理學家在上世紀30年代才意識到，物理學是基于場的，而不是粒子。他們用場的觀點解決了一些最緊迫的矛盾：因果性以及粒子不會永遠存在等問題。它還解釋了物理世界中原本看似不可能的一致性問題。
“宇宙中所有相同類型的粒子都是一樣的?！睖f，“如果我們用大型強子對撞機（Large Hadron Collider）制造一個新的質(zhì)子，它與一個已經(jīng)運動了100億年的質(zhì)子一模一樣。這需要一些解釋?！绷孔訄稣摻o出了這樣的解釋：所有的質(zhì)子都是同一個基礎(chǔ)質(zhì)子場（或者更進一步，基礎(chǔ)夸克場）中的波動。
但是，量子場論的解釋能力是以極高深的數(shù)學為代價換來的。
湯表示，“量子場論是迄今為止數(shù)學中最復雜的對象，以至于數(shù)學家們尚不知如何理解它們。量子場論是數(shù)學家尚未發(fā)明的數(shù)學?！?/p>
無窮太多了
是什么讓數(shù)學家覺得如此復雜呢？兩個字：無窮。
當你在某一點觀測量子場時，得出的結(jié)果并不是像坐標或溫度那樣的幾個數(shù)字，而是一個矩陣——一組數(shù)字陣列。而且它還不是一個普通的矩陣，它無窮大，是一個有無窮多行和無窮多列的矩陣，也被稱為算符。這也反映了量子場是如何覆蓋了粒子從場中出現(xiàn)的所有可能性。
“一個粒子可以有無窮多個位置，這就必然要求描述位置和動量測量的矩陣也必須是無窮維的?！奔s克大學的卡西亞·雷茲納（Kasia Rejzner）說。
當理論中出現(xiàn)無窮時，問題就來了：它與物理上的相關(guān)性作何解釋？因為無窮是作為一種概念而存在，而不是任何實驗可以測量的物理量。這也使其理論難以用數(shù)學方法來處理。
“我們并不喜歡一個描述無窮的理論框架。這就是為什么你開始意識到需要對此有更好的數(shù)學理解。”阿姆斯特丹大學的物理學家亞歷杭德拉·卡斯特羅（Alejandra Castro）說道。
當物理學家開始思考兩個量子場如何相互作用時，無窮大的問題變得更糟了。例如，在日內(nèi)瓦郊外的大型強子對撞機上模擬粒子碰撞。在經(jīng)典力學中，這類計算很容易：要模擬兩個臺球碰撞時會發(fā)生什么，只需指定每個球在碰撞點的動量即可。
現(xiàn)在換成兩個量子場相互作用，你也會想做類似的事情：在它們相遇的時空點上，將一個場的無限維算符乘以另一個場的無限維算符。顯然，這種計算——將兩個無限維的對象在它們靠的無窮近時相乘——是很困難的。
“這就是發(fā)生嚴重錯誤的地方?！崩灼澕{說。
了不起的成功
物理學家和數(shù)學家不能使用無窮大進行計算，但是他們已經(jīng)發(fā)展了一些變通的應(yīng)對之措——用近似的方法來回避這個問題。物理學家用近似的方法做出了一些預測，結(jié)果顯示和實驗非常吻合，畢竟實驗也不是無限精確的。
“我們的實驗測量可以精確到小數(shù)點后13位，理論近似的結(jié)果與實驗測量驚人的一致。這是所有科學中最令人驚訝的事情。”湯說。
其中一種方法，是想象有一個無相互作用的量子場，即“自由”理論——不必擔心有無窮維矩陣相乘的問題。因為這種情況下既沒有運動，也沒有碰撞，很容易用完整的數(shù)學細節(jié)來描述，只是這種描述沒有太大價值。
雷茲納認為，“這確實沒什么意思，因為它描述的是一個孤立的場，沒有任何互動。所以它僅僅是學術(shù)上的嘗試?！?/p>
不過，你可以讓它更有趣一些。物理學家在里面加入了一點相互作用，且試圖用數(shù)學方法來控制相互作用的強弱，從而使理論適應(yīng)不同的情況。
這種方法被稱為微擾量子場論，表示在自由場中允許有微小的變化或擾動。你可以將微擾思想應(yīng)用于類似自由理論的量子場論里，它對于驗證實驗也非常有用。“你會得到驚人的精確度，驚人的實驗一致性。”雷茲納說。
但如果相互作用不斷增強，微擾的方法最終會失效。相互作用逐漸變大時，微擾論的結(jié)果變得越來越不精確，也就離真實的物理越來越遠。這表明，雖然微擾論的方法對實驗有一定指導意義，但它終究不能完全正確地描述整個宇宙——它在實際中有用，但在理論上是不堅實的。
“我們還不知道如何把所有的情況都考慮進來，也不知道怎么才能得出合理的結(jié)論。”蓋奧托談道。
我們一直將量子場論作為一種外部刺激，但如果它是一種內(nèi)在刺激就好了。
——丹·弗里德，德克薩斯大學奧斯汀分校教授
另一種近似方案試圖通過其他方式，漸漸靠近真實世界的量子場理論。理論上，量子場包含無窮精細的信息。為了構(gòu)建這樣的場，物理學家從網(wǎng)格或晶格出發(fā)，并將場定義在晶格線及彼此交叉的地方（費米子定義在格點上，規(guī)范場定義在鏈接上）。最初你只能在分立的格點上進行測量，而不能隨意對量子場做連續(xù)的測量。
此后，物理學家不斷提高格子的精細程度，使其精細程度的上限不斷提高。隨著格子變得越來越細密，可測量點的數(shù)目不斷增加，越來越接近一個可以到處測量的場的理想概念。
“當點之間的距離變得非常小，這樣就非常接近一個連續(xù)的場?！比裾f。用數(shù)學上的專業(yè)術(shù)語來說，他們所說的連續(xù)量子場其實是精細晶格的極限。
數(shù)學家們擅長處理極限，并且知道如何確定某些極限是否存在。例如，他們已經(jīng)證明了無窮數(shù)列1/2+1/4+1/8+1/16…的極限是1。物理學家想要證明量子場是這種晶格過程的極限，只是目前他們還不知道該怎么做。
摩爾表示，“目前我們還不清楚如何計算這個極限，以及它在數(shù)學上意味著什么。”
物理學家并不懷疑不斷精細的格點正朝著理想化量子場的概念發(fā)展。量子場論的預測和實驗結(jié)果之間的高度吻合有力地說明了這一點。
賽博格說，“毫無疑問，這些極限是確實存在的，因為量子場論已經(jīng)取得了極大的成功?！钡牵袕娪辛Φ淖C據(jù)暗示某事是正確的，和最終證明它是正確的，完全是兩碼事。
量子場論渴望取代其他偉大的物理理論，而這種不精確正在拖量子場論的后腿。牛頓的運動定律、量子力學、愛因斯坦的狹義相對論和廣義相對論——它們都只是量子場論想要講述的更偉大故事的一部分。但與量子場論不同的是，它們都可以用精確的數(shù)學語言寫下來。
“量子場論是作為一種描述所有物理現(xiàn)象的通用語言而出現(xiàn)的，但它在數(shù)學上卻沒有完善的定義?！贝骺烁窭蛘劦?。對一些物理學家來說，這就是暫停腳步的原因。
戴克格拉夫說，“如果整個理論都依賴于某個核心概念，而這個概念本身并不能用數(shù)學的方式來理解，那你怎么能如此確信它能描述整個世界？這使整個問題更加尖銳。”
外部推動
即使在這種不完整的狀態(tài)下，量子場論也促成了許多重要的數(shù)學發(fā)現(xiàn)。兩者的交互通常是這種模式：物理學家使用量子場論進行計算時，偶然發(fā)現(xiàn)了令人驚訝的結(jié)果，然后數(shù)學家試圖對其進行解釋。
“這（量子場論）就是一臺創(chuàng)意機器。”湯說。
在一個基本層面上，物理現(xiàn)象與幾何有著密切的關(guān)系。舉個簡單的例子，如果你讓一個小球在一個光滑的表面上運動，它的軌跡就是沿著任意兩點之間的最短路徑，也就是所謂的測地線。用這種方式，物理現(xiàn)象可以探測出一個形狀的幾何特征。
現(xiàn)在，我們把小球換成一個電子。電子以概率的形式可以存在于表面上任意一點。通過研究那些概率所對應(yīng)的量子場，你可以了解這塊表面的總體性質(zhì)（數(shù)學家稱之為流形），比如它有多少個洞。這是研究幾何學和相關(guān)拓撲學領(lǐng)域的數(shù)學家想要回答的一個基本問題。
“即便一個粒子即使呆在原地不動，我們也會知道流形的拓撲結(jié)構(gòu)?！睖f。
上世紀70年代后期，物理學家和數(shù)學家開始應(yīng)用這種觀點來解決幾何中的基本問題。到90年代初，塞伯格和他的合作者愛德華·威滕（Edward Witten）提出了如何用這種思想來創(chuàng)造一種新的數(shù)學工具——Seiberg-Witten不變量——將量子現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為一個指數(shù)，其反映了形狀的純數(shù)學特征: 通過計算量子粒子以某種方式出現(xiàn)的次數(shù)，你就能有效地計算出一個形狀中洞的數(shù)量。
“威滕表明了量子場論能給幾何問題提供完全意想不到卻又極其精確的洞見，使棘手的問題變得可解?！迸＝虼髮W的數(shù)學家雷姆·西格爾（Graeme Segal）表示。
另一個數(shù)學與物理相互融通的例子也發(fā)生在20世紀90年代初，當時物理學家正在進行與弦理論有關(guān)的計算。他們根據(jù)完全不同的數(shù)學規(guī)則在兩個不同的幾何空間中進行運算，結(jié)果總是得出一長串卻彼此完全匹配的數(shù)字。數(shù)學家們從這個線索出發(fā)，仔細研究后發(fā)展出一個全新的研究領(lǐng)域——鏡像對稱。數(shù)學家研究出它們?yōu)楹稳绱宋呛?，還發(fā)現(xiàn)了許多類似的現(xiàn)象。
“物理學會提出這些驚人的預測，數(shù)學家則會嘗試用自己的方法來證明它們?！北?茲維說，“這些預測既奇怪又奇妙，可是結(jié)果證明，它們幾乎總是正確的?！?/p>
盡管量子場論成功地為數(shù)學創(chuàng)造了可尋的線索，但其核心思想仍然幾乎完全存在于數(shù)學之外。與多項式、群、流形等其他起源于物理學并且如今已被熟練應(yīng)用的方法相比，量子場論仍然沒有被數(shù)學家們理解得足夠好。
對物理學家來說，這種與數(shù)學的疏遠關(guān)系表明，對于量子場論，還有很多東西需要深入理解。塞伯格說：“過去的幾個世紀里，物理學中使用的所有其他數(shù)學思想都在數(shù)學中都有其天然的地位。但量子場論除外?！?/p>
我想說，物理學家不一定洞悉一切，但物理學可以。
——大衛(wèi)·本-茲維，德克薩斯大學奧斯汀分校教授
而對于數(shù)學家來說，似乎量子場論和數(shù)學之間的關(guān)系應(yīng)該比偶爾的互動更為深刻。這是因為量子場論包含了許多對稱或基本結(jié)構(gòu)，這些結(jié)構(gòu)決定了場中不同部分的點如何相互關(guān)聯(lián)。這些對稱性具有物理意義——它們體現(xiàn)了諸如能量等守恒量是如何隨著量子場的演化仍保持守恒的。另一方面，在數(shù)學上它們本身也是很有趣的研究對象。
卡斯特羅表示，“數(shù)學家可能關(guān)心某種對稱性，我們可以把它放在物理背景中。如此一來，兩個領(lǐng)域之間就搭起了一座美麗的橋梁?！?/p>
從不同類型方程的解到素數(shù)分布，數(shù)學家?guī)缀鯇λ袉栴}都使用了對稱性和幾何學來研究。通常，幾何編織出了數(shù)字問題的答案。而量子場論為數(shù)學家們提供了全新的且豐富多彩的幾何對象——如果數(shù)學家能直接運用它，也許他們能做的超乎想象。
“從某種角度上來說，我們只是在擺弄量子場論?！钡驴怂_斯大學奧斯汀分校的數(shù)學家丹·弗里德（Dan Freed）說，“我們一直將量子場論作為一種外部刺激，但如果它是一種內(nèi)在刺激就好了?！?/p>
為量子場論鋪路
數(shù)學不會輕易接納新的對象。許多基本概念都是經(jīng)過了長時間的檢驗，才在數(shù)學領(lǐng)域中找到了正確且嚴格規(guī)范的位置。
比如實數(shù)——表示數(shù)軸上無窮多個刻度的全部。這一概念在數(shù)學上實際使用了近2000年，數(shù)學家才在定義它的方式上達成一致。終于在19世紀50年代，數(shù)學家們確定了一個精確的陳述，只用三個詞語表達，即“完備、有序、域（complete ordered field）”。它們是完備的，因為實數(shù)沒有任何間隙；它們是有序的，因為總有一種方法來確定一個實數(shù)是否大于或小于另一個實數(shù)；它們形成了一個“域”，這對數(shù)學家來說意味著它們遵循算術(shù)規(guī)則?！皬臍v史上看，這三個詞來之不易。”弗里德說。
為了使量子場論變成內(nèi)在刺激——成為一種數(shù)學家可以為自己研究所使用的工具——數(shù)學家想對量子場論進行與他們對實數(shù)相同的處理：找出一個清晰的特征列表，任何特定的量子場論都需要滿足里面的要求。
愛爾蘭數(shù)學家凱文·科斯特洛
加拿大圓周研究所的數(shù)學家凱文·科斯特洛（Kevin Costello）做了大量關(guān)于將量子場論轉(zhuǎn)化到數(shù)學上的工作。2016年，他與人合著了一本教科書（Factorization Algebras in Quantum Field Theory: Volume 1），他們將微擾量子場論建立在堅實的數(shù)學基礎(chǔ)上，包括如何形式化地處理隨著相互作用增加而出現(xiàn)的無窮量。這是繼早期2000年代的代數(shù)量子場論后的又一嘗試，代數(shù)量子場論也尋求類似的目標，雷茲納在他也是于2016年出版的書（Perturbative Algebraic Quantum Field Theory）中回顧了這項研究。雖然現(xiàn)在的微擾量子場論仍然不能真正描述宇宙，但數(shù)學家們知道如何處理它產(chǎn)生的物理上無意義的無窮大。
摩爾表示，“科斯特洛的貢獻是非常巧妙和有見地的。他把（微擾）理論置于一個適用于嚴格數(shù)學的漂亮的新框架中?！?/p>
科斯特洛解釋說，他寫這本書的目的是想讓微擾量子場論更加連貫?！拔野l(fā)現(xiàn)有些物理學家使用的方法是不可論證的，而且只針對特定的情形。我想要使其理論更自洽，讓數(shù)學家可以更好地研究它?！?/p>
通過準確地說明微擾理論的工作原理，科斯特洛創(chuàng)造了一個基礎(chǔ)理論框架。在此基礎(chǔ)上，物理學家和數(shù)學家可以構(gòu)建滿足要求的新量子場論。這個理論很快就被該領(lǐng)域?qū)W者所接受。
“一定會有許多年輕人嘗試這個框架。他的書已經(jīng)產(chǎn)生了極大的影響。”弗里德說。
科斯特洛也一直致力于定義什么是量子場論。在簡化形式下，量子場論需要一個幾何空間，在這個空間中你可以對每一點進行觀測，并結(jié)合關(guān)聯(lián)函數(shù)來描述不同點間的觀測量如何相互關(guān)聯(lián)?？扑固芈宓墓ぷ髅枋隽艘唤M關(guān)聯(lián)函數(shù)需要具備的性質(zhì)，以便為量子場論提供一個可行的基礎(chǔ)。
我們最熟悉的量子場論，比如標準模型，可能包含了一些不是所有量子場論都具備的額外特征。沒有這些特征的量子場論可能描述了其他尚未被發(fā)現(xiàn)的特性，而這些特性可以幫助物理學家解釋標準模型無法解釋的物理現(xiàn)象。如果你對量子場論的想法只停留在我們已知的版本，你甚至很難想象其他必要的可能性。
蓋奧托比喻道：“在一個巨大的燈柱下，你可以找到場的理論，比如標準模型，而在它周圍是一大片量子場論的黑暗區(qū)域。我們不知道它如何定義，但我們確定它就在那里?！?/p>
科斯特洛用他對量子場的定義照亮了其中一部分黑暗空間。從這些定義出發(fā)，他發(fā)現(xiàn)了兩個令人驚訝的新型量子場理論。雖然它們都不是描述我們的四維宇宙的，但它們確實都滿足幾何空間里關(guān)聯(lián)函數(shù)的核心要求。這是純粹的思想結(jié)果，類似于你在物質(zhì)世界中發(fā)現(xiàn)了一類全新的形狀，一旦你對它們有了一般定義，你就可以思考與實物毫無關(guān)系的例子。
如果數(shù)學可以確定量子場論的全部可能性，而且是滿足一般定義（包含關(guān)聯(lián)函數(shù)）的所有不同的可能性，物理學家就可以從中找到那個能解釋他們最為關(guān)心的物理問題的具體理論。
“我想知道全部量子場論的空間，因為我想知道量子引力是什么。” 卡斯特羅說道。
接力挑戰(zhàn)
顯然，努力剛剛開始。迄今為止，所有用完整數(shù)學描述的量子場論都依賴于各種簡化，這使得它們在數(shù)學上更容易處理。
研究更簡單的二維量子場論代替四維量子場論，是簡化問題的一種方法，這項工作可以追溯到幾十年前。最近，法國的一個研究小組確定了這個著名的二維量子場論的所有數(shù)學細節(jié)。
有一些簡化方法是假設(shè)量子場是對稱的，可是這不符合物理現(xiàn)實。但從數(shù)學的角度，這使它們更容易處理，例如“超對稱”量子場論和“拓撲”量子場論。
接下來，也是更困難的一步，就是移除“拐杖”——為物理學家最想描述的真實物理世界的量子場論提供完整的數(shù)學描述：一個四維連續(xù)的宇宙，在這個宇宙中，所有相互作用都可能同時發(fā)生。
“比較尷尬的是，我們沒有一個四維時空的非微擾量子場論?！崩灼澕{談道，“這是個難題，顯然需要一兩代數(shù)學家和物理學家才能解決?！?/p>
但這并不妨礙數(shù)學家和物理學家的渴求。對于數(shù)學家來說，量子場論是他們所希望研究的那類最為豐富的對象。要定義量子場論所共有的特性，幾乎肯定需要合并數(shù)學的兩大支柱——分析和幾何。前者來解釋如何控制無窮大；后者則提供討論對稱性的語言。
“就數(shù)學本身而言，這是一個令人著迷的問題，因為它結(jié)合了兩個偉大的思想?！贝骺烁窭蛘f。
如果某天數(shù)學家們能夠理解量子場論了，那么與其相關(guān)的數(shù)學發(fā)現(xiàn)將是不可估量的。很久以前，數(shù)學家定義的一些對象的特征屬性，比如流形和群，現(xiàn)在幾乎滲透到數(shù)學的每個角落。當它們最初被定義時，數(shù)學家是不可能預見所有成果的。量子場論也是如此。
“我想說，物理學家不一定洞悉一切，但物理學可以?！北?茲維說，“如果你提出了正確的問題，那可能已經(jīng)有數(shù)學家在尋找答案了?！?/p>
對于物理學家來說，量子場論的完整數(shù)學描述也是他們領(lǐng)域最重要目標的另一面——對物理現(xiàn)實的完整描述。
塞伯格說：“我覺得有一種知識結(jié)構(gòu)可以涵蓋所有這些，也許它將涵蓋所有的物理?！?/p>
現(xiàn)在就等數(shù)學家們把它挖掘出來。
