環(huán)的同態(tài)與同構(gòu)

同態(tài)映射

定義：設(shè)R和 $\overline{R}$ 是兩個環(huán), $\varphi$ 是 $R$ 到 $\overline{R}$ 的一個映射,若 $\forall a,b\in R$ ,有

1. $\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b)$

2. $\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$

則稱 $\varphi$ 為同態(tài)映射

注：等式左邊的加法和乘法是R中的運算,燈飾右邊的加法和乘法是 $\overline{R}$ 中的運算

若 $R$ 到 $\overline{R}$ 的同態(tài)映射 $\varphi$ 是一個滿射,則稱 $\varphi$ 是 $R$ 到 $\overline{R}$ 的滿同態(tài)

若 $R$ 到 $\overline{R}$ 的同態(tài)映射 $\varphi$ 是單射,則稱 $\varphi$ 是 $R$ 到 $\overline{R}$ 的單同態(tài),或稱 $\varphi$ 為一個嵌入

此時稱R同構(gòu)嵌入到 $\overline{R}$ 中

若 $R$ 同構(gòu)嵌入到 $\overline{R}$ 中,就把R看作 $\overline{R}$ 的一部分

若 $R$ 到 $\overline{R}$ 的同態(tài)映射 $\varphi$ 既是滿射又是單射,則稱 $\varphi$ 是 $R$ 到 $\overline{R}$ 的一個同構(gòu)映射

若存在一個從 $R$ 到 $\overline{R}$ 的同構(gòu)映射,則稱R與 $\overline{R}$ 是同構(gòu)的,記作 $R\cong \overline{R}$

可將同構(gòu)的環(huán)當(dāng)作同一個環(huán)

注：設(shè) $\varphi$ 是環(huán) $R$ 到 $\overline{R}$ 的一個同態(tài)映射,則 $\varphi$ 是加群 $(R,+)$ 到加群 $(\overline{R},+)$ 的一個同態(tài)映射

$\forall a\in R,n\in Z$ ,有 $\varphi(0_R)=0_{\overline{R}},\varphi(na)=n\varphi(a)$

又 $\varphi$ 可保持 $R$ 和 $\overline{R}$ 的乘法運算,故 $\varphi(a^n)=[\varphi(a)]^n$

例：

1.令 $\varphi:Z\to Z/nZ$ , $\varphi(n)=[n]$ ,則 $\varphi$ 是一個從整數(shù)環(huán)Z到同余類環(huán) $Z/nZ$ 的一個滿射,且 $\forall n_1,n_2\in Z$ ,有

$\varphi(n_1+n_2)=[n_1+n_2]=[n_1]+[n_2=\varphi(n_1)+\varphi(n_2)$

$\varphi(n_1n_2)=[n_1n_2]=[n_1][n_2]=\varphi(n_1)\varphi(n_2)$

故 $Z\sim Z/nZ$

2.設(shè)A是任一環(huán), $B$ 是A的子環(huán), $\forall x\in B$ ,令 $\varphi:B\to A,\varphi(x)=x$ ,則 $\varphi$ 是B到A的一個單同態(tài)映射

3.設(shè) $R[x]$ 為實數(shù)域R上的多項式環(huán), $I=(x)$ , $\forall f(x)\in R[x]$ ,由帶余除法, $\exists q(x)\in R[x],a\in R$ ,使 $f(x)=q(x)x+a$ ,其中 $a$ 為 $f(x)$ 的常數(shù)項

$f(x)-a\in I$ ,故 $\overline{f(x)}=\overline{a}$

$R[x]/I=R[x]/(x)=\{\overline{a}|a\in R\}$

令 $\varphi:R\to R[x]/(x),\varphi(a)=\overline{a}$ ,則 $\varphi$ 為一個雙射,且

$\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b)$

$\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$

即 $\varphi$ 是R到 $R[x]/(x)$ 的同構(gòu)映射, $R\cong R[x]/(x)$

定理：設(shè) $R$ 和 $\overline{R}$ 是兩個含幺環(huán),設(shè) $\varphi:R\to \overline{R}$ 是環(huán)同態(tài)映射,則

1.若 $\varphi$ 是滿射,則 $\varphi(1_R)=1_{\overline{R}}$ ,且對R中任意可逆元u, $\varphi(u)$ 是 $\overline{R}$ 的可逆元, $\varphi(u^{-1})=[\varphi(u)]^{-1}$

2.若 $\overline{R}$ 是一個除環(huán),且 $\varphi(1_R)\neq 0_{\overline{R}}$ ,則 $\varphi(1_R)=1_{\overline{R}}$

3.若 $\overline{R}$ 是一個整環(huán),且 $\varphi(1_R)\neq 0_{\overline{R}}$ ,則 $\varphi(1_R)=1_{\overline{R}}$

證明：

$1.設(shè)\varphi(1_R)=\overline{s}\in \overline{R}$

$\forall \overline{r}\in \overline{R},\exists r\in R,使\varphi(r)=\overline{r}$

$\therefore \overline{r}=\varphi(r)=\varphi(1_Rr)=\varphi(1_R)\varphi(r)=\overline{s}\overline{r}$

$同理可得\overline{r}=\varphi(r)=\overline{r}\overline{s}$

$\therefore \overline{s}\overline{r}=\overline{r}\overline{s}=\overline{r}$

$\therefore \overline{s}為\overline{R}的單位元$

$即\varphi(1_R)=1_{\overline{R}}$

$設(shè)u為R中可逆元,令\varphi(u)=\overline{u},\varphi(u^{-1})=\overline{s}$

$由\varphi(1_R)=1_{\overline{R}}$

$\varphi(1_R)=\varphi(uu^{-1})=\varphi(u)\varphi(u^{-1})=\overline{u}\overline{s}=1_{\overline{R}}$

$同理,\overline{s}\overline{u}=1_{\overline{R}}$

$\therefore \overline{u}=\varphi(u)是\overline{R}中的可逆元$

$且\varphi(u^{-1})=[\varphi(u)]^{-1}$

$2.\because \varphi為同態(tài)映射$

$\therefore \varphi(1_R)=\varphi(1_R)\varphi(1_R)$

$\because \overline{R}是除環(huán)且\varphi(1_R)\neq 0_{\overline{R}}$

$\therefore 上式兩邊同乘[\varphi(1_R)]^{-1}可得$

$\varphi(1_R)=1_{\overline{R}}$

$易證3成立\qquad\mathcal{Q.E.D}$

定理：設(shè) $\varphi$ 是環(huán)R到環(huán) $\overline{R}$ 的滿同態(tài)映射,則

1.若S是R的子環(huán),則 $\varphi(S)$ 也是 $\overline{R}$ 的子環(huán)

2.若 $I$ 是 $R$ 的理想,則 $\varphi(I)$ 也是 $\overline{R}$ 的理想

3.若 $\overline{S}$ 是 $\overline{R}$ 的子環(huán),則 $\overline{S}$ 的逆像 $\varphi^{-1}(\overline{S})$ 也是 $R$ 的子環(huán)

4.若 $\overline{I}$ 是 $\overline{R}$ 的理想,則 $\overline{I}$ 的逆像 $\varphi^{-1}(\overline{I})$ 也是 $R$ 的理想

注：

1.定理表明環(huán)的同態(tài)滿射保持子環(huán)和理想的性質(zhì)不變,即子環(huán)和理想的同態(tài)仍是子環(huán)和理想,而子環(huán)和理想的原像也是子環(huán)和理想

2.滿射條件在定理2和4中不可少

例：設(shè) $\varphi:Z\to R$ 是整數(shù)環(huán)Z到實數(shù)環(huán)R的映射, $\varphi(n)=n$ ,則 $\varphi$ 是同態(tài)映射,Z是Z的理想,但 $\varphi(Z)=Z$ 不是R的理想

定理：設(shè)I是環(huán)R的理想, $\overline{R}=R/I$ 是R關(guān)于I的商環(huán),則R與 $\overline{R}$ 同態(tài)

證明：

$作映射\pi:R\to \overline{R},\pi(a)=\overline{a}$

$其中\(zhòng)overline{a}=a+I$

$則\pi 顯然是R到\overline{R}的一個同態(tài)映射$

$\therefore R\sim \overline{R}\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：上述同態(tài)映射稱為R到 $R/I$ 的自然同態(tài)(典范同態(tài))

環(huán)同態(tài)基本定理

定理：假定R和 $\overline{R}$ 是兩個環(huán), $\varphi$ 是 $R$ 到 $\overline{R}$ 的滿同態(tài)映射,則同態(tài) $\varphi$ 的核 $I=Ker(\varphi)=\{a\in R|\varphi(a)=0\}$ 是R的理想,且 $R/I\cong \overline{R}$

證明：

$同態(tài)核Ker(\varphi)是\overline{R}中零理想(0)的原像$

$即I=Ker(\varphi)=\varphi^{-1}(0)$

$\therefore I=Ker(\varphi)是R的理想$

$下證R/I\cong \overline{R}$

$令\psi:R/I\to \overline{R},\psi(\overline{a})=\phi(a)$

$\because \overline{a}=\overline\Leftrightarrow a-b\in I$

$\Leftrightarrow \varphi(a-b)=0$

$\Leftrightarrow \varphi(a)=\varphi(b)$

$\Leftrightarrow \psi(\overline{a})=\psi(\overline)$

$\therefore \psi的定義是良性的$

$且\psi是單射$

$顯然\psi是滿射$

$\therefore \psi是從R/I到\overline{R}的一個雙射$

$\because \psi(\overline{a+b})=\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(a)=\psi(\overline{a})+\psi(\overline)$

$\psi(\overline{ab})=\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)=\psi(\overline{a})\psi(\overline)$

$\therefore \psi是同構(gòu)映射$

$\therefore R/I\cong \overline{R}\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：

1.R的任一同態(tài)像在同構(gòu)的意義下都是R的一個商環(huán)

2.理想在環(huán)中的地位與正規(guī)子群在群中的地位是平行的

例：

1.設(shè) $Z\oplus Z=\{(a,b)|a,b\in Z\}$ ,其中的加法和乘法定義為： $(a_1,b_1)+(a_2,b_2)=(a_1+a_2,b_1+b_2)$ , $(a_1,b_1)(a_2,b_2)=(a_1a_2,b_1b_2)$ ,則 $Z\oplus Z$ 關(guān)于加法和乘法作成一個環(huán)

設(shè) $\varphi:Z\oplus Z\to Z,\varphi(a,b)=b$ ,則 $\varphi$ 是一個滿同態(tài)映射,同態(tài)的核 $Ker(\varphi)=\{(a,0)|a\in Z\}$

由同態(tài)基本定理, $(Z\oplus Z)/Ker(\varphi)\cong Z$

2.設(shè) $f$ 是環(huán)R到 $\overline{R}$ 的滿同態(tài), $\overline{I}$ 是 $\overline{R}$ 的一個理想,I為 $\overline{I}$ 的原像,即 $I=f^{-1}(\overline{I})=\{a\in R|f(a)\in \overline{I}\}$ ,則 $R/I\cong \overline{R}/\overline{I}$

設(shè) $\pi$ 為 $\overline{R}$ 到 $\overline{R}/\overline{I}$ 的自然同態(tài),則 $R\overset{f}{\to}\overline{R}\overset{\pi}{\to}\overline{R}/\overline{I}$ ,

$\pi\circ f$ 是 $R$ 到 $\overline{R}/\overline{I}$ 的滿同態(tài),由于

$a\in Ker(\pi\circ f)\Leftrightarrow (\pi\circ f)(a)=\overline{0}+\overline{I}$

$\Leftrightarrow \pi(f(a))=\overline{f(a)}+\overline{I}=\overline{0}+\overline{I}$

$\Leftrightarrow f(a)\in \overline{I}$

$\Leftrightarrow a\in I$

即 $Ker(\pi\circ f)=I$ ,由同態(tài)基本定理, $R/I=R/Ker(\pi\circ f)\cong \overline{R}/\overline{I}$

環(huán)第一同構(gòu)定理

定理：設(shè) $I$ 和 $J$ 為環(huán)R的理想,則 $I+J$ , $I\cap J$ 也是R的理想,且 $(I+J)/J\cong I/(I\cap J)$

證明：

$由理想的定義$

$易證I+J,I\cap J都是R的理想$

$且J為I+J的理想,I\cap J為I的理想$

$\forall x\in I+J,\exists a\in I,b\in J,使得$

$x=a+b$

$定義映射f:I+J\to I/(I\cap J)$

$f(x)=a+(I\cap J)$

$若x=a+b=a_1+b_1,其中a,a_1\in I,b,b_1\in J$

$則a-a_1=b_1-b\in I\cap J$

$\therefore a\equiv a_1(mod\; I\cap J)$

$\therefore f的定義是良性的$

$下證f是滿射$

$\forall a+(I\cap J)\in I/(I\cap J)$

$\forall b\in J,令x=a+b$

$則x\in I+J且f(x)=a+(I\cap J)$

$再證f是同態(tài)映射$

$\forall x,y\in I+J,\exists a_1,a_2\in I,b_1,b_2\in J$

$使x=a_1+b_1,y=a_2+b_2$

$則f(x)=a_1+(I\cap J),f(y)=a_1+(I\cap J)$

$由理想的性質(zhì)$

$f(x+y)=(a_1+a_2)+(I\cap J)$

$=[a_1+(I\cap J)]+[a_2+(I\cap J)]$

$=f(x)+f(y)$

$f(xy)=(a_1a_2)+(I\cap J)$

$=[a_1+(I\cap J)][a_2+(I\cap J)]$

$=f(x)f(y)$

$\therefore f是從I+J到I/(I\cap J)的滿同態(tài)$

$再證Ker(f)=J$

$\forall x\in J,有x=0+x\in I+J$

$由f的定義$

$f(x)=0+(I\cap J)$

$\therefore x\in Ker(f)$

$即J\subset Ker(f)$

$又\forall x\in Ker(f),\exists a\in I,b\in J,使得$

$x=a+b$

$由f(x)=a+(I\cap J)=0+(I\cap J)$

$a\in (I\cap J)$

$\therefore a\in J$

$\therefore x=a+b\in J$

$即Ker(f)\subset J$

$由同態(tài)基本定理$

$(I+J)/J=(I+J)/Ker(f)\cong I/(I\cap J)\qquad\mathcal{Q.E.D}$

極大理想

定義：設(shè)M是環(huán)R的理想, $M\neq R$ ,若對環(huán)R的任意理想I, $M\subseteq I$ ,且 $M\neq I$ ,總有 $I=R$ ,則稱M是R的極大理想

例：R為整數(shù)環(huán),設(shè)p為素數(shù),則 $M=(p)=pZ=\{pk|k\in Z\}$ 為極大理想

$1\notin M$ ,故 $M\neq Z$ ,又若 $I$ 是Z中的理想, $M\subseteq I且M\neq I$ ,則 $\exists a\in I,a\notin M$ ,故 $p\nmid a,(a,p)=1$ ,則 $\exists u,v\in Z$ 使 $au+pv=1$

由 $a\in I$ , $au\in I$ ,由 $p\in M\subset I$ , $pv\in I$ ,故 $1\in I$ ,因而 $Z\subset I$

顯然 $I\subset Z$ ,因而I=Z,故 $M$ 為Z的極大理想

注：設(shè)p為素數(shù), $M=(p)$ 為Z的極大理想, $Z/pZ$ 是域,這個結(jié)論可推廣到一般的含幺交換環(huán)上

定理：設(shè)R是含幺交換環(huán),則M為R的極大理想 $\Leftrightarrow$ R/M為域

證明：

$必要性$

$\because M是R的極大理想$

$\therefore M\neq R$

$\therefore 1\notin M,\overline{1}=1+M為商環(huán)R/M中的單位元$

$\therefore 商環(huán)R/M中至少由兩個元$

$\overline{0}=0+M-M和\overline{1}=1+M$

$顯然,R/M是交換環(huán)$

$設(shè)\overline{a}=a+M是R/M中任一非零元$

$理想I=(a)+M=\{ar+m|r\in R,m\in M\}$

$則M\subseteq I$

$\because a\notin M,a\in I$

$\therefore M\neq I$

$\because M是極大理想$

$\therefore I=R$

$\therefore \exists r_1\in R,m_1\in M,使得$

$ar_1+m_1=1$

$\therefore 在商環(huán)R/M中有\(zhòng)overline{a}\overline{r_1}=\overline{1}$

$即\overline{a}有逆元\overline{r_1}$

$\therefore R/M為域$

$充分性$

$設(shè)R/M為域$

$則R/M中至少含兩個元$

$\overline{0}=0+M=M,\overline{1}=1+M$

$\therefore M\neq R$

$設(shè)I是環(huán)R的理想,M\subseteq I且M\neq I$

$則\exists a\in I,a\notin M$

$即\overline{a}=a+M是商環(huán)R/M中的非零元$

$\therefore \exists 逆元\overline=b+M,使得$

$\overline{a}\overline=\overline{1}$

$即m=ab-1\in M\subset I$

$\therefore 1=ax-m\in I$

$\therefore I=R$

$即M是R的極大理想\qquad\mathcal{Q.E.D}$

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近世代數(shù)理論基礎(chǔ)21：環(huán)的同態(tài)與同構(gòu)

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