在這段時間，我們探索了勾股定理。那下面，我來分享一下我們的探索歷程。
我們會把勾股定理分成浪漫、精確、綜合應(yīng)用和未來發(fā)展四個板塊。先來說一說，第一個板塊——浪漫。我們也可以把它理解為對三角形的一個重溫，并且要提出我們接下來探索的問題。
首先呢，我們要知道三角形的定義是什么？三條線段首尾相連圍成的封閉圖形叫三角形。那么，對于一個三角形會有哪些性質(zhì)呢？當(dāng)然有我們所知道的內(nèi)角和為180度；三角形的一個外角度數(shù)等于這個角不相鄰的兩個角的度數(shù)和；兩邊之和和大于第三邊和兩邊之差小于第三邊。
對于直接三角形呢？它的角和邊分別具有哪些性質(zhì)？關(guān)于角有一個定義：一個角的度數(shù)為90度，其余兩個角互余。關(guān)于邊，就是斜邊最長。
但是，如果你對于全等三角形很敏感的話，你會發(fā)現(xiàn)，我們剛開始判定的SSA不能判定三角形全等。但在直角三角形中，好像卻也證明三角形全等，這是為什么？直角三角形的三邊會不會有怎樣的特殊數(shù)量關(guān)系呢？
我們會發(fā)現(xiàn)正方形的對角線，沒法用一個準(zhǔn)確的數(shù)來表示，我們只能給開他一個范圍，所以這道題也就是在引導(dǎo)我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系。
我們可以舉這樣一個例子。畫出一個直角三角形，使其兩條直角邊的長度分別為3cm和4cm，然后量出斜邊的長為多少。通過畫圖，我們可以得出斜邊的長度為5cm。那么此時我們能不能猜想，三邊長的平方之間會有怎樣的關(guān)系呢？你會發(fā)現(xiàn)32=9，42=16，而9+16=25，也就是32+42=52。所以我們能猜測：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。
好，既然已經(jīng)有了猜想，就可以對此進(jìn)行一步步地證明了。如圖：
圖中的直角三角形三邊的平方，滿足我們上面所猜想的數(shù)量關(guān)系嗎？我們可以對此進(jìn)行計算。如圖我們可知到，直角三角形的三邊分別為a，b，c，我們的猜想是a2+b2=c2。那你再仔細(xì)想想，a2是不是就是正方形的面積公式嗎。那么以邊長a所構(gòu)成的這個正方形，我們先稱為“正方形a”。我們知道，一個小格的長度為1，那么邊長a的長度就應(yīng)該是3，正方形的面積也就是a2=9。那你再看邊長b所構(gòu)成的正方形，它的邊長長度也為3，所以正方形b的面積也等于9。接下來就是邊長c，我們會發(fā)現(xiàn)c它是一個斜邊，你沒法直接用邊長去求出它的面積是多少，所以我們就可以用到“割補法”。如圖：
其中左邊為“割”的方法，右邊為“補”的辦法。所謂“割”就是把這個正方形c分成4個小直角三角形。而補呢，則是把它補成一個大正方形，然后再減去4個小直角三角形。所以我們可以通過任意一種方法得出正方形c的面積為18。那么現(xiàn)在，我們得出的結(jié)果是a2=9，b2=9，c2=18，那也就證明了我們剛才的猜想，a2+b2=c2。
可是這樣的一個猜想能否作為定理呢？不能。為什么呢？因為以上的種種都是特例，我們在證名的過程中，用的是數(shù)格子的方法，但真正的證明是要脫離格子紙，去用字母證明（最簡單的方法）。下面，讓我們來一起證明吧。如圖：
我們當(dāng)然同樣猜想abc的關(guān)系為a2+b2=c2。那么在這樣一個圖形中，我們需要先把其他所對應(yīng)abc的邊給標(biāo)出來。然后求出它們的面積含有abc的關(guān)系式。如右半邊所示。然后用剛才所知道的一個大正方形減去4個小三角形就等于正方形c了。如圖：
當(dāng)然，也可以用割的辦法，我在此就不說了，展示一下過程
除了正方形的證明方法，還可以用直角梯形來驗證勾股定理。如圖：
證明完勾股定理后，讓我們再用標(biāo)準(zhǔn)三種的數(shù)學(xué)語言來總結(jié)一下。如圖：
證明完了勾股定理，你有沒有想過它會像我們當(dāng)時的平行線一樣，擁有互逆的性質(zhì)定理和判定定理？沒錯，勾股定理也有它的逆定理。勾股定理我們知道是已知直角三角形，去求三邊。那逆定理，你就應(yīng)該會想到是已知三邊的關(guān)系，然后去求三角形是否為直角三角形。那下面，就讓我們來展開證明吧。如圖：
已知三角形ABC的三邊長abc滿足a方+b方=c方，我們要求角C等于90度。那我們該怎么證明呢？我們可以畫一個直角三角形A'B'C'，使角C等于90度且A'C'=AC，B'C'=BC。然后可以用勾股定理得出A'B'=AB，然后再用SSS證出全等就可以求出了。過程如下：
我們也同樣在用三種數(shù)學(xué)語言來總結(jié)一下。
那你又有沒有想過，證明直角三角形全等的方法有不同的（也就是在文章開始前我們提過的）？嗯，肯定有，我們稱它為“HL”，證明過程如下：
最下面是它的符號語言。
以上算是勾股定理的第二部分——精確。
接下來，我們再來說一下綜合應(yīng)用。
對于綜合應(yīng)用部分，我們涉及到的就是用勾股定理或者是逆定理去求一些東西。當(dāng)然在求的時候，最容易出現(xiàn)的兩個“問題”。就是知道直角三角形中，一邊的長度和剩下兩條邊的關(guān)系“知一求二”和“知二求一”。那什么是“知一求二”？什么又是“知二求一”呢？“知一求二”是指，在直角三角形中，給你任意一條邊的長度和剩下兩條邊的關(guān)系，去求另外兩條邊的長度。那“知二求一”就是，知道任意兩條邊的長度去，求另外一條邊的長度啦。
最后就是未來發(fā)展?？梢园阉譃闄M向發(fā)展和縱向發(fā)展。橫向發(fā)展呢就是指向勾股數(shù)這樣的方向探索，而縱向發(fā)展呢，“根號”（這章涉及到的符號）可以說是對于實數(shù)的一個浪漫。
但是，這章我們探索的就是直角三角形三邊的關(guān)系（勾股定理），那么還有什么更大的問題可以研究？
我們知道直角三角形一種特殊三角形，所以直角三角形三邊的關(guān)系能否轉(zhuǎn)化成普通的三角形三邊的關(guān)系？換句話說，普通三角形的三邊又會有怎樣的關(guān)系呢？
還有是對于直角三角形。如果它的角度不變，其中一條邊變長的話，另外兩條便會發(fā)生怎樣的變化？又或者是如果角度變了，另外兩條邊或角又會發(fā)生怎樣的變化？（ 關(guān)于這一類的問題，肯定還有好多好多。）
那么以上，就是我們勾股定理這一章的探索過程。
