最大公因數(shù) 教后簡析

一、導(dǎo)課環(huán)節(jié)

在學(xué)習(xí)“最大公因數(shù)”這節(jié)課，首先出示了課題，問：本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容是什么？生齊讀課題后問：如果讓你把這五個(gè)字進(jìn)行拆分，你能拆成幾部分？生：三部分，最大、公、因數(shù)。追問：這三部分里哪一個(gè)是已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)？生：因數(shù)。追問：怎樣找一個(gè)數(shù)的因數(shù)，例如6和12的因數(shù)分別是什么？生答列舉法。追問：大家所拆的“公”表示啥意思？生：公共、公有。問那公因數(shù)啥意思？生：公共的因數(shù)或公有的因數(shù)。問：既然是公共的因數(shù)或公有的因數(shù)，那至少是幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)？生兩個(gè)。追問：那看看剛才列舉出來的6和12的因數(shù)中，哪些數(shù)是這兩個(gè)數(shù)的公有因數(shù)？生答1,2,3,6.繼續(xù)追問：加上最大這個(gè)詞呢？連起來就是最大的公因數(shù)，最大公因數(shù)最少滿足幾個(gè)條件？兩個(gè)，一個(gè)是公有的因數(shù)，另一個(gè)是公有因數(shù)中最大的那一個(gè)。那現(xiàn)在你能說出6和12的最大公因數(shù)是幾？

環(huán)節(jié)有效簡析：這個(gè)導(dǎo)入片段設(shè)計(jì)精巧、邏輯嚴(yán)密、層層遞進(jìn)，完全符合新課標(biāo)理念，是一節(jié)非常高效、極具數(shù)學(xué)思維含量的有效導(dǎo)入。

1.緊扣新課標(biāo)理念，體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化教學(xué)

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系與結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)。本課從已有知識(shí) “因數(shù)” 出發(fā)，通過拆詞理解，逐步建構(gòu) “公因數(shù)→最大公因數(shù)” 的新概念，讓學(xué)生感受到新知是舊知的自然延伸，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的同化與遷移，真正做到依標(biāo)施教、以學(xué)定教。

2.精準(zhǔn)服務(wù)教學(xué)目標(biāo)，突破認(rèn)知起點(diǎn)

導(dǎo)入緊緊圍繞本課核心目標(biāo)展開，通過層層追問，讓學(xué)生自主明晰：

公因數(shù)必須是兩個(gè)或兩個(gè)以上數(shù)公有的因數(shù)；

最大公因數(shù)需同時(shí)滿足 “公有” 且 “最大” 兩個(gè)條件。整個(gè)過程不直接灌輸定義，而是讓學(xué)生自己 “拼出” 概念，為后續(xù)探究方法、解決問題掃清認(rèn)知障礙，目標(biāo)指向極強(qiáng)。

3.深度落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

推理意識(shí)學(xué)生在拆詞、辨析、舉例的過程中，經(jīng)歷 “因數(shù)→公有因數(shù)→公因數(shù)→最大公因數(shù)” 的邏輯推理，思維鏈條完整。

數(shù)感與運(yùn)算能力通過找 6、12 的因數(shù)，回顧舊知、夯實(shí)基礎(chǔ)，為后續(xù)用列舉法求最大公因數(shù)提供方法支撐。

抽象概括能力從具體數(shù)字到文字概念，再到條件提煉，逐步抽象本質(zhì)，有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象與歸納能力。

4.凸顯學(xué)科育人功能，培養(yǎng)學(xué)習(xí)品質(zhì)

教會(huì)學(xué)習(xí)方法通過 “拆課題、抓關(guān)鍵字” 的方式，潛移默化教給學(xué)生解讀課題、自主建構(gòu)概念的學(xué)習(xí)策略，實(shí)現(xiàn)學(xué)法育人。

培養(yǎng)有序思考追問環(huán)環(huán)相扣、步步深入，引導(dǎo)學(xué)生有條理、有依據(jù)地表達(dá)，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)、理性的思維習(xí)慣。

激發(fā)主體意識(shí)全程以學(xué)生思考、表達(dá)為主，教師只做引導(dǎo)，充分體現(xiàn)以生為本，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)自信心。

5.貼合隨堂課特點(diǎn)，高效務(wù)實(shí)

整個(gè)導(dǎo)入簡潔干練、不拖沓、不花哨，用最少的時(shí)間快速激活舊知、引出新知，既高效又扎實(shí)，非常適合常態(tài)課堂，實(shí)用性極強(qiáng)。

二、探究：兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)和它們的最大公因數(shù)之間有什么關(guān)系？

? 1.問：剛才我們通過什么方法找到了6和12的公因數(shù)和最大公因數(shù)？生：列舉法。

? 問：那快速思考9和18；12和24；3和6；17和51；13和91；這幾組數(shù)的公因數(shù)和最大公因數(shù)分別是什么？生思考后回答。

? 問：觀察這幾組數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？生：成倍數(shù)的兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是較小的數(shù)。

2.那5和6；33和34；100和101；63和64；這幾組數(shù)的公因

數(shù)和最大公因數(shù)分別是什么？生思考后回答。

問：觀察這幾組數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？生：相鄰兩個(gè)數(shù)的最大公因

數(shù)是1。

3.那1和7；1和100；1和9；這幾組數(shù)的公因數(shù)和最大公因數(shù)

分別是什么？生思考后回答。

? 問：觀察這幾組數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？生：1和一個(gè)數(shù)的公因數(shù)和最大公因數(shù)是1.

4.那2和3；7和9；11和29；97和89；這幾組數(shù)的公因數(shù)和

最大公因數(shù)分別是什么？生思考后回答。

問：觀察這幾組數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？生：兩個(gè)質(zhì)數(shù)的公因數(shù)和最

大公因數(shù)是1.

? 思考：觀察以上每組中的公因數(shù)和最大公因數(shù)，它們之間有什么關(guān)系？

生觀察思考后回答：兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)都是最大公因數(shù)的因數(shù)，最大公因數(shù)是公因數(shù)的倍數(shù)。

環(huán)節(jié)有效簡析：

1.緊扣新課標(biāo)理念

本環(huán)節(jié)突出自主探究、歸納發(fā)現(xiàn)、結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的新課標(biāo)要求，不直接告知規(guī)律，而是讓學(xué)生在多組實(shí)例中觀察、比較、概括，體現(xiàn) “做中學(xué)、議中學(xué)”。從一般方法（列舉法）到特殊規(guī)律（倍數(shù)關(guān)系、互質(zhì)數(shù)、相鄰數(shù)、1 和任意數(shù)），層層遞進(jìn)，幫助學(xué)生構(gòu)建完整、系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。

2.精準(zhǔn)服務(wù)教學(xué)目標(biāo)

環(huán)節(jié)緊緊圍繞 “理解公因數(shù)與最大公因數(shù)的意義，掌握特殊關(guān)系下快速找最大公因數(shù)的方法” 展開。通過四組典型數(shù)據(jù)，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，最后再提煉公因數(shù)與最大公因數(shù)的本質(zhì)關(guān)系，既突破重點(diǎn)，又化解難點(diǎn)，為后續(xù)約分、解決問題打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，目標(biāo)達(dá)成度高。

3.深度落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

推理意識(shí)學(xué)生經(jīng)歷 “計(jì)算 — 觀察 — 比較 — 猜想 — 歸納” 全過程，邏輯推理能力得到充分訓(xùn)練。

數(shù)感與運(yùn)算能力在快速找公因數(shù)、最大公因數(shù)的過程中，強(qiáng)化對(duì)數(shù)的整除特征、因數(shù)結(jié)構(gòu)的理解，提升數(shù)感。

抽象概括能力從具體數(shù)組到一般規(guī)律，再到本質(zhì)關(guān)系，層層抽象，培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)、數(shù)學(xué)建模的能力。

有序思考分類探究、條理清晰，引導(dǎo)學(xué)生有條理、分類型研究數(shù)學(xué)問題，形成良好思維習(xí)慣。

4.凸顯學(xué)科育人功能

教師以問題為引領(lǐng)，放手讓學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)，體現(xiàn)以生為本；通過分類探究，培養(yǎng)學(xué)生有序、嚴(yán)謹(jǐn)、全面看問題的思維品質(zhì)；在規(guī)律總結(jié)中感受數(shù)學(xué)的簡潔美與規(guī)律性，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣；同時(shí)滲透 “觀察 — 猜想 — 驗(yàn)證 — 歸納” 的科學(xué)探究方法，實(shí)現(xiàn)學(xué)法育人。

三、探究：怎樣求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)？

拋出問題后生回答：列舉法。追問：如果只列舉出來一個(gè)數(shù)的因數(shù)，能找到這兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)及最大公因數(shù)嗎？生思考后回答可以。繼續(xù)追問：那選兩個(gè)數(shù)中最大的數(shù)來列舉還是較小的數(shù)來列舉呢？生討論交流后得出，列舉較小的數(shù)的因數(shù)，從而篩選出它們的最大公因數(shù)。小結(jié)，這就是運(yùn)用篩選法來找最大公因數(shù)。隨后介紹了課本例1的借助集合圈來表示公因數(shù)及最大公因數(shù)的方法。

環(huán)節(jié)有效簡析：

本環(huán)節(jié)緊扣 “掌握求最大公因數(shù)的方法” 這一核心目標(biāo)，設(shè)計(jì)精煉、思維含量高，是典型的有效且高效的探究環(huán)節(jié)。

1.緊扣新課標(biāo)理念

突出自主探究、優(yōu)化算法、理解本質(zhì)的要求，從學(xué)生已會(huì)的列舉法自然過渡到更簡便的篩選法，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比、優(yōu)化、選擇，體現(xiàn)算法多樣化與優(yōu)化思想，符合新課標(biāo) “重過程、重理解” 的理念。

2.精準(zhǔn)達(dá)成教學(xué)目標(biāo)

通過層層追問，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：只列舉一個(gè)數(shù)的因數(shù)也能找到最大公因數(shù)；列舉較小數(shù)的因數(shù)更簡便。順利引出篩選法，并結(jié)合集合圈直觀表示，方法清晰、重點(diǎn)突出，既夯實(shí)基礎(chǔ)又提升效率，為后續(xù)學(xué)習(xí)提供實(shí)用方法。

3.落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

推理意識(shí)在 “只列一個(gè)數(shù)行不行”“列大數(shù)還是小數(shù)” 的思辨中，學(xué)生進(jìn)行有理有據(jù)的判斷，邏輯思維得到訓(xùn)練。

優(yōu)化意識(shí)與運(yùn)算能力引導(dǎo)學(xué)生在多種方法中選擇簡便策略，提升運(yùn)算簡潔性與靈活性。

幾何直觀借助集合圈直觀表示公因數(shù)與最大公因數(shù)，數(shù)形結(jié)合，理解更透徹。

4.體現(xiàn)學(xué)科育人功能

教師以問題鏈引導(dǎo)，學(xué)生主動(dòng)思考、討論交流，不直接講授方法，培養(yǎng)主動(dòng)探究、擇優(yōu)選擇、嚴(yán)謹(jǐn)表達(dá)的學(xué)習(xí)品質(zhì)；同時(shí)滲透 “方法多樣化→方法最優(yōu)化” 的數(shù)學(xué)思想，提升思維品質(zhì)。

四、鞏練。課后做一做和習(xí)題十五1-3題。

總評(píng)：整節(jié)課本節(jié)課整體設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)清晰、環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)、務(wù)實(shí)高效，作為一節(jié)常態(tài)隨堂課，既嚴(yán)格依托教材、緊扣課程標(biāo)準(zhǔn)，又充分體現(xiàn)以生為本的教學(xué)理念，是一節(jié)目標(biāo)明確、重點(diǎn)突出、扎實(shí)有效的概念與方法新授課。

1.緊扣新課標(biāo)理念，知識(shí)建構(gòu)邏輯嚴(yán)密

課堂從拆分課題入手，以舊知 “因數(shù)” 自然遷移引出公因數(shù)、最大公因數(shù)，遵循 “概念感知 — 探究規(guī)律 — 優(yōu)化方法 — 鞏固應(yīng)用” 的認(rèn)知路徑。探究環(huán)節(jié)分類清晰，從倍數(shù)關(guān)系、互質(zhì)數(shù)關(guān)系等特殊情況歸納規(guī)律，再到篩選法的優(yōu)化提煉，層層深入，幫助學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化知識(shí)體系，真正體現(xiàn)新課標(biāo)倡導(dǎo)的自主探究、深度學(xué)習(xí)、結(jié)構(gòu)化教學(xué)理念。

2.精準(zhǔn)落實(shí)教學(xué)目標(biāo)，重難點(diǎn)突破到位

本節(jié)課圍繞理解公因數(shù)、最大公因數(shù)的意義，掌握求最大公因數(shù)的方法展開教學(xué)。導(dǎo)入環(huán)節(jié)明晰概念內(nèi)涵，探究環(huán)節(jié)提煉特殊規(guī)律、優(yōu)化解題方法，鞏固環(huán)節(jié)立足課本習(xí)題夯實(shí)基礎(chǔ)，各環(huán)節(jié)目標(biāo)明確、銜接自然，有效突破教學(xué)重難點(diǎn)，學(xué)生對(duì)概念的理解透徹、方法掌握扎實(shí)。

3.深度發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

課堂通過觀察、比較、歸納、推理等活動(dòng)，有效培養(yǎng)學(xué)生的推理意識(shí)、數(shù)感、抽象概括能力與算法優(yōu)化意識(shí)；借助集合圈直觀表示公因數(shù)，滲透數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展幾何直觀。全程注重學(xué)生有序思考、有理有據(jù)表達(dá)，數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練扎實(shí)有效。

4.凸顯學(xué)科育人功能，注重學(xué)法指導(dǎo)

教師以問題鏈引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考、自主發(fā)現(xiàn)，不直接灌輸結(jié)論，充分體現(xiàn)以生為本；通過拆課題、抓關(guān)鍵詞、歸納規(guī)律等方式，潛移默化教給學(xué)生解讀概念、探究數(shù)學(xué)、優(yōu)化方法的學(xué)習(xí)策略；在探究交流中培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、細(xì)致、善于思考的學(xué)習(xí)品質(zhì)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)傳授與能力培養(yǎng)、品格塑造的統(tǒng)一。

5.練習(xí)設(shè)計(jì)務(wù)實(shí)得當(dāng)，符合隨堂課定位

鞏固練習(xí)選用教材 “做一做” 和習(xí)題，題型典型、難度適中、緊扣重難點(diǎn)，以本為本、減負(fù)高效，既及時(shí)鞏固新知，又不增加課業(yè)負(fù)擔(dān)，體現(xiàn) “雙減” 要求，課堂節(jié)奏穩(wěn)健、實(shí)效性強(qiáng)。