源自網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)，聯(lián)系刪除。

“怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)?” 這個(gè)問(wèn)題太大了，極難于回答。至少作者自問(wèn)沒(méi)有能力來(lái)回答它。但是，這個(gè)問(wèn)題又太重要了，很多初學(xué)數(shù)學(xué)的人都詢問(wèn)它，著急地等待著對(duì)它的回答，哪怕是部分地回答也罷。作者也問(wèn)這個(gè)問(wèn)題，也遇到人們提出類(lèi)似的詢問(wèn)，也作過(guò)一些思考，也得到一些粗淺的體會(huì)。因此，我想根據(jù)自己的一些經(jīng)驗(yàn)和粗淺的體會(huì)，就這個(gè)問(wèn)題說(shuō)幾句。拉拉雜雜，毫無(wú)系統(tǒng)，也許很不正確，也許很不對(duì)題，只是供初學(xué)數(shù)學(xué)的人作個(gè)參考罷了。

我國(guó)從古相傳有一句成語(yǔ)：“從大處著眼，從小處著手”，我覺(jué)得這句話對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，是完全適用的。

所謂“從大處著眼”，便是眼界要遠(yuǎn)大，要站得高，不要鼠目寸光，局守一隅。還要自信，要有攻堅(jiān)的志氣，有研究巨大問(wèn)題、解決困難問(wèn)題的決心。這也就是我國(guó)相沿下來(lái)的所謂立大志的精神。

但立大志絕不是目空一切、好高騖遠(yuǎn)，自高自大，而必須腳踏實(shí)地、埋頭苦干、按部就班、一步一個(gè)腳印地苦學(xué)苦練。這便是從小處著手，也就是鍥而不舍磨鐵成針的精神。

顯然，這兩點(diǎn)表面上看來(lái)是互相反對(duì)的，但實(shí)際上卻是相輔相成、缺一不可的。

我們又常常議論博與專(zhuān)、泛讀與精讀的問(wèn)題，這也是我們應(yīng)該注意的。這也是兩個(gè)表面看來(lái)相互矛盾，實(shí)際上也是相輔相成的。我國(guó)相沿下來(lái)的“由博返約”便是告訴我們一個(gè)答案，教我們?cè)鯓犹幚磉@對(duì)矛盾的。

所謂“由博返約”照我的理解便是：首先，博覽，然后選擇一些(或三兩個(gè))科目精研下去。這里的“首先”“然后”，只是大體上作階段性的劃分，并不是說(shuō)每次都必須先博后約。

我們首先必須博覽，尤其是對(duì)最新的發(fā)展趨向、最近的研究動(dòng)態(tài)，必須經(jīng)常注意，換句話說(shuō)，我們必須對(duì)該學(xué)科的進(jìn)展?fàn)顩r時(shí)刻理解，既使不能深研下去，也必須保持接觸，不能閉目塞聽(tīng)，“兩耳不聞窗外事”，那就脫離了學(xué)科進(jìn)展的軌道，自甘落伍了。

但是我們絕不能夠只限于知道一些消息，知道一些情況，而必須參加進(jìn)去，必須就其中一些方向（至少一個(gè)方向)深入鈷研，透徹理解其中一切細(xì)節(jié)，融匯貫通，加以發(fā)展，這樣才能真正懂得這個(gè)方向，才能有所創(chuàng)新，有所貢獻(xiàn)。

這里我想強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：

第一，反復(fù)學(xué)習(xí)、反復(fù)思考是非常必要的，這是“精讀”的一個(gè)非常重要的內(nèi)容。如果看一篇新文章，或者沒(méi)有老師在旁指教的時(shí)候，只有反復(fù)學(xué)習(xí)才能把所學(xué)的內(nèi)容學(xué)懂，只看一遍便懂的情況是非常少的。只有反復(fù)學(xué)習(xí)反復(fù)琢磨才能有所收獲。其次，即使學(xué)懂了，對(duì)那些基本定理、證明極繁的定理，也必須反復(fù)學(xué)習(xí)反復(fù)琢磨，這樣才能真正有所收獲。可以說(shuō)，求學(xué)問(wèn)恰和交朋友一樣，必須有頻繁地接觸交談，才算是知心朋友，才算是知交。那些只見(jiàn)過(guò)一兩面，說(shuō)過(guò)一兩句話的人，只能說(shuō)是“面善”，或者是“點(diǎn)頭之交”，算不得好朋友。一旦出了什么事情，只有知交才來(lái)幫助，至于點(diǎn)頭之交呢，是不能指望的。同樣，當(dāng)我們作科研、遇上什么難題時(shí)，只有經(jīng)過(guò)我們深鉆、理解得透徹的部分（那些定理）才能供我們使用，幫助我們的忙，那些只見(jiàn)過(guò)一兩面的定理或方法，是很難給我們驅(qū)使的。因此反復(fù)學(xué)習(xí)反復(fù)思考這一過(guò)程是非常重要，不能忽視的。

第二，必須打有準(zhǔn)備的仗，不打無(wú)準(zhǔn)備的仗。除去學(xué)習(xí)、理解以外，我們又必須動(dòng)動(dòng)手。在別的自然科學(xué)中，這是指實(shí)驗(yàn)或調(diào)查，在數(shù)學(xué)則指做習(xí)題或搞新題目。不管哪—種，在動(dòng)手前，必須作好充分準(zhǔn)備，切忌盲目動(dòng)手。

試就作習(xí)題來(lái)說(shuō)，在動(dòng)手作習(xí)題之前，必須先把正課溫習(xí)一遍，把有關(guān)的知識(shí)重新理解一遍，然后才作習(xí)題，這樣如果作了出來(lái)，固然是已得學(xué)識(shí)的一次應(yīng)用，可從應(yīng)用過(guò)程中加深自己的理解。即使作不出來(lái)，一般也能知道問(wèn)題所在，可以檢查自己在哪一個(gè)“關(guān)口”通不過(guò)，然后就這個(gè)關(guān)口再重新復(fù)習(xí)一遍，這樣逐步克服困難，逐步前進(jìn)，不管最后這個(gè)習(xí)題是否作了出來(lái)，都對(duì)自己大有益處，都使自己對(duì)正課有進(jìn)一步的深一層的理解。反之，如果不做準(zhǔn)備，不先復(fù)習(xí)，為做習(xí)題而習(xí)題（只是為了老師要交習(xí)題，不能不做），動(dòng)手便做，盲目亂撞，東拼西湊，即使偶然把題目做出來(lái)了，那只是碰巧，自己并未曾把所學(xué)到的知識(shí)拿來(lái)應(yīng)用。如果作不出來(lái)，也不知問(wèn)題出在什么地方，應(yīng)該在什么地方想點(diǎn)子，而只是繼續(xù)亂碰亂撞。結(jié)果，時(shí)間是花了不少，但對(duì)自己毫無(wú)收益。

至于搞科研，做新題目（前人未曾做過(guò)的新題目），充分的準(zhǔn)備仍然是必要的。我們不反對(duì)這時(shí)采用“嘗試”“試猜”“碰撞”的方式（西文叫做 heuristical〉，東碰碰西試試，但在這之前仍必須做大量的準(zhǔn)備工作。首先，必須仔細(xì)研讀前人有關(guān)這個(gè)問(wèn)題的成果，只有在前人已有的成果之上開(kāi)始工作，才能有所前進(jìn)，如果盲目地開(kāi)始工作，勢(shì)必重復(fù)前人的工作，徒然浪費(fèi)時(shí)間與精力。其次，也必須詳細(xì)考究與本題目有關(guān)的學(xué)科，哪些是與本題目某方面關(guān)系最密切，哪些是比較次要的。并且要訂完大體的“作戰(zhàn)計(jì)劃”，有幾個(gè)攻擊方向，遇到怎樣困難時(shí)該怎樣克服或回避等等。我們不反對(duì)“試猜”，但對(duì)每一次試猜都要仔細(xì)檢査其后果以及可能出現(xiàn)的意外情況，因此每一種試猜，除可能導(dǎo)致我們所希望的結(jié)果以外，還常?？梢詫?dǎo)出一些我們絕對(duì)不愿意出現(xiàn)的情況。如果及早注意到后者，那么很快便可以把這種試猜的假設(shè)排除了。

一般人，無(wú)論做習(xí)題或搞新題目，都喜歡題目一到手便亂碰試，忽視了準(zhǔn)備工作，其結(jié)果往往事倍功半，收效不大。

另外，有很多初學(xué)的人對(duì)所謂難題有興趣，例如，非常喜歡去搞“三等分一角（用圓規(guī)直尺）”，或者去搞費(fèi)爾馬最后定理,即 “不可能有正整數(shù) ，滿足方程

或者哥德巴赫猜想：“任何大于 的偶數(shù)都可寫(xiě)成兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和”，他們常常寫(xiě)出一些他們自認(rèn)的“證明”，寄到雜志刊物去，要求刊登，或寄到一些數(shù)學(xué)工作者那里，要求代他們審閱。這常常引起雜志刊物編輯部的麻煩，或數(shù)學(xué)工作者的麻煩，打擾他們的日常工作的秩序了。無(wú)論怎樣勸說(shuō)他們都不愿意傾聽(tīng)。

這類(lèi)所謂難題，實(shí)際上分兩種：

第一種當(dāng)時(shí)是難題，但目前已經(jīng)解決了。例如，用圓規(guī)直尺來(lái)三等分一個(gè)角，在古希臘時(shí)代是一個(gè)難題，現(xiàn)在已經(jīng)證明這是不可能的，因此這個(gè)問(wèn)題已經(jīng)解決了，解答是：“不可能。” 既然已經(jīng)知道解答，為什么還要繼續(xù)去研究它?原來(lái)這些人受到以前“左”的思想的流毒，無(wú)視科學(xué)規(guī)律，“以前不可能的，在社會(huì)主義的今天便可能了”，或者“外國(guó)不可能的，在社會(huì)主義的中國(guó)都是可能了”等等。對(duì)這些受“左”的流毒的人，除向他們加強(qiáng)科學(xué)規(guī)律嚴(yán)肅性的教育外，還可對(duì)他們說(shuō)，你在做你的偉大的研究之前，最好先把 或 表成分?jǐn)?shù)，即先找分?jǐn)?shù) ，使得 或 。如果你無(wú)法找出，那么對(duì)那些證明為不可能的問(wèn)題便不必再搞下去了。

第二種直到目前仍是難題，仍是未解決的難題。對(duì)這種難題是應(yīng)該探究的，但是正為上文所說(shuō)，在探討之前應(yīng)該有充分的準(zhǔn)備，我們反對(duì)打無(wú)準(zhǔn)備的仗，例如，要研究費(fèi)爾馬大定理或哥德巴赫猜想，首先應(yīng)該熟悉前人已獲得的成果，前人已走過(guò)的道路，而這一般要專(zhuān)門(mén)從事數(shù)學(xué)（尤其是從事數(shù)學(xué)中數(shù)論這部分）的人才能做到，僅憑對(duì)自然數(shù)的一些粗淺知識(shí)，是無(wú)法總結(jié)前人已有的成果的。不總結(jié)前人的成果，單想憑亂碰亂試而解決有名的數(shù)學(xué)難題，這不是太過(guò)于天真了嗎？

舉個(gè)例說(shuō)，在今天要想采礦，當(dāng)然要依靠專(zhuān)業(yè)隊(duì)伍從事普查、勘探，才能探明地下的礦藏，如果某處曾有一人偶爾發(fā)現(xiàn)露天礦藏，便以為只要自己東奔西跑，便可以赤手空拳地找出有開(kāi)采價(jià)值的大礦藏，不是和上面提到的那些同樣地天真嗎？

總結(jié)起來(lái)，對(duì)于已經(jīng)解決了的不可能問(wèn)題，絕不應(yīng)該再去研究它（把前提改變、結(jié)論改變，從而已變成了一個(gè)新問(wèn)題的，當(dāng)然不在此限）；對(duì)于尚未解決的難題，當(dāng)然應(yīng)該研究，但必須有充分的準(zhǔn)備，包括必須熟悉前人已獲得的成果。我們希望由從事數(shù)學(xué)工作的人來(lái)做，可以省卻準(zhǔn)備時(shí)間，但有興趣的人來(lái)研究未嘗不可，但必須作充分準(zhǔn)備。

初學(xué)的人每每走極端，把很好的主張或辦法推行到極端，結(jié)果反而誤事。例如，當(dāng)人們提到注重基礎(chǔ)理論時(shí)，便整天泡在幾本教科書(shū)中，整天做教科書(shū)上的習(xí)題，十多年下去，人也老了，一事無(wú)成了；當(dāng)人們提到注重科研，應(yīng)早日從事科研時(shí)，又不顧條件，不作準(zhǔn)備，馬上去讀論文，第一篇勉強(qiáng)讀完，還沒(méi)有消化，又讀第二篇，不到幾年工夫，論文讀了不少，但沒(méi)有一篇是讀透了的，所謂“人人面善，無(wú)一知交”，當(dāng)自己從事一個(gè)題目的探討時(shí)，竟然束手無(wú)策，那些“面善”而不是“知交”的朋友，沒(méi)有一個(gè)出來(lái)幫忙。因此有一個(gè)大問(wèn)題，對(duì)初學(xué)數(shù)學(xué)的人說(shuō)來(lái)，該怎樣做呢？是埋頭于教科書(shū)拼命做習(xí)題呢，還是提早讀論文開(kāi)始搞科研呢？

問(wèn)題在于，任何主張和辦法，不能夸大到極端，而應(yīng)保持一個(gè)適當(dāng)?shù)南薅?，基礎(chǔ)的訓(xùn)練是必要的，但長(zhǎng)期埋頭于教科書(shū)便不對(duì)了；及早從事科研也是必要的。但基礎(chǔ)訓(xùn)練不夠，準(zhǔn)備不夠便不對(duì)了。如何適當(dāng)?shù)卣莆諆深?lèi)的界限，這是隨各人而異的，不能預(yù)先規(guī)定的，誰(shuí)能夠適當(dāng)?shù)馗鶕?jù)自己的具體情況而掌握界限，誰(shuí)的成功機(jī)會(huì)便大。

值得指出，所謂基礎(chǔ)訓(xùn)練絕不限于無(wú)休止地做教科書(shū)里（或習(xí)題集中）的習(xí)題，這只是一方面的。更重要的是，對(duì)主要定理的證明（這一般是較為艱深的）反復(fù)鉆研（以便加深理解)，并設(shè)法加以改動(dòng)或改進(jìn)。這是提高自己做題能力的一個(gè)良好辦法。

主要定理牽連較多，證明一般也較繁雜，應(yīng)該首先弄清證明的主要思路、主要步驟，這樣才能加深對(duì)主要定理的理解。但這還不夠，我們還應(yīng)加以改動(dòng)，使其主要思路更為突出，主要步驟更為清楚。然后再進(jìn)一步改進(jìn)，或使用更弱的前提，或推出更強(qiáng)的結(jié)論，或把使用高等數(shù)學(xué)工具的地方改掉，換上使用初等數(shù)學(xué)的工具等等。后面這些改進(jìn)，實(shí)際上已經(jīng)是獲得一些新成果，如果這些新成果是別人不知道的，可以說(shuō)已在科研道路上走了第一步，如果是一些意義不大的(因?yàn)閯e人認(rèn)為不必提及）成果，至少也是走科研道路的一個(gè)良好開(kāi)端，因此這種做法，既是理解主要定理的良好方法，也是走科研道路前的一個(gè)良好練兵，是值得提倡的。

這里所謂主要定理，是指教科書(shū)中的定理而言，教科書(shū)中的定理一般都經(jīng)受了數(shù)百年的考察，要想改動(dòng)或改進(jìn)，一般是比較難的，如果初學(xué)者不能改動(dòng)或改進(jìn)，這是正?，F(xiàn)象，不必強(qiáng)求，只要對(duì)主要定理反復(fù)琢磨，嘗試改進(jìn)便成了。曾經(jīng)有人說(shuō)過(guò)，你要學(xué)好數(shù)學(xué)分析，最好的辦法是，自己寫(xiě)一本數(shù)學(xué)分析，他的話也正是我們上面所說(shuō)的意思。因?yàn)閯?dòng)手寫(xiě)數(shù)學(xué)分析時(shí)，勢(shì)必要對(duì)數(shù)學(xué)分析里的定理仔細(xì)分析，考慮各定理的證明的安排，沒(méi)有這樣細(xì)致的考慮，對(duì)數(shù)學(xué)分析是難于學(xué)得透的。

這種對(duì)已知的主要定理（比較艱深的定理）的證明加以改動(dòng)或改進(jìn)，其困難程度一般不亞于探討著名難題，我們固然鼓勵(lì)前者，是否我們也鼓勵(lì)后者，鼓勵(lì)大家經(jīng)常去搞著名的未解決的難題呢？不，兩者本質(zhì)是不相同的。對(duì)已知主要定理的證明加以改動(dòng)，與對(duì)未解決難題的探討，兩者的工作是截然不同的。前者比較易做，做了以后得到很好的訓(xùn)練，因此即使初學(xué)者也是可以做而且應(yīng)該做的。但后者則不同，難度極大，要做的準(zhǔn)備工作非常多，即使有了充分準(zhǔn)備以后，如何下手也是很難預(yù)計(jì)的。因此對(duì)于沒(méi)有充分準(zhǔn)備的初學(xué)者，一般是不應(yīng)該盲目從高的。兩者本質(zhì)不同，不應(yīng)混淆。

在數(shù)學(xué)發(fā)展史中，始終貫串著幾個(gè)矛盾。如果掌握好這幾個(gè)矛盾，可以幫助我們更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。這幾個(gè)矛盾是，離散與連續(xù)的矛盾，以及有窮與無(wú)窮的矛盾，一般與特殊的矛盾。

我們不去定義這些名詞，但大家都在直觀上懂得這幾對(duì)矛盾指的是什么。

自然數(shù)是離散的，有理數(shù)雖到處稠密，但因?yàn)槊總€(gè)有理數(shù)都可表為兩整數(shù)的商（亦可表示為兩整數(shù)組成的數(shù)偶）；一般也看作離散的；直線上或曲線上的點(diǎn)是連續(xù)的，從而實(shí)數(shù)也是連續(xù)的（或說(shuō)實(shí)數(shù)組成連續(xù)統(tǒng))，因此研究自然數(shù)與有理數(shù)的算術(shù)以及初等代數(shù)，便是離散數(shù)學(xué)的代表，而研究直線曲線的幾何學(xué)，以及研究實(shí)數(shù)的數(shù)學(xué)分析，便是連續(xù)數(shù)學(xué)的代表。兩種數(shù)學(xué)都是源遠(yuǎn)流長(zhǎng)。但在古代，可以說(shuō)偏于離散方面，那怕是幾何學(xué)，基本上也是用處理離散的方式來(lái)處理的（歐氏幾何中的定理，幾乎全部可以不用連續(xù)性公理而導(dǎo)出）。等到近代，微積分興起了，發(fā)展成為數(shù)學(xué)分析這個(gè)分支，連續(xù)數(shù)學(xué)才突飛猛進(jìn)，成為數(shù)學(xué)的主流，但數(shù)理邏輯、抽象代數(shù)等的發(fā)展，仍然主要是沿著離散的方向。尤其是第二次世界大戰(zhàn)時(shí)電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，更使離散數(shù)學(xué)突出其重要性，要想把數(shù)學(xué)分析問(wèn)題用電子計(jì)算機(jī)來(lái)計(jì)算，必須先作出近似公式，把實(shí)數(shù)用有理數(shù)逼近，把求極限求導(dǎo)數(shù)等運(yùn)算化成加減乘除等有理運(yùn)算才成，可以說(shuō)，電子計(jì)算機(jī)不懂得連續(xù)數(shù)學(xué)，只懂得離散數(shù)學(xué)。由此可見(jiàn)，離散數(shù)學(xué)與連續(xù)數(shù)學(xué)無(wú)論就其發(fā)展來(lái)看，或就所處理的問(wèn)題來(lái)看，都是既是互相反對(duì)，又是彼此相輔相成的，代表著數(shù)學(xué)的兩大主流。

其次，有窮與無(wú)窮的問(wèn)題，不但在哲學(xué)上引起巨大的激烈爭(zhēng)論，在數(shù)學(xué)上也引起爭(zhēng)論，而且影響到數(shù)學(xué)的發(fā)展。歐幾里得的《幾何原本》中關(guān)于比例論的討論，實(shí)質(zhì)上便是使用了無(wú)窮集合，只是表面上避開(kāi)罷了。在古代，對(duì)數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，“無(wú)窮”只是從否定方面著眼，“不是有窮”，“其個(gè)數(shù)沒(méi)有上界”等等，這便是所謂潛在無(wú)窮論，把無(wú)窮集合看作生成中的東西，還未完成。但事實(shí)上，我們的確是有“完成了”的無(wú)窮集合，例如，直線段上的點(diǎn)集，便是無(wú)窮集。（無(wú)窮個(gè)點(diǎn)），而且是完成了的（已組成“線段”），不是生成中的（誰(shuí)人把“線段”看作：今日添一個(gè)點(diǎn)，明日再添一個(gè)點(diǎn)，如此永遠(yuǎn)添下去，但始終未完成的東西呢？）正是因?yàn)榫€段是已完成的無(wú)窮點(diǎn)集合，因此在幾何學(xué)上，不能不把點(diǎn)看作沒(méi)有大?。撮L(zhǎng)度）而只有位置的東西。姑且不論沒(méi)有大小的東西為何能占有位置，即就下列問(wèn)題而言，亦是使人們迷惑不解的：

（1）沒(méi)有長(zhǎng)度即長(zhǎng)度為 ，由長(zhǎng)度為 的點(diǎn)聚集起來(lái)，怎能構(gòu)成有長(zhǎng)度的線段呢？

（2）極易證明（一般人亦極易相信)，任何兩個(gè)有窮線段，其上的點(diǎn)都是一樣多的，同樣多的點(diǎn)怎樣能夠組成不同長(zhǎng)度的線段呢？

如此等等，足見(jiàn)無(wú)窮的問(wèn)題在數(shù)學(xué)中是不能不討論的，是不能回避的。的確，康托爾的無(wú)窮集合論出現(xiàn)以后，一方面引起數(shù)學(xué)界的極大爭(zhēng)論，另一方面也促使數(shù)學(xué)有極大的發(fā)展，這里我們不能多做討論了，只是順便說(shuō)一句，極限論的本質(zhì)在于把所謂無(wú)窮?。ㄒ约捌涞箶?shù)無(wú)窮大）化歸為有限數(shù)的數(shù)列，這是沿著潛在無(wú)窮論的方向而發(fā)展的，它很成功，解決了很多問(wèn)題。但以為極限論出現(xiàn)了，無(wú)窮的問(wèn)題也就解決了，無(wú)窮集合場(chǎng)可用潛在無(wú)窮論的觀點(diǎn)來(lái)處理了，那都是不對(duì)的，因?yàn)檫€有很多有關(guān)無(wú)窮集合的問(wèn)題是不能用極限論解決的。有窮與無(wú)窮的矛盾始終是數(shù)學(xué)上的一個(gè)大問(wèn)題，始終是推進(jìn)數(shù)學(xué)進(jìn)展的一大動(dòng)力。

現(xiàn)在再說(shuō)一般與特殊。數(shù)學(xué)是抽象的，也是一般的。數(shù)學(xué)的定理可以應(yīng)用于各種自然科學(xué)上，這便是它具有一般性的標(biāo)志。尤其是自從公理方法盛行以后，數(shù)學(xué)界更力求普遍，力求一般?，F(xiàn)在新的抽象系統(tǒng)越來(lái)越多，每一種新系統(tǒng)的出現(xiàn)，都或明言或暗示地說(shuō)，它是最一般的系統(tǒng)，可以包括所有已知的數(shù)學(xué)系統(tǒng)作為其特例。有些人甚至于說(shuō)，現(xiàn)在的數(shù)學(xué)界對(duì)于獲得一條一條的特殊定理沒(méi)有興趣，而著眼在獲得其有普遍性、一般性的定理。當(dāng)然也有人出來(lái)反對(duì)這種趨向。

其實(shí)，所謂一般與特殊，多少是相對(duì)的而不是絕對(duì)的，在數(shù)學(xué)中尤其如此。例如下面兩個(gè)等式：

（1）

（2）

到底誰(shuí)是特例誰(shuí)是一般呢？我們可以說(shuō)，(1)是（2）的特例(當(dāng) 時(shí)的特例)，但亦可以說(shuō)，（2）是（1）的特例，因 可以代表任何項(xiàng)，而 是一個(gè)二項(xiàng)式，它是“項(xiàng)”的特例。例如， , 便可以依照（1）而進(jìn)行（用 代入 去)，卻不能依照（2）而進(jìn)行，因不是二項(xiàng)式。在數(shù)學(xué)中，互為特例的例子非常多，很難說(shuō)誰(shuí)該是一般，誰(shuí)該是特例。目前提出很多新抽象系統(tǒng)，被說(shuō)成是很一般的系統(tǒng)的，其實(shí)在另一觀點(diǎn)之下，它們卻是已知系統(tǒng)的一個(gè)特例。由此可見(jiàn)，竭力追求一般之無(wú)謂了。

再舉一個(gè)例子，試考慮數(shù)論函數(shù)（它把自然數(shù)變成自然數(shù)）與字函數(shù)（它把 上的字變成 上的字，所謂 指具 個(gè)字母的字母表）。

如果把自然數(shù)看作孤一字母表 上的字，那么字函數(shù)是通例而數(shù)論函數(shù)是特例( 時(shí)的特例)。如果把 上的字看作采用(無(wú)零) 進(jìn)制時(shí)自然數(shù)的表達(dá)式（所謂 進(jìn)制數(shù)）,那么字函數(shù)討論的只是使用（無(wú)零） 進(jìn)制數(shù)時(shí)數(shù)論函數(shù)的具體形式，而數(shù)論函數(shù)則是不牽涉到數(shù)制時(shí)數(shù)論函數(shù)的性質(zhì)，顯然數(shù)論函數(shù)是通例而字函數(shù)是特例?，F(xiàn)在很多人采用前一觀點(diǎn)，認(rèn)為把數(shù)論函數(shù)推廣而成字函數(shù)，其實(shí)采用后一觀點(diǎn)更覺(jué)得自然而且能揭示問(wèn)題的本質(zhì)。不管采用哪個(gè)觀點(diǎn)，這里至少表明了：通例與特例并非是一成不變的，從而拼命地追求 “—般” 將不是很好的方向。

其次，即使明確無(wú)疑地肯定了誰(shuí)是一般，誰(shuí)是特殊，我們也不能只研究一般而忽視特殊。因?yàn)椤耙话恪笨偸潜容^抽象的，純粹從“一般”立論，給人的印象總不夠深刻，總難于理解透，如用具體例子(這是特殊)立論，至少舉出具體例子，人們的理解便深刻了；其次，一般總是從特殊抽象而得的,是從特殊而來(lái)的。只有熟悉特殊，才能產(chǎn)生問(wèn)題，才能給人指出新方向。不熟悉特殊而憑空從一般而立論，誠(chéng)然是既簡(jiǎn)潔又漂亮，但卻不能指出問(wèn)題，不能指出問(wèn)題的新方向。從物理天文等方面而引起的數(shù)學(xué)新問(wèn)題新方法，其數(shù)量之多質(zhì)量之高是盡人皆知的。如果當(dāng)初不與自然科學(xué)掛鉤，數(shù)學(xué)是難于發(fā)展成今天的樣子的。

最后，即使你對(duì)“一般”熟悉了，但要運(yùn)用到特例去，仍然是要費(fèi)一番氣力的。你如果對(duì)特例不熟悉，仍然無(wú)法運(yùn)用的。最具體的例子是，盡管在數(shù)學(xué)方面數(shù)學(xué)工作者比物理工作者熟悉得多，但應(yīng)用數(shù)學(xué)來(lái)解決物理問(wèn)題時(shí)，物理工作者都常常能夠根據(jù)物理問(wèn)題的性質(zhì)而懂得該選用怎樣的數(shù)學(xué)工具從而把問(wèn)題解決了，而數(shù)學(xué)工作者雖然熟悉各種各樣的數(shù)學(xué)工具，如果對(duì)物理問(wèn)題不清楚，往往無(wú)法選用適當(dāng)工具，問(wèn)題仍得不到解決。總之，把一般應(yīng)用于特殊時(shí)，除懂得一般外，也應(yīng)懂得特殊，強(qiáng)調(diào)一般而忽視特殊是不對(duì)的。

以上就數(shù)學(xué)有關(guān)的問(wèn)題說(shuō)了一些話，既無(wú)系統(tǒng)又沒(méi)有什么新見(jiàn)，只供讀者作參考而已。

作者簡(jiǎn)介：

莫紹揆（1917年8月13日-2011年10月14日），著名數(shù)學(xué)家，教授，是我國(guó)數(shù)理邏輯教育和研究的開(kāi)拓者之一。1917年生于廣西桂平縣。讀私塾兩年，小學(xué)四年，初高中各三年。1939年在前中央大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系畢業(yè)。后在前中央大學(xué)、中山大學(xué)數(shù)學(xué)系任助教及講師。從1947年起，赴瑞士洛桑大學(xué)、國(guó)立高等工業(yè)學(xué)校和法國(guó)巴黎大學(xué)留學(xué)，師從國(guó)際著名的數(shù)理邏輯大師貝爾奈斯(P．Bernays)，研究數(shù)理邏輯和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．1950年4月回國(guó)后，歷任南京大學(xué)副教授、教授，創(chuàng)建數(shù)理邏輯專(zhuān)業(yè)，并長(zhǎng)期擔(dān)任數(shù)理邏輯教研室主任。他在大學(xué)時(shí)即對(duì)數(shù)理邏輯發(fā)生濃厚興趣，自學(xué)羅素的《數(shù)學(xué)原理》。到瑞士留學(xué)后，隨貝爾奈斯學(xué)數(shù)理邏輯，回國(guó)后主要工作亦在數(shù)理邏輯方面。已發(fā)表學(xué)術(shù)論文60多篇，學(xué)術(shù)專(zhuān)著20多本，科普論文20余篇，涉及到數(shù)理邏輯的基礎(chǔ)理論以及遞歸論、集合論、證明論等方面，提出若干新的見(jiàn)解。出版的主要著作有《數(shù)理邏輯導(dǎo)論》、《遞歸函數(shù)論》、《算法論》、《數(shù)理邏輯教程》、《遞歸論》、《公理集合論》和《遞歸算術(shù)>等。另外還有出版的譯著《數(shù)理邏輯基礎(chǔ)》、《遞歸函數(shù)論》、《形式語(yǔ)言及其與自動(dòng)機(jī)的關(guān)系》等。其中《數(shù)理邏輯導(dǎo)論》及《遞歸函數(shù)論》兩本專(zhuān)著曾在1978年獲全國(guó)科學(xué)大會(huì)獎(jiǎng)；《數(shù)理邏輯教程》獲全國(guó)優(yōu)秀教材獎(jiǎng)，《質(zhì)點(diǎn)幾何學(xué)》獲全國(guó)城市出版社優(yōu)秀圖書(shū)一等獎(jiǎng)；學(xué)術(shù)論文《高級(jí)函詞與約束詞本質(zhì)》及《自然推理系統(tǒng)》曾獲1980年江蘇省科學(xué)獎(jiǎng)。

莫紹揆在數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)教育的園地上辛勤耕耘了50余年，艱苦創(chuàng)業(yè)，成績(jī)卓著，為他贏得了很高的榮譽(yù)。他的多項(xiàng)研究成果被載入一些國(guó)際著名的邏輯史專(zhuān)著中，他的許多論文受到了國(guó)內(nèi)外同行的重視與好評(píng)。他是我國(guó)第一批博士生導(dǎo)師，曾任中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)理事，中國(guó)邏輯學(xué)會(huì)副理事長(zhǎng)，江蘇省邏輯學(xué)會(huì)會(huì)長(zhǎng)、名譽(yù)會(huì)長(zhǎng)，《數(shù)學(xué)年刊》編委，《數(shù)學(xué)研究與評(píng)論》副主編，“現(xiàn)代數(shù)學(xué)叢書(shū)”編委。他還是美國(guó)“Associa－tion for symbolic logic”的成員，美國(guó)“Mathematical reviews”和德國(guó)“Zentralblattfr Mathematik”等雜志的評(píng)論員。