關(guān)于作者
戴維·A.蘇澤（David A.Sousa），教育學(xué)博士，國際教育順問。他曾在全國性的教育大會上進(jìn)行演講，并在數(shù)以百計的學(xué)區(qū)和美國、加拿大、歐洲、亞洲和澳大利亞等地的大學(xué)和學(xué)院中設(shè)立腦科學(xué)研究和科學(xué)教育的工作坊。
蘇澤博士在布里奇沃特的馬薩諸塞州立學(xué)院獲得化學(xué)學(xué)士學(xué)位，在哈佛大學(xué)獲得教育藝術(shù)的文科碩士學(xué)位，并在羅格斯大學(xué)獲得博士學(xué)位。他具有在各年級執(zhí)教的經(jīng)驗(yàn)，教授過高中科學(xué)，擔(dān)任過K-12的科學(xué)主任，并在新澤西州西奧蘭治的學(xué)校擔(dān)任過教育督導(dǎo)一職。后來，他成為新澤西州新普羅維登斯公立學(xué)校的負(fù)責(zé)人。他還是西頓霍爾大學(xué)的兼職教授、羅格斯大學(xué)的客座講師，1992年擔(dān)任美國國家員工發(fā)展委員會（National Staff Devclopment Council）主席。
前言
數(shù)字統(tǒng)治萬物。
——畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）
一、人人都能學(xué)數(shù)學(xué)
我們經(jīng)常聽到有孩子們叫嚷：“我不會數(shù)學(xué)”，卻從沒聽到有孩子說：“我不會說話！“為什么會有這樣的不同？
1.為什么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)這么難
學(xué)者們紛紛對這一乏善可陳的成績進(jìn)行解釋。有人說，學(xué)數(shù)學(xué)難是因?yàn)閿?shù)學(xué)太抽象，需要更多邏輯性和條理性的思維；有人說在數(shù)學(xué)中使用各種各樣的符號更像是在學(xué)外語。但教育評論家堅持認(rèn)為，只有少數(shù)學(xué)生真正缺乏解決數(shù)學(xué)問題的能力，而那些糟糕的表現(xiàn)主要是因?yàn)槿狈m當(dāng)?shù)慕逃?。他們認(rèn)為，所謂“數(shù)學(xué)戰(zhàn)爭”阻礙了數(shù)學(xué)課程開發(fā)的重大進(jìn)展，正如20世紀(jì)90年代的“閱讀戰(zhàn)爭”對閱讀教育的影響一樣。
2.數(shù)學(xué)教育者的回應(yīng)
2006年，NCTM發(fā)布了《課程焦點(diǎn)》（Curriculum Focal Points），這本書為從幼兒園到八年級的每個年級都設(shè)定了三個重要的數(shù)學(xué)主題，稱為“相關(guān)知識、技能和概念的銜接組塊”，這三個組塊為理解高級數(shù)學(xué)概念奠定了必要基礎(chǔ)。該書致力于將目前使用的各種不同版本的數(shù)學(xué)教材統(tǒng)一化，并為各州和地區(qū)從幼兒園到八年級的數(shù)學(xué)課程開發(fā)而設(shè)計更有針對性的課程規(guī)劃和教學(xué)評估提供了框架。這次新的嘗試能否促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，我們將拭目以待。與此同時，教師每天走進(jìn)教室時都要準(zhǔn)備好幫助他們的學(xué)生建立充分的信心，從而掌握數(shù)學(xué)原理和運(yùn)算。有件事似乎是可以肯定的：那些小時候數(shù)學(xué)學(xué)得不好的學(xué)生，他們在以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中仍然會表現(xiàn)不好。
二、關(guān)于本書
1.本書要回答的問題
- 什么數(shù)學(xué)能力是我們與生俱來的？
- 在沒有專門指導(dǎo)的情形下，孩子們能學(xué)到多少數(shù)數(shù)和基本計算的本領(lǐng)？
- 為什么亞洲的語言能使他們的孩子比說英語的孩子更早更快地學(xué)會數(shù)數(shù)？
- 什么樣的數(shù)詞體系能夠幫助說英語的孩子更快更容易地學(xué)會數(shù)數(shù)？
- 為什么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)對這么多學(xué)生來說如此困難？
- 當(dāng)前的研究對算術(shù)學(xué)習(xí)的日常課堂教學(xué)有什么啟示？
- 人腦是如何應(yīng)對抽象數(shù)學(xué)概念的？
- 哪些有效的策略能夠幫助有閱讀困難的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)？
- 對于表現(xiàn)出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的學(xué)生，我們?nèi)绾闻袛噙@種困難是環(huán)境因素所致還是發(fā)展性缺陷所致？
- 數(shù)學(xué)教師設(shè)計課程時應(yīng)該考慮哪些策略？
- 腦成像研究揭示的計算障礙的本質(zhì)是什么？
- 中小學(xué)教師如何準(zhǔn)確地鑒別數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的學(xué)生？
- 哪些教學(xué)策略對于幫助數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的學(xué)生最為有效？
- 教師如何將腦與數(shù)學(xué)的研究成果應(yīng)用于從學(xué)前到高中的數(shù)學(xué)教學(xué)方案的設(shè)計？
2.內(nèi)容提要
第一章——發(fā)展數(shù)感。兒童確定數(shù)量的能力在出生后不久開始形成。本章將剖析這種天生數(shù)感的成分，探討天生數(shù)感如何引導(dǎo)兒童數(shù)數(shù)和進(jìn)行基本的計算操作。本章將介紹協(xié)同工作并處理計算的腦區(qū)，以及語言是如何讓孩子更快地學(xué)會數(shù)數(shù)的。
第二章—學(xué)習(xí)計算。由于計算大數(shù)目并非生存的必備技能，因此人腦必須學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念和流程。本章深入探討了人腦理解數(shù)字關(guān)系和操作所必須歷經(jīng)的各個階段（比如，在學(xué)習(xí)乘法的過程中，人腦為什么會把學(xué)習(xí)乘法看成一種非自然的行為），并且提出了一些可能讓乘法教學(xué)變得更容易的方法。
第三章———回顧學(xué)習(xí)的基本要素。本章呈現(xiàn)了近年來認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)的一些發(fā)現(xiàn)，包括有關(guān)記憶系統(tǒng)、練習(xí)和復(fù)述的性質(zhì)與價值、課程時間安排和寫作在數(shù)學(xué)課堂上的益處等方面的研究。
第四章——教學(xué)齡前兒童學(xué)數(shù)學(xué)。雖然幼兒具有天生的數(shù)感，但一定的教學(xué)策略能夠增強(qiáng)這種能力，并能讓幼兒為以后更好地學(xué)習(xí)運(yùn)算做好準(zhǔn)備。本章提供了一些相關(guān)策略的建議。
第五章——教前青春期的學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)。我們在此觀察了前青春期少年的腦的發(fā)展和特點(diǎn)及其對個體情緒和理性行為的影響。本章為從小學(xué)到中學(xué)階段的教師如何根據(jù)在這個階段處于發(fā)展中的腦的特性修改課程計劃提供了建議，從而使更多的學(xué)生能夠成功地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。
第六章——教青春期學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)。與前一章類似，我們回顧了處于青春期的青少年的腦的特性，提出了應(yīng)該如何根據(jù)腦的需要修訂課程。其中包括對數(shù)學(xué)推理以及教學(xué)選擇的討論，比如對課程和組織圖進(jìn)行分層，這可能是一種能讓數(shù)學(xué)與今天的學(xué)生更相關(guān)的有效策略。
第七章——認(rèn)識和解決數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難。本章提出了大量建議，讓教師能夠識別并幫助學(xué)生克服數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到的困難，包括數(shù)學(xué)焦慮。本章討論了可能造成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的環(huán)境因素和發(fā)展因素之間的主要區(qū)別。本章還提出了一些測試策略，可供各年級教師幫助那些數(shù)學(xué)成績差的學(xué)生理解數(shù)字運(yùn)算，并對數(shù)學(xué)概念形成更為準(zhǔn)確和深刻的理解。
第八章——綜述：從學(xué)前到高中的數(shù)學(xué)課程規(guī)劃。什么是數(shù)學(xué)？我們?nèi)绾螌⑶懊嬲鹿?jié)所討論的重要發(fā)現(xiàn)應(yīng)用于日常實(shí)踐？本章提出了將此類研究整合進(jìn)數(shù)學(xué)課程規(guī)劃的建議，并呈現(xiàn)了適用于從學(xué)前到高中的數(shù)學(xué)教學(xué)的四步教學(xué)模式。
不要為你在數(shù)學(xué)上遇到的困難煩惱，我向你保證我在數(shù)學(xué)上遇到的困難要大得多。
——愛因斯埋（Albert Einstein）
認(rèn)識和解決數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難
是什么使得小孩學(xué)不好數(shù)學(xué)？答案很復(fù)雜，但是至少應(yīng)注意以下兩個方面:
（1）我們需要分清不理想的成績是由于指導(dǎo)不當(dāng)或其他環(huán)境因素，還是由于自身認(rèn)知能力不足引起的。
（2）數(shù)學(xué)到底是以什么方式被教授的？教學(xué)方法完全可以決定某種認(rèn)知缺陷是否真的是能力缺失。例如，一種教學(xué)方法強(qiáng)調(diào)概念的理解而不強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)過程和數(shù)學(xué)算式（NCTM，2000）。另一種教學(xué)方法，正如加利福尼亞州教育部的標(biāo)準(zhǔn)（Califomia Dxpartment of Elucation，1999）提到的，強(qiáng)調(diào)過程和算式。在第一種教學(xué)方法下，一個對提取數(shù)學(xué)算式有困難的學(xué)生不會被認(rèn)為是學(xué)習(xí)能力缺失，因?yàn)檫@種方法不強(qiáng)調(diào)記憶信息。然而在第二種教學(xué)方法下，這種困難將被認(rèn)為是嚴(yán)重的能力不足。
- 系統(tǒng)而明確的教學(xué)對兩組學(xué)生都有持續(xù)而重要的影響。
- 學(xué)生的有聲思維顯示出對接受特殊教育學(xué)生的有效性。
- 用形象化和圖表形式描述問題的策略對特殊教育學(xué)生存在普遍影響（0.50）。特別有趣的是，研究顯示形象化表述的明確性決定了該策略干預(yù)的有效性。在以下情形中，效應(yīng)量會更大：（1）教師呈現(xiàn)的圖表描述具有多種實(shí)例；（2）教師幫助學(xué)生選擇使用什么圖并解釋為什么；（3）教師讓學(xué)生用自己的圖表組織進(jìn)行實(shí)踐。
具體-描述-抽象（CRA）方法
在包含以不同認(rèn)知水平學(xué)習(xí)一個概念的多種案例的課堂上，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的學(xué)生能明顯受益。數(shù)學(xué)教育者已經(jīng)認(rèn)識到了研究所揭示的實(shí)質(zhì)，對數(shù)學(xué)概念最佳的表述順序是具體-繪圖-抽象（CPA）方法。該方法也被稱為具體-描述-抽象（CRA）或者具體-半具體-抽象（CSA）方法。無論是哪一種稱謂，其教學(xué)方法的本質(zhì)都類似，并都建立在布魯納（J.Bruner）20世紀(jì)60年代的工作基礎(chǔ)之上。
這里的具體主要包括演示物（例如，條形棒、泡沫海綿餅以及記號筆）、測量工具以及其他能讓學(xué)生在課堂上操作的物體。繪圖包括由學(xué)生繪制或者提供給學(xué)生閱讀和解釋的圖畫、流程、表格或曲線圖。抽象表示符號性的呈現(xiàn)，如學(xué)生為了展示對任務(wù)的理解寫出的數(shù)字或字母。
在使用CPA方法時，活動的順序是關(guān)鍵。首先進(jìn)行的是使用具體材料的活動，從而讓學(xué)生了解到數(shù)學(xué)運(yùn)算可以用于解決現(xiàn)實(shí)問題。圖形關(guān)系顯示了具體操作物的視覺呈現(xiàn)，并且?guī)椭鷮W(xué)生在問題解決的過程中將數(shù)學(xué)運(yùn)算形象化。在這里，重要的是教師要解釋圖形實(shí)例與具體實(shí)例是如何關(guān)聯(lián)的。最后是符號的規(guī)范表示，即用來展示符號是怎樣更簡潔和有效地表達(dá)數(shù)學(xué)運(yùn)算的。學(xué)生需要在他們已有的數(shù)學(xué)技能的基礎(chǔ)上熟練使用符號來達(dá)到最終的抽象水平。然面，這些符號的意義必須來源于具體物體的操作經(jīng)驗(yàn)。否則，他們進(jìn)行的符號運(yùn)算將會是對記憶程序毫無意義的機(jī)械重復(fù)。
CPA方法能讓所有學(xué)生獲益，但對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的學(xué)生特別有效，主要是因?yàn)樗侵饾u從具體的操作物到圖片再到符號（Jordan，Miller&Merccr，
1998）。這些學(xué)生常常在教師抽象性地陳述數(shù)學(xué)問題時感到挫敗。數(shù)學(xué)教師需要根據(jù)概念組織內(nèi)容并且進(jìn)行教學(xué)，以便學(xué)生能以有意義并且有效的方式進(jìn)行新內(nèi)容的學(xué)習(xí)。
實(shí)驗(yàn)研究證實(shí)了該方法的有效性。威策爾和他的同事對被鑒定為有代數(shù)學(xué)習(xí)困難的六、七年級學(xué)生進(jìn)行了研究。在解決代數(shù)轉(zhuǎn)化方程時，采用CPA方法的學(xué)生在之后的教學(xué)和測試中比接受常規(guī)教學(xué)的控制組同伴得分高。而且，使用CPA順序教學(xué)的學(xué)生在解決代數(shù)變量時所犯的程序性錯誤減少（Witzcl，Mcrcer&&Miller，2003）。
小學(xué)教師已經(jīng)認(rèn)識到在引人新概念時使用具體的和繪圖活動的重要性。然而，盡管認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)通過最新研究證明了CPA方法的有效性，但是該方法在中學(xué)以及高中課堂中并沒有得到廣泛運(yùn)用。也許是初高中教師認(rèn)為使用具體的操作物會讓學(xué)生覺得過于基礎(chǔ)，也許是課程的要求迫使教師為了節(jié)省時間而直接進(jìn)入抽象水平。
具體操作物和繪畫的呈現(xiàn)方式應(yīng)該在所有年級都使用。通過使用類似于CPA的認(rèn)知策略，教師給學(xué)生提供了一種處理數(shù)學(xué)問題的技巧而不只是尋求答案。這里給出一個從三種認(rèn)知水平呈現(xiàn)代數(shù)應(yīng)用題的例子。
過程助記法
過程助記法對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的學(xué)生之所以這么有效，是因?yàn)樗且环N有效的記憶手段，能夠讓大腦積極地參與到學(xué)習(xí)和記憶的基礎(chǔ)加工過程中。這種方法通過與學(xué)生相關(guān)的比喻將意義整合進(jìn)來，更能吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的興趣，并且使用形象化技巧幫助學(xué)生建立起了抽象符號與具體事物之間的聯(lián)系。
對于數(shù)學(xué)教學(xué)的建議：
- 每個人都有數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，這是我們與生俱來的。
·沒有意義的機(jī)械學(xué)習(xí)阻礙數(shù)學(xué)知識的實(shí)際應(yīng)用。 - 當(dāng)數(shù)學(xué)知識對學(xué)習(xí)者來說能夠理解并且有意義時，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)會變得容易。
- 當(dāng)學(xué)習(xí)者能夠?qū)?shù)學(xué)操作與概念相聯(lián)系去解決現(xiàn)實(shí)世界中的問題時，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)將會變得容易。
- 談?wù)摂?shù)學(xué)知識和寫作會加深學(xué)習(xí)并有助于回憶。
- 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)涉及從具體到表征到抽象的過程。
- 人們用不同的方法學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。
