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研究問(wèn)題：

在文本T中找到某個(gè)模式P所出現(xiàn)的位置。
定義文本是一個(gè)長(zhǎng)為 n 的數(shù)組T[0..n-1]，而模式P是一個(gè)長(zhǎng)為 m 的數(shù)組P[0..m- 1],m≤n
并且若T[s..s+(m-1)]=P[0..(m-1)]則稱(chēng)模式P在T中出現(xiàn)且偏移為 s (P在文本T中的位置是從第 s+1 個(gè)開(kāi)始的)

常見(jiàn)算法的時(shí)間：

算法	預(yù)處理時(shí)間	匹配時(shí)間
樸素算法	0	O((n-m+1)m)
Rabin-Karp	$\Theta$ (m)	O((n-m+1)m)
有限自動(dòng)機(jī)算法	O(m\| $\Sigma$ \|)	$\Theta$ (n)
Knuth-Morris-Pratt	$\Theta$ (m)	$\Theta$ (n)

樸素算法

對(duì) n-m+1 個(gè)可能的 s 值做檢測(cè)，看是否滿(mǎn)足T[s..s+(m-1)]=P[0..(m-1)]

實(shí)現(xiàn)代碼：

int naiveStringMatcher(string T, string P){
    int n = T.length();
    int m = P.length();
    for (int s = 0; s < n - m; s++){
        int i;
        for (i = 0; i < m; i++){
            if (T[s + i] != P[i])
            break;
        }
        if (i == m) return s; //返回下標(biāo)s
    }
    return -1; //這里找不到合適的值就返回-1
}

最壞情況下，運(yùn)行時(shí)間為 O((n-m+1)m) 如果 m=floor(n/2.) 則運(yùn)行時(shí)間為 $\Theta(n^2)$

Rabin-Karp 算法

Rabin-Karp 算法的預(yù)處理時(shí)間是 $\Theta$ (m)，最壞情況下運(yùn)行時(shí)間是O((n-m+1)m），但是平均運(yùn)行時(shí)間比較快。

對(duì)于每個(gè)字符串，可以用長(zhǎng)度為 k 的十進(jìn)制數(shù)來(lái)表示由 k 個(gè)連續(xù)的字符組成的字符串，例如字符串31415可以對(duì)應(yīng)十進(jìn)制數(shù)31415。給定一個(gè)模式 P[0..(m-1)]，假設(shè) p 表示其十進(jìn)制值，對(duì)應(yīng)的文本 T[0..(n-1)]中，假設(shè) $t_s$ 表示長(zhǎng)度為 m 的子字符串 T[s..(s+m-1)] 的十進(jìn)制值，當(dāng)且僅當(dāng) P[0..(m-1)]=T[s..(s+m-1)] 時(shí)，有 p= $t_s$ 。如果能在時(shí)間 $\Theta$ (m) 內(nèi)計(jì)算出 p 值，并在總時(shí)間 O(n-m+1) 內(nèi)計(jì)算出所有 $t_s$ 值，那么通過(guò)比較所 p 和所有 $t_s$ 值就可以在 $\Theta$ (n) 時(shí)間內(nèi)計(jì)算出所有偏移 s 。

p 可以運(yùn)用霍納法則在 $\Theta$ (m) 時(shí)間內(nèi)計(jì)算得到：
$p = P[m]+10(P[m-1]+10(P[m-2]+...+10(P[2]+10P[1])))$

$t_s$ 可以迭代得到，因?yàn)椋?br> $t_{s+1} = 10(t_s-10^{m-1}T[s+1])+T[s+m+1]$
每次去掉高位數(shù)字，然后乘以10，再加上低位數(shù)字。

到目前為止的問(wèn)題是 p 和 $t_s$ 的值可能過(guò)大，因此可以選取一個(gè)合適的模 q 來(lái)計(jì)算 p 和 $t_s$ 的模，我們可以在 $\Theta$ (m) 時(shí)間內(nèi)計(jì)算出模 q 的 p 值，并且可以在 $\Theta$ (n-m+1) 時(shí)間內(nèi)計(jì)算出模 q 的所有 $t_s$ 值。

遞推式：

$t_{s+1} = (d(t_s-T[s+1]h)+T[s+m+1])\ mod\ q$
d為字母表{0, 1, ..., d-1}的進(jìn)制， $t_s \equiv d^{m-1}\ (mod\ q)$ 是一個(gè)具有 m 數(shù)位的文本窗口的高位數(shù)位上的數(shù)字“1”的值。

但是， $t_s \equiv p\ (mod\ q)$ 并不能說(shuō)明 $t_s = p$ ，反之若 $t_s \neq p\ (mod\ q)$ ，則一定有 $t_s \neq p$ 。求余的結(jié)果可以用于快速檢測(cè)無(wú)效偏移 s，但是對(duì)于有效偏移，還需要重新對(duì)該偏移逐個(gè)檢測(cè)，否則就是一個(gè)偽命中點(diǎn)。

實(shí)現(xiàn)代碼：

int mod(int a, int b){ //求余運(yùn)算
    return (a % b >= 0) ? (a % b) : (a % b + b);
}

void RabinKarpMatcher(string T, string P, int d, int q){
    int n = T.length();
    int m = P.length();
    int h = int(pow(d, m - 1)) % q;
    int p = 0;
    vector<int> t(n - m + 1, 0);
    for (int i = 0; i < m; i++){   // processing 
        p = mod((d * p + P[i]), q);
        t[0] = mod((d * t[0] + T[i]), q);
    }
    for (int s = 0; s <= n - m; s++){  // matching
        if (p == t[s]){
            if (P == T.substr(s, m))
                cout << "s: " << s << endl;
            else
                cout << "error match!" << endl;
        }
        if (s < n - m)
            t[s + 1] = mod((d * (t[s] - T[s] * h) + T[s + m]), q);
    }
}

如果模 q=11，那么當(dāng) Rabin-Karp 算法在文本 T = 3141592653589793 中尋找模式 P = 26 時(shí)，會(huì)遇到 3 個(gè)偽命中點(diǎn)。即 RabinKarpMatcher(T, P, 10, 11) 時(shí)，會(huì)遇到3個(gè) error match！

有限自動(dòng)機(jī)算法

有限自動(dòng)機(jī)是一個(gè)處理信息的簡(jiǎn)單機(jī)器，通過(guò)對(duì)文本字符串 T 進(jìn)行掃描，找出模式 P 的所有出現(xiàn)位置。這些字符串匹配的自動(dòng)機(jī)只對(duì)文本字符檢查一次，并且檢查每個(gè)字符的時(shí)間為常數(shù)，因此模式預(yù)處理和建立自動(dòng)機(jī)的時(shí)間為 $\Theta(n)$ 。但是如果字符集 $\Sigma$ 很大的話(huà)，建立自動(dòng)機(jī)的時(shí)間也較多。

有限自動(dòng)機(jī)的定義：

一個(gè)有限自動(dòng)機(jī)是5個(gè)類(lèi)型的元組： $(Q,\ q_0,\ A,\ \Sigma,\ \delta)$
$Q$ 是狀態(tài)的有限集合
$q_0\in Q$ 是初始狀態(tài)
$A\subseteq Q$ 是一個(gè)特殊的接受狀態(tài)集合
$\Sigma$ 是有限輸入字母表
$\delta$ 是一個(gè)從 $Q \times \Sigma$ 到 $Q$ 的函數(shù)，稱(chēng)為M的轉(zhuǎn)移函數(shù)

為了便于說(shuō)明給定模式 P[0...(m-1)] 的字符串匹配自動(dòng)機(jī)，定義一個(gè)輔助函數(shù) $\sigma$ ，稱(chēng)為對(duì)應(yīng) P 的后綴函數(shù)。其中 $\sigma(x)$ 是 $x$ 的后綴 P 的最長(zhǎng)前綴的長(zhǎng)度。
$\sigma(x) = max\{k:\ P_k\sqsupset x\}$
對(duì)于模式 P=ab，有 $\sigma(\varepsilon)=0$ ， $\sigma(ccaca)=1$ , $\sigma(ccab)=2$ 。
給定模式 P[0..(m-1)]，相應(yīng)的字符串匹配自動(dòng)機(jī)定義如下：
1)狀態(tài)集合Q為{0, 1, ..., m}。開(kāi)始狀態(tài) $q_0$ 是0狀態(tài)，并且只有狀態(tài)m是唯一被接受的狀態(tài)。
2)對(duì)任意的狀態(tài)q和字符a，轉(zhuǎn)移函數(shù) $\delta$ 定義如下：
$\delta(q,a)=\sigma(P_qa)$

一個(gè)自動(dòng)機(jī)的例子：

輸入模式 P = ababaca，長(zhǎng)度為7個(gè)字符，因此有狀態(tài)0, 1, ..., 7，假設(shè)字母表為{a, b, c}
則有:
$\delta(0,a)=\sigma(P_0a)=\sigma(a)=1$
$\delta(0,b)=\sigma(P_0b)=\sigma(b)=0$
$\delta(0,c)=\sigma(P_0c)=\sigma(c)=0$
$\delta(1,a)=\sigma(P_1a)=\sigma(aa)=1$
$\delta(1,b)=\sigma(P_1a)=\sigma(ab)=2$
$\delta(1,c)=\sigma(P_1a)=\sigma(ac)=0$
...
$\delta(6,a)=\sigma(P_6a)=\sigma(ababaca)=7$

因此可以有如下字符串匹配的狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖：

狀態(tài)	a	b	c
0	1	0	0
1	1	2	0
2	3	0	0
3	1	4	0
4	5	0	0
5	1	4	6
6	7	0	0
7	1	2	0

其中狀態(tài)7是僅有的接受狀態(tài)

實(shí)現(xiàn)代碼：

vector<vector<int>> computeTransFunc(string P, int len){  //預(yù)處理，計(jì)算delta
    int m = P.size();
    vector<int> temp(len, 0);
    vector<vector<int>> delta(m + 1, temp);
    for (int q = 0; q <= m; q++){
        int k;
        for (int a = 0; a < len; a++){  // 遍歷字母表，這里是數(shù)字0到(len-1),如果是小寫(xiě)字母，可以通過(guò)-'a'操作得到對(duì)應(yīng)的0到25
            string Pqa = P.substr(0, q) + to_string(a);
            k = (m + 1 <= q + 2) ? (m + 1) : (q + 2);
            string Pqasub = Pqa;  
            //這里借助一個(gè)Paqsub來(lái)存儲(chǔ)Pqa串的長(zhǎng)度為k的后綴，因?yàn)閗可能大于Pqa.size()，直接調(diào)用Pqa.substr(Pqa.size()-k)會(huì)報(bào)錯(cuò)
            do {
                k--;
                int lenPqa = Pqa.size() - k;
                Pqasub = (lenPqa >= 0) ? Pqa.substr(lenPqa) : Pqa;
            } while (P.substr(0, k) != Pqasub);  // k--直到P的k前綴是Pqa的后綴為止，循環(huán)必然會(huì)停止，因?yàn)榭沾侨魏巫址暮缶Y
            delta[q][a] = k;
        }
    }
    return delta;
}
void finiteAutomationMatcher(string T, vector<vector<int>> delta, int m){  //匹配過(guò)程
    //m是唯一接受狀態(tài)，例如上面例子中的7
    int n = T.size();
    int q = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++){
        q = delta[q][T[i] - '0'];
        if (q == m)
            cout << "Pattern occurs with shift" << i + 1 - m << endl;
    }
}
int main(){
    string T("0201010102010");
    string P("0101020");
    vector<vector<int>> delta = computeTransFunc(P, 3);
    finiteAutomationMatcher(T, delta, 7);
    return 1;
}

本算法需要O(m| $\Sigma$ |)的預(yù)處理時(shí)間以及 $\Theta$ (n)的匹配時(shí)間。

Knuth-Morris-Pratt算法

本算法無(wú)需計(jì)算 $\delta$ ，匹配時(shí)間也同樣是 $\Theta$ (n)，只需要用到一個(gè)輔助函數(shù) $\pi$ ，它在 $\Theta$ (m)時(shí)間內(nèi)根據(jù)模式預(yù)先計(jì)算出來(lái)，并存儲(chǔ)在數(shù)組 $\pi[0..(m-1)]$ 中。
模式的前綴函數(shù) $pi$ 包含模式與其自身的偏移進(jìn)行匹配的信息。這些信息可以用于在樸素的字符串匹配算法中避免對(duì)無(wú)用偏移進(jìn)行檢測(cè)，也可以避免在字符串匹配自動(dòng)機(jī)中，對(duì)整個(gè)轉(zhuǎn)移函數(shù) $\delta$ 的預(yù)先計(jì)算。如果q個(gè)字符已經(jīng)匹配成功，那么可以根據(jù)這q個(gè)已知的字符，我們能夠立即確定某些偏移是無(wú)效的。

一個(gè)例子：

對(duì)于模式P=ababaca，目前已經(jīng)在T中匹配到了ababa，q=5個(gè)字符已經(jīng)匹配成功，同時(shí)發(fā)現(xiàn)T中的下一位不匹配。根據(jù)5個(gè)匹配字符的有用信息，這里我們發(fā)現(xiàn) $P_3$ (aba)是P(ababaca)的最長(zhǎng)前綴的同時(shí)，也是 $P_5$ (ababa)的一個(gè)真后綴，即 $\pi[5]=3$ 。在偏移s有q個(gè)字符成功匹配，則下一個(gè)可能有效的偏移為 $s'=s+(q-\pi[q])$ 。

函數(shù)定義：

已知一個(gè)模式P[0..(m-1)]，模式P的前綴函數(shù)是函數(shù) $\pi:\ \{0,1,..,m-1\}\rightarrow\{0,1,..,m-1\}$ ,滿(mǎn)足
$\pi[q]=max\{k:k<q\ and\ P_k \sqsupset P_q \}$
即 $\pi[q]$ 是 $P_q$ 的真后綴P的最長(zhǎng)前綴長(zhǎng)度。

具體程序?qū)崿F(xiàn)：

vector<int> computePrefixFunc(string P){
    int m = P.size();
    vector<int> pi(m, 0);
    pi[0] = -1;
    int k = -1;
    for (int q = 1; q <= m - 1; q++){
        while (k > -1 && P[k + 1] != P[q])
            k = pi[k];
        if (P[k + 1] == P[q])
            k++;
        pi[q] = k;
    }
    return pi;
}
void kmpMatcher(string T, string P){
    int m = P.size();
    int n = T.size();
    vector<int> pi = computePrefixFunc(P);
    int k = -1;
    for (int i = 0; i < n; i++){
        while (k >-1 && P[k + 1] != T[i])//ptr和str不匹配，且k>-1（表示P和T有部分匹配）
            k = pi[k];//往前回溯
        if (P[k + 1] == T[i])
            k = k + 1;
        if (k == m - 1){ //說(shuō)明k移動(dòng)到ptr的最末端
            cout << i - m + 1 << endl;//返回相應(yīng)的位置
        }
    }
}
int main()
{
    string T("0201010102010");
    string P("0101020");
    kmpMatcher(T, P);
｝

該算法的預(yù)處理時(shí)間減少為 $\Theta(m)$ ，匹配時(shí)間為 $\Theta(n)$

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32.字符串匹配

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