機(jī)械能守恒by莊鑫鑫

第七講：機(jī)械能守恒定律

數(shù)學(xué)符號(hào)

滑動(dòng)摩擦系數(shù)為 \mu

對(duì)應(yīng)的代碼為
$\mu$

知識(shí)點(diǎn)

  • 勢(shì)能

    • 重力勢(shì)能： E_p=mgz
    • 彈性勢(shì)能：E_p =\frac{1}{2}kx^2
    • 萬(wàn)有引力勢(shì)能：E_p =-\frac{GMm}{r}

  • 保守力的功 只與運(yùn)動(dòng)物體的始，末位置有關(guān)，與路徑無(wú)關(guān)。

    • 直觀感受：

      • 保守力做功，將使得機(jī)械能在各物體之間轉(zhuǎn)移，而無(wú)增減。
      • 外力對(duì)系統(tǒng)做功，系統(tǒng)機(jī)械能增加。
      • 內(nèi)部摩擦力做功，系統(tǒng)機(jī)械能減少。

    • 保守力包括：

    • 重力的功：W=mgz_{初}-mgz_{末}

    • 彈性的功：W=\frac{1}{2}kx^2_A-\frac{1}{2}kx^2_B

    • 萬(wàn)有引力的功：W=(-\frac{GMm}{r_A})-(-\frac{GMm}{r_B})

  • 機(jī)械能守恒定律

    • 條件：外力與內(nèi)部摩擦力對(duì)系統(tǒng)做總功為零

    • 合外力為零，機(jī)械能守恒嗎？請(qǐng)舉出反例。
      IMG_20190306_214314.jpg

  • 機(jī)械能不守恒的處理

例題

  • 例1.

    如圖所示。M處于彈簧原長(zhǎng)度處，手托著m，使得繩子處于蹦緊狀態(tài)，整個(gè)系統(tǒng)靜止。現(xiàn)在松手，讓m下降x的距離。求m的速度v(x)。

g4280.png
  • 若不計(jì)摩擦力，請(qǐng)從功能的角度，分析能量的轉(zhuǎn)移，并列出能量轉(zhuǎn)移方程。
  • 若滑動(dòng)摩擦系數(shù)為\mu，請(qǐng)從功能的角度，并分析能量轉(zhuǎn)移方程。

解答：（1）m減少的的重力勢(shì)能=M和m的動(dòng)能+彈簧的彈性勢(shì)能
mgx=\frac{1}{2}(M+m)v^2+\frac{1}{2}kx^2
v(x)=\sqrt{\frac{2mgx-kx^2}{M+m}}
(2)m減少的的重力勢(shì)能=M和m的動(dòng)能+彈簧的彈性勢(shì)能+摩擦產(chǎn)生的熱能
mgx=\frac{1}{2}(M+m)v^2+\frac{1}{2}kx^2+\mu Mgx
v(x)=\sqrt{\frac{2mgx-kx^2-\mu Mgx}{M+m}}

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