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群，起源于人們對方程解析解的探索。在發(fā)展了幾百年的今天，群論不僅在數(shù)學領(lǐng)域大放異彩，也成為物理量子力學的基礎(chǔ)、幾何化學的重要工具、計算機算法的本質(zhì)載體。對群論的研究，會讓人在高等代數(shù)的基礎(chǔ)上拓展視野，擁有更為深刻的世界觀。從本節(jié)開始，我們將逐步研究群及其演化而得的環(huán)等數(shù)學對象，一起來認識一個有趣的代數(shù)世界吧！

依據(jù)北航離散2代數(shù)系統(tǒng)部分知識整理而成

一、半群

在認識群之前，首先借用半群的概念來過渡，請允許我賣一個小小的關(guān)子，因為這樣逐步搭建的理論體系，有助于更好的理解群的各項性質(zhì)。

什么是半群

想必大家對于“代數(shù)系統(tǒng)”這個詞相當熟悉，能夠成為系統(tǒng)必定是一個相對獨立的整體，因此代數(shù)系統(tǒng)指的是 集合+運算 ，其中，運算表示的是一個定義在該集合上的代數(shù)運算（封閉），一般的代數(shù)系統(tǒng)可以包含多個代數(shù)運算。代數(shù)系統(tǒng)也簡稱為代數(shù)。

所謂半群，其本質(zhì)是一個代數(shù)系統(tǒng)，不同的是，它是一個建立在單個代數(shù)運算上的概念。

半群與交換半群

對代數(shù)系統(tǒng) $<S,*>$ ，若對任意 $a,b,c\in S$ 有： $(a*b)*c=a*(b*c)$ ，則稱 $<S,*>$ 為半群；若還滿足 $a*b=b*a$ ，則稱為交換半群。

一句話概括即為：滿足結(jié)合律的代數(shù)系統(tǒng)為半群，特別的，如果還滿足交換律，則稱為交換半群，這類例子隨處可見就不舉遼。

幺半群（獨異點）

若 $<S,*>$ 存在單位元 $e\in S$ ，對任意的 $a\in S$ 有 $a*e=e*a=a$ ，則 $<S,*,e>$ 稱為獨異點或幺半群。

其實就是再說是否存在單位元的問題，線性映射中，單位映射 $I$ 就是滿足條件的單位元。

半群的性質(zhì)

性質(zhì)1：有限半群一定存在冪等元

若 $<S,*>$ 是一個半群，如果S有限，則必存在 $a\in S$ 使得 $a*a=a$ .

存在問題可以用反證法，假設(shè)沒有冪等元，很容易推出對任意的n， $a^i,i\in N*$ 中沒有任何一個數(shù)是相等的，做一個 $a^i->i$ 的映射，因為正整數(shù)集無限，因此S無限，這樣就證明了。

性質(zhì)2： $<S,*,e>$ 為獨異點或幺半群，則關(guān)于 $*$ 運算的運算表中，任何兩行或兩列都不相同。

證明：全稱命題同樣可以借助反證法，即假設(shè)存在兩行或兩列相同，會出現(xiàn)什么？假設(shè)是 $\{a,b,c,e\}$ 是這個幺半群的定義域（互不相等），即存在兩個元素對應(yīng)的運算結(jié)果一樣，設(shè)為 $x_1,x_2$ ，那肯定這倆元素都要跟單位元運算，有：
$x_1=x_1*e=x_2*e=x_2$
但事實上根據(jù)集合互異性，這二者不可能相等，這就是矛盾所在。

一個典型的例子就是克萊恩四元群，其運算表如下：

克萊恩四元群

半群之間有什么關(guān)系

半群同態(tài)

$<S,*>,<T,\cdot>$ 是兩個半群，若存在一個映射 $\phi:S\rightarrow T$ ，對任意的 $a,b\in S$ ，都有 $\phi(a*b)=\phi(a)\cdot \phi(b)$ ，則稱 $\phi$ 是半群同構(gòu)。特別的， $\phi$ 是滿射，則稱為半群滿同態(tài)；如果是一一映射，則稱為半群同構(gòu)；如果S和T是同一個集合，則稱為自同態(tài)（自同構(gòu)）。

同態(tài)和同構(gòu)的區(qū)別就是映射是否是雙射。同態(tài)是松散的映射，最典型的是向零的映射，即陪集（包含函數(shù)值域的集合）中只有0，那不管怎么樣映射都封閉，所以盡管同態(tài)有是一個較好的性質(zhì)，但有時候也然并卵。

半群導出定理

設(shè) $<S,*>$ 是一個半群， $<T,\cdot>$ 是一個代數(shù)系統(tǒng)，如果存在一個同態(tài)滿射 $\phi:S\rightarrow T$ ，則后者也是半群。

證明：只需要滿足結(jié)合律即可，所謂滿射了，即任何一個T中的元素都能對應(yīng)到S中的一個元素，然后借助 $\phi$ 轉(zhuǎn)換一下運算即可證明。該定理其實在闡述同態(tài)的本質(zhì)：結(jié)構(gòu)相似，這也是為什么同臺關(guān)系可以用 $\sim$ 表征，而同構(gòu)可以用 $\cong$ 表示。

有了半群關(guān)系，也自然可以稍微拓展一下半群的性質(zhì)

性質(zhì)3：與幺半群滿同態(tài)的代數(shù)系統(tǒng)也是幺半群，且單位元映射到單位元。

證明：其實只需證明單位元之間的映射即可，而借助單位元性質(zhì)也很好證明，此處略去。

從本條性質(zhì)發(fā)現(xiàn)，同態(tài)在描述抽象性質(zhì)上有很大作用。

性質(zhì)4：同態(tài)關(guān)系滿足自反性和傳遞性，且保持交換律和分配律

特殊的半群

商半群

對半群 $<S,*>$ ，若R是S上的等價關(guān)系，則稱 $<S/R,\oplus>$ 為 $<S,*>$ 的商半群，運算 $\oplus$ 為 $*/R$ 。

即半群 $<S,*>$ 的商半群為這樣的半群：其定義域為S的剩余類，運算為剩余類加法。

性質(zhì)：半群與它的商半群滿同態(tài)

其實建立一個映射： $\phi(a)\rightarrow [a]_R$ 即可證明

半群直積

設(shè) $<S,*>,<T,\odot>$ 是兩個半群，其上的代數(shù)系統(tǒng)直積 $<S\times T,\otimes>$ ，其中 $\times$ 是笛卡爾積，而 $\otimes$ 定義為： $a_1,a_2\in S,b_1,b_2\in T,(a_1,b_1)\otimes(a_2,b_2)=((a_1*a_2),(b_1\odot b_2))$ 稱為半群直積

性質(zhì)

半群直積也是半群（其實只是將兩個半群形式上結(jié)合而已，類似矩陣并行計算）

交換半群的直積也是交換半群

幺半群同理，且其獨異點（單位元）是兩個半群單位元的直積

有零元的半群直積的零元是兩個半群零元的笛卡爾積

有逆元的半群直積的逆元是兩個半群逆元的笛卡爾積

二、群

什么是群

設(shè)G是一個非空集合， $\times$ 是二元代數(shù)運算，如果滿足以下條件：

代數(shù)運算 $\times$ 滿足結(jié)合律
G中有左單位元e
對G中每個元素a，都有左逆元 $a^{-1}$ 使得 $a^{-1}*a=e$

則稱G對代數(shù)運算 $\times$ 成為一個群

有逆元的獨異點即是群

群 $\subset$ 獨異點 $\subset$ 半群 $\subset$ 代數(shù)系統(tǒng)

群的分類

只含有單位元的群稱為平凡群。

給定群 $<G,\times>$ ，若 $\times$ 滿足交換律，則稱其為可交換群，或Abel群。

若集合G是無窮的，則稱為無窮群。

給定群 $<G,\times>$ ，若G是有限集，則稱 $<G,\times>$ 是有限群。 $|G|$ 表示群的階。

元素的階

$|a|=k$ ，則k是使得 $a^k=e$ 成立的最小正整數(shù)k，若這樣的k不存在，則成元素的階為無限。

在我們的群中，群的階為群中元素總數(shù)，而群元素的階，則等于其周期。因此，無限群中的元素的階可能無限也可能是有限的。

定理1：有限群元素的階一定是有限階

定理2：若群G中元素a的階是n，則若有m，使得 $a_m=e$ 當且僅當 $n|m$

定理3：有限群中元素階數(shù)小于群的階數(shù)

只需從代數(shù)運算的封閉性的角度證明即可。

定理4：若群中元素a的階為n，則 $|a^k|=n/(n,m)$ ，其中k是任意整數(shù)， $(n.k)$ 表示最大公約數(shù)

證明：設(shè) $(n,k)=d$ ，有 $n=dn_1,k-dk_1,且(n_1,k_1)=1$ （互質(zhì)）。有：
$(a^k)^{n_1}=a^{kn_1}=a^{dk_1n_1}=a^{dn_1k_1}=a^{nk_1}=e$
設(shè) $(a^k)^m=a^{km}=e$ ，則根據(jù)定理2有 $n|km$ ，則有 $dn_1|dk_1m$ ，即 $n_1|k_1m$ ，而 $(n_1,k_1)=1$ ，因此 $n_1|m$ ，所以有 $|a^k|=n_1=n/(n,k)$ .

群的性質(zhì)

性質(zhì)1：群的左單位元也是有單位元，單位元唯一

這條性質(zhì)容易證明，只需從左右單位元入手即可，關(guān)鍵在于，這條性質(zhì)闡明了群的定義是以“充要條件”為方針，因此只將左單位元納入定義中。

性質(zhì)2：群中元素的左逆元也是右逆元，逆元唯一

證明：先設(shè) $a^{-1}$ 是 $a$ 的左逆元，即 $a^{-1}a=e$ ，只需證 $aa^{-1}$ =e。設(shè) $a^{-1}$ 的左逆元為 $a'$ ，則有 $a'a^{-1}=e$ ，因此
$(a'a^{-1})(aa^{-1})=e(aa^{-1})=aa^{-1}\\ (a'a^{-1})(aa^{-1})=(a'a^{-1}aa^{-1})=a'ea^{-1}=a'a^{-1}=e$
因此， $aa^{-1}=e$ ，于是證明了左逆元等于右逆元。下證唯一性，設(shè)另一個逆元為 $a''$ ，則 $a'=a'e=a'aa''=ea''=a''$ ，證畢。

性質(zhì)3（消去律）： $若ax=ax'，則x=x'$ ； $若xa=x'a，則x=x'$ .

該性質(zhì)是由左右逆元相等的性質(zhì)導出的。

性質(zhì)4（唯一解）：群 $<G,\times>$ ，對任意 $a,b\in G$ 必存在唯一 $x\in G$ 使得方程 $ax=b,xa=b$ 成立.

證明：存在性。對任意的a，有 $a^{-1}\in G,a^{-1}b\in G$ ，令 $x=a^{-1}b$ ，則 $ax=a(a^{-1}b)=b$ 。

唯一性。設(shè)有另一個 $x'\in G$ 使得 $ax'=b$ ，則有 $x'=(a^{-1}a)x'=a^{-1}(ax')=a^{-1}b=x$ .

同理可證 $xa=b$ ，證畢。

該定理其實在闡述“除法”。需要注意的是，這里 $ax=b,xa=b$ 兩種解是不同的，這也是由于群不具有普適的交換律（逆元間有交換律）。

性質(zhì)5：群中只有單位元是冪等元。

證明：設(shè)另有 $a$ 為冪等元，即 $aa=a$ ，則有 $e(aa)=aa,e(aa)=ea,因此aa=ea,a=e$ （消去律）。

意思是，群中冪等元唯一，而半群中冪等元可能不唯一，這取決于各元素的階。

性質(zhì)6：群的運算表中，每一行每一列都是群元素的雙射

證明：雙射即單射和滿射，由于每一行或每一列元素個數(shù)一樣，所以該性質(zhì)的意思即為任意一行或一列內(nèi)沒有相同的元素。

設(shè)某 $i$ 行中的兩個不同列 $j,k$ 上的元素相同，即
$a_{ij}=a_ia_j,a_{ik}=a_ia_k,a_{ij}=a_{ik}\in G\rightarrow a_j=a_k$
這就導致定義域集合不滿足互異性，矛盾，得證。

性質(zhì)7： $(a^{-1})^{-1}=a$ ， $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ .

三、半群與群

在詳細討論了半群與群的定義、性質(zhì)及其他基礎(chǔ)概念性質(zhì)之后，如何劃分二者界限，或者說二者有什么關(guān)系，是我們關(guān)心的問題，否則介紹半群就意義不大了。

定理1：對半群G，若對任意 $a,b\in G$ ，方程 $ax=b,xa=b$ 在G中有解，則G為群

證明：重溫上述半群和群的定義，可見差的就是單位元和逆元，因此只需要證明G中存在單位元和逆元即可。

對 $a\in G$ ，有 $ax=a$ 成立有解，設(shè)該解為 $e,e\in G$ ；對 $b\in G$ ， $xa=b$ 成立，設(shè)解為c，則 $be=cae=ca=b$ ，因此e是G的單位元（左右單位元證其一即可）

對 $e,a\in G$ ，有 $ax=e$ 在G中成立，e為單位元，因此方程的解即為a的逆元。

注意本條定理，有解并非充分條件，其實應(yīng)用到的關(guān)鍵條件只有兩個方程 $ax=a,ax=e$ 或者 $xa=a,xa=e$ 。

定理2：對有限半群G，若滿足消去律，則G為群

證明：設(shè) $G={a_1,...,a_n}$ ，對任意 $1\le i\le n,a_i\in G$ ，可構(gòu)造一個如下集合
$a_iG={a_ia_1,a_ia_2,...,a_ia_n}$
G滿足封閉性，因此 $a_ia_j\in G,1\le j\le n$ ，所以 $a_iG\sube G$ 。若 $|a_iG|<|G|$ ，則存在相等的 $a_ia_j=a_ia_k$ ，因為滿足消去律， $a_j=a_k$ ，這與集合互異性矛盾，因此 $|a_iG|=|G|且a_iG=G$ 。即對任意的 $a_k\in G$ ，都有 $a_k\in a_iG$ ，也就是說總存在 $a_i,a_j\in G,使得a_ia_j=a_k$ 。因此方程 $a_x=b$ 在G中有解，同理可證方程 $ya=b$ 在G中有解，因此G是群。

上面兩個性質(zhì)可以概括為

半群方程有解則為群，有限半群滿足消去律則為群

這也是判定群的兩種方法，而其都是建立在半群的概念之上，而半群的定義是如此簡單，這為群的證明帶來了便利。

四、子群

什么是子群

其實從名字就容易看出，子群與子空間的概念異曲同工。

已知群 $<G,\times>$ ， $<S,\times>$ 若滿足 $S\sube G$ ，且 $<S,\times >$ 是一個群，則S稱為G的一個子群。記為 $S\le G$ .

顯然的是，若 $|G|\gt 1$ 則群 $<G,\times>$ 至少有兩個子群： $<{e},\times>$ ， $<G,\times>$ .這兩個子群稱為平凡子群，而其他的子群稱為真子群或非平凡子群，記為 $S\lt G$

子群的性質(zhì)

性質(zhì)1：若 $<S,\times>$ 是群 $<G,\times>$ 的非空子群，則群S的單位元就是G的單位元，S中任意元素a的逆元也是a在群G中的逆元。

該性質(zhì)較為直觀，很好說明。

性質(zhì)2：群G的非空子集S構(gòu)成子群的充要條件是：（1）若 $a,b\in S$ ，則 $ab\in S$ . （2）若 $a\in S$ ，則a在G中的逆元 $a^{-1}\in S$

只需證明S是群即可，即只需要證明滿足結(jié)合律（由于結(jié)合律作用于元素，因此只要元素屬于G自動滿足結(jié)合律）、存在逆元（存在逆元自動證明存在單位元）。

性質(zhì)3：群G的非空子集S構(gòu)成子群的充要條件是：若 $a,b\in G$ ，則 $ab^{-1}\in S$ .

證明結(jié)合律同上，b取 $a$ 即可證明逆元存在性與單位元。

性質(zhì)4：群G的非空有限子集S構(gòu)成子群的充要條件是：若 $a,b\in S$ ，則 $ab\in S$

證明：必要性顯然，下證充分性：只需證明有單位元，有逆元

由于S運算封閉，因為 $a,...a^n\in S$ 且S有限，故存在 $i\gt j\gt 0$ 使得 $a^j=a^i=a^{i-j}a^j,a^j\in G$ 。設(shè)G的單位元為e，有 $a^j=ea^j=a^{i-j}a^j$ ，根據(jù)消去律， $e=a^{i-j}\in S$ ，因此有單位元。由于 $i>j$ ，當 $i=j+1$ ， $ea=a=a^{i-j}a=aa$ ， $a$ 的逆元為它自己；若 $i>j+1$ ，則 $aa^{i-j-1}=a^{i-j}=e$ ，因此 $a$ 的逆元為 $a^i-j-1$ .

由此可見，有限群要比無限群要清晰得多，這是由于單位元自動存在的緣由。

如何生成子群

盡管討論了子群有著這樣那樣的性質(zhì)，但是如何得到一個子群是一個問題。

1、由一個元素生成子群

若 $a \in G$ ，由a生成的子群為 $<a>=\{a^k|k\in N\}$ ，其本質(zhì)是由一個元素生成的一個循環(huán)子群，較為特殊。

2、由子集生成子群

若 $B\subset G$ ，由B生成的子群 $<B>=\cap \{H|H\le G, B\subset H\}$ 。其本質(zhì)是，所有包含B的G的子群的交。

3、由子集生成子集

若 $H,K\le G$ 則，：

$H\cap K \le G$
$H\cup K\le G$ 當且僅當 $(H\subset K)\land (K\subset H)$

第一條定理較為明顯，H和K都已經(jīng)是G的子集后，再取交，是一個更為嚴格的條件，感性上不難理解。理性上，取交集獲取了兩個子集中均滿足“子群”條件的元素，因此依然形成一個子群。

第二條定理可以利用反證法證明：

充分性顯然，下證必要性：假設(shè)存在元素 $h\in H\land h\notin K,k\in K\land k\notin H$ （ $H\not \subset K\land K\not \subset H$ ），若 $hk\in H$ ，則因為h存在逆元，所以 $h^{-1}Hk=k\in H$ 矛盾，因此 $hk\notin H$ ，同理 $hk\notin K$ ，因此 $hk\notin H\cup K$ 。這樣一來，h和k對運算不封閉，與 $H\cup K$ 是G的子群矛盾，因此原命題成立。

綜上第二條定理得證。

五、特殊的群

1、Abel群

接下來我們討論一個重要的群，叫做阿貝爾群（Abel）。其定義很簡單，即滿足交換律的群G稱為阿貝爾群，或者交換群。

根據(jù)定義容易知道，阿貝爾群是一種滿足下面條件的群

設(shè)G是一個非空集合， $\times$ 是二元代數(shù)運算，如果滿足以下條件：

代數(shù)運算 $\times$ 滿足結(jié)合律
代數(shù)運算 $\times$ 滿足交換律
G中有左單位元e
對G中每個元素a，都有左逆元 $a^{-1}$ 使得 $a^{-1}*a=e$

如何判定Abel群

定理：群G是Abel群的充要條件是，對任意元素 $a,b\in G$ ，有 $(ab)^2=a^2b^2$ .

這個定理展開容易證明

2、循環(huán)群

前面有提到過循環(huán)群的概念，從名字容易理解循環(huán)的概念。

定義：對于一個群G，如果存在G中的元素a，使得G中任意元素都可以表示為a的冪，則群G稱為循環(huán)群，a稱為G的生成元，記為 $G=(a)$ .

需要注意的是，循環(huán)群的生成元不一定唯一。例如 $<N,+>$ ，其生成元為1,-1.

循環(huán)群與Abel群的關(guān)系

定理：任何一個循環(huán)群必定是交換群

這與線性空間n階矩陣的性質(zhì)一致。

循環(huán)群的階數(shù)

循環(huán)群的階，與生成元的階是一致的，如果生成元的階是無限的，那么G就是無限循環(huán)群；如果生成元的階是n，則G為n階循環(huán)群。容易預見，有限群有一些特殊的性質(zhì)。

循環(huán)群的性質(zhì)

性質(zhì)1：有限群G=(a)，若|G|=n，則 $a^n=e$ ，且 $G=\{a,a^2,a^3...a^n=e\}$ 。

該定理其實是在說明，n階循環(huán)群對應(yīng)的群結(jié)構(gòu)形式是如何的，充分闡釋了循環(huán)群階的概念的決定性。證明分兩步:

$|a|=n$ ：證明完成后直接可以說明 $a^n=e$

$\{a,a^2,...,a^n\}$ 中沒有相同的元素：可以說明G的結(jié)構(gòu)

性質(zhì)2：已知群G=(a)，則若G是無限循環(huán)群，則G的生成元是 $a$ 或 $a^{-1}$ ；若|G|=n,則G有 $\phi(n)$ 個生成元， $\phi(n)$ 為歐拉函數(shù)

該性質(zhì)進一步說明生成元的含義，直接與所生成的循環(huán)群對應(yīng)起來。下面給出該性質(zhì)的證明：

因為任何可以表示為 $b=a^m$ ，都可以表示為 $b=(a^{-1})^{-m}$ ，因此 $a^{-1}$ 也是G的生成元。盡管前面曾提出，生成元不止一個，但在無限循環(huán)群的意義上，實質(zhì)上還是一個。

對于有限階的群G，根據(jù)前面性質(zhì)1可以容易知道群內(nèi)的結(jié)構(gòu)，因為元素只能取 $a^k$ ，可以假設(shè)另一個生成元為 $b=a^k$ ，顯然 $b^n=(a^k)^n=e$ ，因此 $|a^k|=n$ ，但是這并不能說明 $a^k$ 也是一個生成元，這是由于它可能不是充分的，有可能存在 $(a^k)^m=e,m<n$ 的情況。想要保證其充分性，需要限制 $(n,k)=1$ 。所以生成元的個數(shù)即為與n互質(zhì)的個數(shù)（當然包括1，但是不包括n）。

性質(zhì)4：無限循環(huán)群與整數(shù)加法群同構(gòu)；n階有限群與模n加法群同構(gòu)。或者：設(shè)G=（a)，若a的階為無限，則G與<I,+>同構(gòu)；若a為有限階，則G與<Zn, +>同構(gòu)。

證明：

（1）若a的階是無限的，建立映射 $\phi:a^k\rightarrow k,k\in N^*$ ，若 $a^i\neq a^j$ 則 $i\neq j$ ，因此是單射；對任一k都有 $a^k$ ，因此是滿射。 $\phi(a^ia^j)=phi(a^{i+j})=i+j=\phi(a^i)+\phi(a^j)$ ，因此是同構(gòu)。

（2）若a的階為有限n，建立映射 $\phi:a^h\rightarrow [K],n|(h-k)$ 。同上滿足單射和滿射，以及同態(tài)關(guān)系，因此是同構(gòu)。

循環(huán)群的子群

性質(zhì)1：循環(huán)群的子群也是循環(huán)群

該定理的出現(xiàn)其實并不以外，這是由于循環(huán)群的重點并不是群，前面所討論的性質(zhì)1、2，都是以元素為主角，群的生成不過是在循環(huán)條件下自然而然的結(jié)果。理解了這一層含義，循環(huán)群的子群包含了循環(huán)群的種子：元素，加上群的運算封閉性，自然也會稱為一個循環(huán)群，所以一切都不足為怪了。

性質(zhì)2：無限循環(huán)群G的子群除{e}外，也是無限的

結(jié)合上面所言，既然包含無限循環(huán)群的種子，那也自然是無限循環(huán)群了。

性質(zhì)3：有限循環(huán)群G，其子群的階是群G階的因子，且G有且僅有一個子群，其階為該因子

證明：設(shè)S是G的任一子群，S={e}顯然滿足，下面考慮其他情況。、

設(shè) $S=(a^m)$ ，m是其中最小的正冪。設(shè) $|S|=|a^m|=d$ ，即 $(a^n)^m=e=(a^m)^n=(a^m)^d$ ，又由于階數(shù)是最小歸一(e)周期（暫且這樣說吧），所以才有 $d|n$ 。這就證明了前半部分性質(zhì)。后半部分需要證明唯一性。

假設(shè)G還有另一個階數(shù)為d的子群 $H=(a^m)$ ，m為最小正冪，則有 $(a^m)^d=e=a^n$ ，容易知道 $n|md$ （因為n是最小歸一階， $md\ge n$ ）所以 $n/d|m$ ，可以設(shè) $m=k(n/d)$ ， $a^m=(a^{n/d})^k\in S$ ，因此 $H\subset S$ ，而 $|S|=|H|$ ，因此 $H=S$ .

3、置換群

置換的定義與表示

定義：A非空集合， $F(A)=\{f|A\rightarrow A上的雙射\}$ ，關(guān)于函數(shù)乘積（復合）構(gòu)成的群稱為交換群。有限群的變換群稱為置換群。

理解其定義的關(guān)鍵有二，元素與運算，這和其群的稱號息息相關(guān)。首先，置換群的元素為映射，且這個映射是一個變換，因為它的定義域和值域都是A；其次，它的運算是映射乘法，即復合。這就好比高代中的線性變換構(gòu)成的線性空間。

其實這里需要進行一個證明，因為我們不知道這樣構(gòu)造出來的“映射組成的群”是否真正成為一個群。只需要從以下幾點證明即可，此處只列出而不加詳述：

存在單位元：恒等變換

逆函數(shù)恒存在

函數(shù)乘法封閉且滿足結(jié)合律

鑒于這個群較難理解，就舉兩個栗子：

G為群，對 $a\in G$ ，令 $f_a:G\rightarrow G，f_a(x)=ax$ ，則集合 $\{f,a\in G\}$ 關(guān)于變換復合構(gòu)成G上的交換群。之所以能成為一個置換群，是因為它；利用了G對元素乘法的封閉性，即任何元素乘以 $a^i$ 仍然屬于G。

$<N_6,+>,a=[0],[1],[2],[3],[4],[5]$ ，可構(gòu)成 $f_a(x)=a+x$ ，則集合 $\{f_0,f_1,f_2,f_3,f_4,f_5\}$ 關(guān)于函數(shù)符合構(gòu)成G上的置換群。該例與1相似，也是用封閉的加法來定義映射，因此自動保證了f是一個變換。

從這兩個例子來看，置換群是基于運算的封閉。

置換的表示我們采用列舉法，但是我們的列舉需要表現(xiàn)出對應(yīng)關(guān)系，因此我們的表示如下：

如 $S_3$ 的六個置換（至于為什么有六個不用多說了吧）為：

輪換及其表示

輪換：若一個置換 $\sigma$ 把 $i_1$ 變成 $i_2$ ， $i_2$ 變成 $i_3$ ，...， $i_{k-1}$ 變成 $i_k$ ， $i_k$ 變回 $i_1$ ，這個過程稱為輪換。像上述變換k次為一個周期稱為 $k-$ 輪換

有了置換，就容易理解輪換。輪換其實就是置換循環(huán)群，即這個置換群是一個有限循環(huán)群（至于為何稱之為置換群而不是對換群，是因為已經(jīng)保證有限了）。提出了輪換的概念，自然也需要介紹輪換的表示，第一種表示就是利用置換的表示，用一個二階矩陣表示各個元素的對應(yīng)即可；除此之外，還可以借助一個一維矩陣表征，例如對換 $1\rightarrow 6\rightarrow 3\rightarrow1$ ，可以表示為 $(1,6,3)$ ，與之對應(yīng)的置換表示為：
$\left(\begin{array}{ccc}1&2&3&4&5&6\\6&2&1&4&5&3\end{array}\right)$
可見輪換表示大大簡化了置換表示，也把其輪換特征表現(xiàn)得很清楚。

特別的，1-輪換稱為恒等變換，2-輪換稱為對換。所謂不相交輪換，指的是兩個輪換之間不涉及同一個元素。

置換的性質(zhì)

性質(zhì)1：任何群G都和一個變換群S同構(gòu)，每一個有限群都和一個置換群同構(gòu)。

證明：就是說只需要找到一個同構(gòu)映射即可。其實在上面兩個例子已經(jīng)可以洞見這個映射的構(gòu)造方法了。即對于 $G=<I,+>$ ，只需要構(gòu)造映射 $f_a(x)=a+x$ 即可，也就是說，利用群運算的封閉性。所以， $\phi:a\rightarrow f_a$ 。若 $a\neq b$ ，根據(jù)群的性質(zhì)，則有 $f_a\neq f_b$ ，因此是單射；漫射對G中任一x，有 $f_af_b(x)=f_a(x+b)=a+b+x=f_{ab}(x)\in S$ ，證畢。

性質(zhì)2：不相交輪換乘積可交換

該性質(zhì)很容易理解，這是因為不相交輪換之間還是相互比較獨立的。盡管這條性質(zhì)十分簡單，但確實下面部分性質(zhì)的重要依據(jù)。

性質(zhì)3：有限置換可表示為不相交輪換積，不相交輪換可表示為對換積

證明：

（1）先證有限置換可表示為不相交輪換積，這里不做數(shù)學上的嚴格證明，而只給出描述性證明。如下圖：!

有限置換分解為不相交輪換積

我們按照輪換的規(guī)律重新排序，可以理解為對角線對齊。這是一定可以分解成若干有限不相交輪換的。有限是由群本身有限決定的；不相交可以參看上例，由于在置換表示中，每個元素至多出現(xiàn)兩次（第一行一次、第二行一次），而我們保證了對角線對齊，將元素出現(xiàn)的次數(shù)耗盡，因此這個元素只可能出現(xiàn)在一個輪換當中。

最后的結(jié)果也就應(yīng)運而生了。

（2）這里也給出描述性的證明，對于輪換 $\sigma$ ，有下面的分解：
$\sigma=(i_1,i_2,...,i_k)=(i_1,i_2)(i_1,i_3)...(i_1,i_k)$

至此，我們可以知道的是，任何置換可以表示為多個對換的乘積。

性質(zhì)4：每個置換表成對換的乘積時，其對換個數(shù)的奇偶不變

需要明確的是，盡管可以分解，但是分解并不唯一，例如 $(1)=(1,3)(1,3)$ ，但是奇偶是不變的。

證明：設(shè) $\sigma=\sigma_1...\sigma_m$ ，即分解成m個對換，則 $\sigma$ 將排列 $1,2,3,...,n$ 變?yōu)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Csigma(1)%5Csigma(2)...%5Csigma(n)" alt="\sigma(1)\sigma(2)...\sigma(n)" mathimg="1">，根據(jù)高代行列式定義可知，沒對換一次，就會改變排列的奇偶性，而 $1,2,3...n$ 是偶排列，因此m與 $\sigma(1)\sigma(2)...\sigma(n)$ 奇偶性一致。

置換的一個有趣的應(yīng)用是解決華容道可解問題：

華容道可解問題

對于這個華容道問題，我們的移動其實是對空格的移動，我們將空格編號為9。因為空格最終位置仍在右下角，所以不管空格向上或向左移動多少次，總要向下或向右移動同樣的次數(shù)，也就是空格總共需要移動偶數(shù)次。由于最終我們希望的結(jié)果為 $123456789$ （9為空格）是一個偶排列，而且移動對換次數(shù)為偶數(shù)，因此當前的排列也應(yīng)當是偶排列，但是 $235148769$ 是奇排列，所以本次游戲無解。

六、陪集

什么是陪集

定義：設(shè)H是群G的子群， $a\in G$ ，有 $aH=\{ax|x\in G\},Ha=\{xa|x\in G\}$ ，則aH，Ha分別稱為群G關(guān)于子群H的一個左陪集、右陪集

可以看出，陪集扮演一個類似值域的角色。舉例如下：

對于置換群G（如下圖）

image.png

取其子群 $H=\{(1),(12)\}\le G$ ，則其一個左陪集 $(1,3,2)H$ ，因為有 $(1,3,2)(12)=(1,3)(1,2)(1,2)=(1,3)$ ，所以 $(1,3,2)H=\{(1,3,2),(1,3)\}$ ，同理可得一個右陪集 $H(1,3,2)=\{(1,3,2),(2,3)\}$

陪集的指數(shù)

由于該定義涉及一個重要定理的敘述，因此提前敘述之。

定義：群G的子群H的所有不同左陪集（右陪集）的個數(shù)，稱為H在G里的指數(shù)。表示為 $(G:H)$ .

陪集的性質(zhì)

性質(zhì)1：H是G的子群， $a\in G$ ，則有以下結(jié)論：

$|aH|=|H|$ （等勢）

$a\in aH$

$a\in H\leftrightarrow aH=H$

$b\in aH\leftrightarrow aH=bH$

$aH=bH\leftrightarrow a^{-1}b\in H或b^{-1}a\in H$

若 $aH\cap bH\neq \emptyset$ ，則 $aH=bH$

群G上全體不同的左陪集（或右陪集）構(gòu)成群G元素的分類，對G中任意 $a,b$ 若同屬一類，當且僅當 $a^{-1}b\in H$ 或 $b^{-1}a\in H$

證明：這里對每個小結(jié)論進行簡要說明

只需構(gòu)造一個映射 $f:H\rightarrow aH$ ，證明其為雙射即可，而根據(jù)群的性質(zhì)（消去律）容易證明。

由于子群有單位元，所以顯然

必要性：根據(jù)第二條， $a\in aH$ ，又因為二者相等，所以 $a\in H$ ；充分性：只需證明 $aH\sub H$ ，再根據(jù)第一條可證

必要性顯然，充分性：存在H中的h，使得 $b=ah$ ，則 $bH=ahH=aH$

充分性易證，必要性： $aH=bH\rightarrow H=a^{-1}aH=a^{-1}bH\rightarrow a^{-1}b\in H$ （第3條）同理可證 $b^{-1}a\in H$

根據(jù)第四條，容易證明。

根據(jù)第6條和第5條容易證明

其實性質(zhì)1的這些描述，與高等代數(shù)中的商空間十分相似，其劃分對象，并非一個個元素，而是一個整體，尤其是第4條，與商空間一致，而第七條給出了劃分規(guī)則。

性質(zhì)2：H是群G的子群，則 $R=\{<a,b>|a\in G,b\in G且a^{-1}b\in H\}$ 是G中的一個等價關(guān)系，對于 $a\in G$ ，記為 $[a]_R=\{x|x\in G且<a,x>\in R\}$ ，則有 $[a]_R=aH$

該性質(zhì)是性質(zhì)1第七條的直接推出結(jié)果，即通過一個子群，可直接利用陪集的關(guān)系與性質(zhì)，劃分出陪集空間。

性質(zhì)3（拉格朗日定理）：H是G的子群，若G是有限群， $|G|=n,|H|=m,(G:H)=k$ ，則 $n=km$ .

有了性質(zhì)2的明確描述，我們能做到一件事情：區(qū)分群G關(guān)于H的陪集。在此基礎(chǔ)上，我們才能進一步加深“指數(shù)”的概念。至于如何計算指數(shù)，拉格朗日定理給出了答案，指數(shù)等于群和子群階數(shù)的商。證明較為簡單，只需要根據(jù)G的陪集分解，然后尋求階數(shù)關(guān)系即可。

性質(zhì)4：群 $|G|=n$ ，對于任意 $a\in G$ ， $|a|$ 是n的因子，且必有a， $a^n=e$ 。若n是質(zhì)數(shù)，則群G是循環(huán)群

性質(zhì)的前半部分顯然，后半段，如果n是質(zhì)數(shù)，也就是說a的階就等于n，也等于G的階數(shù)，那G一定是a生成的循環(huán)群，因為a能生n個。

七、完結(jié)~

莫名其妙就完了，感覺沒學到啥啊哈哈哈

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近世代數(shù)——群

一、半群

什么是半群

半群與交換半群

幺半群（獨異點）

半群的性質(zhì)

性質(zhì)1：有限半群一定存在冪等元

性質(zhì)2：為獨異點或幺半群，則關(guān)于運算的運算表中，任何兩行或兩列都不相同。

半群之間有什么關(guān)系

半群同態(tài)

半群導出定理

性質(zhì)3：與幺半群滿同態(tài)的代數(shù)系統(tǒng)也是幺半群，且單位元映射到單位元。

性質(zhì)4：同態(tài)關(guān)系滿足自反性和傳遞性，且保持交換律和分配律

特殊的半群

商半群

性質(zhì)：半群與它的商半群滿同態(tài)

半群直積

性質(zhì)

二、群

什么是群

群的分類

元素的階

定理1：有限群元素的階一定是有限階

定理2：若群G中元素a的階是n，則若有m，使得當且僅當

定理3：有限群中元素階數(shù)小于群的階數(shù)

定理4：若群中元素a的階為n，則，其中k是任意整數(shù)，表示最大公約數(shù)

群的性質(zhì)

性質(zhì)1：群的左單位元也是有單位元，單位元唯一

性質(zhì)2：群中元素的左逆元也是右逆元，逆元唯一

性質(zhì)3（消去律）：；.

性質(zhì)4（唯一解）：群，對任意必存在唯一使得方程成立.

性質(zhì)5：群中只有單位元是冪等元。

性質(zhì)6：群的運算表中，每一行每一列都是群元素的雙射

性質(zhì)7：，.

三、半群與群

定理1：對半群G，若對任意，方程在G中有解，則G為群

定理2：對有限半群G，若滿足消去律，則G為群

四、子群

什么是子群

子群的性質(zhì)

性質(zhì)1：若是群的非空子群，則群S的單位元就是G的單位元，S中任意元素a的逆元也是a在群G中的逆元。

性質(zhì)2：群G的非空子集S構(gòu)成子群的充要條件是：（1）若，則. （2）若，則a在G中的逆元

性質(zhì)3：群G的非空子集S構(gòu)成子群的充要條件是：若， 則.

性質(zhì)4：群G的非空有限子集S構(gòu)成子群的充要條件是：若，則

如何生成子群

1、由一個元素生成子群

2、由子集生成子群

3、由子集生成子集

五、特殊的群

1、Abel群

定理：群G是Abel群的充要條件是，對任意元素，有.

2、循環(huán)群

定理：任何一個循環(huán)群必定是交換群

性質(zhì)1：有限群G=(a)，若|G|=n，則，且。

性質(zhì)2：已知群G=(a)，則若G是無限循環(huán)群，則G的生成元是或；若|G|=n,則G有個生成元，為歐拉函數(shù)

性質(zhì)4：無限循環(huán)群與整數(shù)加法群同構(gòu)；n階有限群與模n加法群同構(gòu)。或者：設(shè)G=（a)，若a的階為無限，則G與<I,+>同構(gòu)；若a為有限階，則G與<Zn, +>同構(gòu)。

性質(zhì)1：循環(huán)群的子群也是循環(huán)群

性質(zhì)2：無限循環(huán)群G的子群除{e}外，也是無限的

性質(zhì)3：有限循環(huán)群G，其子群的階是群G階的因子，且G有且僅有一個子群，其階為該因子

3、置換群

性質(zhì)1：任何群G都和一個變換群S同構(gòu)，每一個有限群都和一個置換群同構(gòu)。

性質(zhì)2：不相交輪換乘積可交換

性質(zhì)3：有限置換可表示為不相交輪換積，不相交輪換可表示為對換積

性質(zhì)4：每個置換表成對換的乘積時，其對換個數(shù)的奇偶不變

六、陪集

什么是陪集

陪集的性質(zhì)

性質(zhì)1：H是G的子群，，則有以下結(jié)論：

性質(zhì)2：H是群G的子群，則是G中的一個等價關(guān)系，對于，記為，則有

性質(zhì)3（拉格朗日定理）：H是G的子群，若G是有限群，，則.

性質(zhì)4：群，對于任意，是n的因子，且必有a，。若n是質(zhì)數(shù)，則群G是循環(huán)群

七、完結(jié)~

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一、半群

性質(zhì)2： $<S,,e>$ 為獨異點或幺半群，則關(guān)于 $$ 運算的運算表中，任何兩行或兩列都不相同。

性質(zhì)3：與幺半群滿同態(tài)的代數(shù)系統(tǒng)也是幺半群，且單位元映射到單位元。

性質(zhì)4：同態(tài)關(guān)系滿足自反性和傳遞性，且保持交換律和分配律

二、群

定理2：若群G中元素a的階是n，則若有m，使得 $a_m=e$ 當且僅當 $n|m$

定理4：若群中元素a的階為n，則 $|a^k|=n/(n,m)$ ，其中k是任意整數(shù)， $(n.k)$ 表示最大公約數(shù)

性質(zhì)1：群的左單位元也是有單位元，單位元唯一

性質(zhì)2：群中元素的左逆元也是右逆元，逆元唯一

性質(zhì)3（消去律）： $若ax=ax'，則x=x'$ ； $若xa=x'a，則x=x'$ .

性質(zhì)4（唯一解）：群 $<G,\times>$ ，對任意 $a,b\in G$ 必存在唯一 $x\in G$ 使得方程 $ax=b,xa=b$ 成立.

性質(zhì)5：群中只有單位元是冪等元。

性質(zhì)6：群的運算表中，每一行每一列都是群元素的雙射

性質(zhì)7： $(a^{-1})^{-1}=a$ ， $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ .

定理1：對半群G，若對任意 $a,b\in G$ ，方程 $ax=b,xa=b$ 在G中有解，則G為群

定理2：對有限半群G，若滿足消去律，則G為群

四、子群

性質(zhì)1：若 $<S,\times>$ 是群 $<G,\times>$ 的非空子群，則群S的單位元就是G的單位元，S中任意元素a的逆元也是a在群G中的逆元。

性質(zhì)2：群G的非空子集S構(gòu)成子群的充要條件是：（1）若 $a,b\in S$ ，則 $ab\in S$ . （2）若 $a\in S$ ，則a在G中的逆元 $a^{-1}\in S$

性質(zhì)3：群G的非空子集S構(gòu)成子群的充要條件是：若 $a,b\in G$ ，則 $ab^{-1}\in S$ .

性質(zhì)4：群G的非空有限子集S構(gòu)成子群的充要條件是：若 $a,b\in S$ ，則 $ab\in S$

1、由一個元素生成子群

3、由子集生成子集

五、特殊的群

1、Abel群

定理：群G是Abel群的充要條件是，對任意元素 $a,b\in G$ ，有 $(ab)^2=a^2b^2$ .

性質(zhì)1：有限群G=(a)，若|G|=n，則 $a^n=e$ ，且 $G=\{a,a^2,a^3...a^n=e\}$ 。

性質(zhì)2：已知群G=(a)，則若G是無限循環(huán)群，則G的生成元是 $a$ 或 $a^{-1}$ ；若|G|=n,則G有 $\phi(n)$ 個生成元， $\phi(n)$ 為歐拉函數(shù)

性質(zhì)4：無限循環(huán)群與整數(shù)加法群同構(gòu)；n階有限群與模n加法群同構(gòu)。或者：設(shè)G=（a)，若a的階為無限，則G與<I,+>同構(gòu)；若a為有限階，則G與<Zn, +>同構(gòu)。

性質(zhì)2：無限循環(huán)群G的子群除{e}外，也是無限的

性質(zhì)3：有限循環(huán)群G，其子群的階是群G階的因子，且G有且僅有一個子群，其階為該因子

性質(zhì)1：任何群G都和一個變換群S同構(gòu)，每一個有限群都和一個置換群同構(gòu)。

性質(zhì)3：有限置換可表示為不相交輪換積，不相交輪換可表示為對換積

性質(zhì)4：每個置換表成對換的乘積時，其對換個數(shù)的奇偶不變

六、陪集

性質(zhì)1：H是G的子群， $a\in G$ ，則有以下結(jié)論：

性質(zhì)2：H是群G的子群，則 $R=\{<a,b>|a\in G,b\in G且a^{-1}b\in H\}$ 是G中的一個等價關(guān)系，對于 $a\in G$ ，記為 $[a]_R=\{x|x\in G且<a,x>\in R\}$ ，則有 $[a]_R=aH$

性質(zhì)3（拉格朗日定理）：H是G的子群，若G是有限群， $|G|=n,|H|=m,(G:H)=k$ ，則 $n=km$ .

性質(zhì)4：群 $|G|=n$ ，對于任意 $a\in G$ ， $|a|$ 是n的因子，且必有a， $a^n=e$ 。若n是質(zhì)數(shù)，則群G是循環(huán)群

七、完結(jié)~