古希臘的數(shù)學家對后來世界的數(shù)理化發(fā)展和實用學科的進步做出了巨大的貢獻，從幾何到工程，從地理學到天文學。

在汲取埃及人的數(shù)學體系后，希臘的數(shù)學家們不斷進步，取得突破，如畢達哥拉斯的直角三角形定理。他們通過專注數(shù)字本身，而使古老的數(shù)學問題變得清晰和明確。先驅們的方法探索，為未來的數(shù)學家和科學家提供了理論基礎。

1.早期的影響（埃及、呂底亞、巴比倫、迦勒底）

希臘數(shù)學的誕生歸功于它的一些鄰國的影響，特別是埃及。在埃及第26王朝期間(公元前685-525年)，尼羅河的港口首次向希臘人開放，泰勒斯和畢達哥拉斯等重要的希臘人物訪問了埃及，帶來了新的技能和知識。愛奧尼亞除了受埃及的影響，還通過其鄰國呂底亞王國接觸到了美索不達米亞的文化和思想。

幾個世紀后，亞歷山大大帝征服了東方，希臘天文學繁榮起來。

巴比倫和迦勒底文化的天文知識為希臘數(shù)學、哲學、天文學注入了新的活力。這導致了許多希臘數(shù)學工具的發(fā)展，比如開始使用以60為基數(shù)的數(shù)字系統(tǒng)，這樣希臘人就可以把圓分成360度。使用60作為數(shù)學系統(tǒng)的基數(shù)是重要進步：60是一個合數(shù)，它有許多約數(shù)(1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60)，這使得涉及分數(shù)的計算更容易處理。

埃及人對希臘數(shù)學的影響也可以從希臘關鍵數(shù)學術語的詞源中看出。著名的希臘地理學家斯特拉博解釋了單詞 geometry (字面意思是“測量土地”，現(xiàn)代意思是“幾何”)的起源如下：

（尼羅河的洪水不斷地沖刷土壤，改變地貌的配置，我們必須一次又一次地進行測量，他們說這是幾何學的起源……）

2.早期的成就（直角三角形）

希臘人的數(shù)學知識是如何發(fā)展到超越埃及文明的地步的呢？

早在公元前3500年，埃及人(還有巴比倫人)的數(shù)學是世界上最好的。埃及人將他們的數(shù)學知識主要用于工程目的，沒有它們，就不可能建造大金字塔和其他令人嘆為觀止的紀念碑。

希臘人從埃及數(shù)學中得到的主要是經(jīng)驗法則和具體應用。例如，埃及人知道，邊數(shù)為3:4:5?的三角形是直角三角形。

這是因為，為了形成直角，埃及陸地測量員使用了一根分成?12?等份的繩子，形成了一個三角形，其中一邊是?3?份，另一邊是 4 份，第三邊是 5 份。在?3?和 4 的邊相接的地方可以找到直角。這是形成直角的一種非常實用的方法。

我們沒有找到埃及關于進一步分析這一問題的資料。埃及人太注重實用了，他們的興趣僅限于這種方法的實際應用，而不去仔細分析為什么。

一個來自愛奧尼亞的希臘人看著?3:4:5?的三角形，看到了其他人似乎沒有注意到的東西，他的名字叫畢達哥拉斯，他把?3:4:5?的三角關系擴展到邏輯極限，引發(fā)了一場智力革命。

畢達哥拉斯(公元前571年-公元前497年)是一個特殊會社的領袖和創(chuàng)始人，其追隨者被稱為畢達哥拉斯學派。這個學派的成員相信宇宙可以用整數(shù)來描述：1、2、3、4?等等?；?3:4:5 三角形的埃及經(jīng)驗，畢達哥拉斯提出了一個以他的名字命名的數(shù)學定理：畢達哥拉斯定理。

為什么這個定理如此重要？因為它展示了一些以下重要技術的跨越式發(fā)展。

（1）抽象的技術

無論它是一根繩子、一塊木頭還是任何其他的物理物體，都無關緊要。這一切都是關于“直線”的性質，以角度連接，僅此而已。這些線條只是簡單的實體。抽象的過程就是去除所有非本質的元素，只考慮基本的東西。

（2）通用化技術

畢達哥拉斯提出的定理不僅適用于3:4:5三角形，而且適用于任何其他直角三角形，此外，該定理還表明，當且僅當最長邊的平方與其余兩條邊的平方之和相等時，三角形就是直角三角形——直角位于兩條短邊相交的地方。

（3）推理的藝術

通過一般陳述或前提，推理其邏輯含義得出結論。

（4）數(shù)學的演繹動態(tài)

通過演繹推理和歸納的結合，數(shù)學不再被視為一組靜態(tài)的規(guī)則，而是一個能夠復雜發(fā)展的動態(tài)系統(tǒng)。

我們要感謝畢達哥拉斯及他的追隨者，完成了這些在數(shù)學領域的重要創(chuàng)新。

畢達哥拉斯在數(shù)學中發(fā)現(xiàn)的美與和諧是如此強大，以至于希臘科學最終被一種強烈的數(shù)學偏見所污染。

換句話說，希臘人開始相信，演繹推理不僅在數(shù)學上能取得令人難以置信的成功，它也是在其他學科中獲得知識的唯一方法。人們低估了觀察，推演成了王道，希臘的科學知識在除了精確計算以外的幾乎所有領域都被引入了死胡同。這種對數(shù)學的高估可以從蓋倫的一句話中看出：

（時間會導致悲傷和其他情緒的改變，但不會通過“二乘二等于四”或“所有半徑相等”，來改變一個人的情緒。）

3.第一次數(shù)學危機：2的平方根

畢達哥拉斯定理成立后，有人提出了以下問題：如果我們有一個正方形，每個邊的長度為一個單位，并且我們還有一個第二個正方形，其面積是第一個正方形的兩倍，那么第二個邊的邊長該是多少？

這是關于2的平方根的問題的由來。

今天我們知道2的平方根是一個無理數(shù)，這意味著它不能用任何簡單的分數(shù)表示。但是，希臘人并不知道這一點，因此他們一直試圖解決這個難題，并提出了有效的答案。

畢達哥拉斯人嘗試了，但解決不了這個難題，最終他們面對了這樣一個現(xiàn)實：兩個整數(shù)之比不能表示2的平方根的值。

畢達哥拉斯人謹慎地隱藏了無理數(shù)的秘密。原因是它會對畢達哥拉斯學派造成根本性的沖擊。

關于畢達哥拉斯圈子的一個成員透露了有一個有趣的說法（其歷史準確性尚不確定），即一個成員向畢達哥拉斯學派以外的人透露了秘密，這個叛徒被扔進深水淹死。

無理數(shù)的危機促使畢達哥拉斯學派想通過各種巧妙的方法來逼近2的平方根值。然而，在多次嘗試求2的平方根失敗后，希臘人別無選擇，只能接受算術不是數(shù)學的基礎。他們不得不找別的地方，于是他們開始研究幾何學。

4.中期的成就（歐幾里得數(shù)學公理化體系）

歐幾里得（Euclid ，公元前325-前265年）是一位古希臘數(shù)學家，居住在亞歷山大。他熟悉他之前從事的所有希臘數(shù)學工作，因此他決定將所有這些知識組織在一個連貫的工作中。

這項總結性的工作所成之書被命名為《元素》（《The Elements》，后發(fā)展為《幾何原本》），是有史以來第二暢銷的書籍，僅次于《圣經(jīng)》。

（歐幾里得元素的第一個英語版本，1570年）

《元素》被記住主要是因為其幾何定理。第一本書的開頭是對基本幾何形狀的不同定義：

? ? 1.一個點是沒有意義的。

? ? 2.一條線沒有寬度。

? ? 3.線的末端是點。

? ? 4.直線就是這些點均勻地位于其上形成的線。

? ? 5.表面是只有長度和寬度的表面。

? ? 6.表面的末端是線。

歐幾里得的《元素》中并沒有什么原創(chuàng)的東西(他只是一個集大成者)。然而，命題的順序和整體的邏輯結構的工作很大程度上是歐幾里得的創(chuàng)造。毫無疑問，它是有史以來最重要和最具影響力的書之一，也是希臘知識傳統(tǒng)的杰作。

5.數(shù)學嚴謹性在希臘數(shù)學中的重要性

希臘人了解某種程度上埃及人無法理解的東西：數(shù)學嚴格性的重要。

例如，古埃及人將一個圓的面積等于一個正方形的面積，該正方形的邊長為圓直徑的8/9。從該計算的角度來看，數(shù)學常數(shù)pi的值為256/81。這是一個非常準確的計算（誤差約為百分之五），但在數(shù)學上是錯誤的。

但是，就埃及工程學而言，這半個百分點的誤差實際上并不重要，否則它們令人印象深刻的紀念碑很久以前就會倒塌。但是，忽略這一半的誤差會忽略π真實值的基本屬性。

埃及人還簡約地表達其他數(shù)字，例如平方根2的值（分數(shù)為7/5）。通過使用四舍五入的值，埃及人并未注意到這些數(shù)字的非理性本質。希臘人沉迷于數(shù)學上的嚴謹；對于他們來說，四舍五入是不夠的，他們沉迷數(shù)學語言的嚴謹性。

通過不放棄追求數(shù)學準確性的努力，希臘人終于發(fā)展了公理化體系，與天文學一起，都是古希臘知識中成就最令人欽佩的紀念碑。