今天我匯報(bào)的主要內(nèi)容是前段時(shí)間學(xué)習(xí)的，運(yùn)用平均場(chǎng)的方法處理具有Hubbard相互作用的模型。上學(xué)期我學(xué)習(xí)的一些有關(guān)拓?fù)浣^緣體的基本模型，都是基于單電子模型，并沒有考慮電子之間的庫(kù)侖相互作用，而相互作用可以帶來更豐富的物理現(xiàn)象。對(duì)于此類多體問題，為了求解，Hubbard采取了極為簡(jiǎn)單的近似，即只考慮同一軌道上自旋相反的兩個(gè)電子之間的庫(kù)侖相互作用。將多體問題，簡(jiǎn)化為兩體問題。 然后我們用平均場(chǎng)的方法，將兩體問題進(jìn)一步簡(jiǎn)化為單體問題，從而方便的求解體系的哈密頓量，得到體系的一些物理性質(zhì)。
我這里主要介紹兩個(gè)模型，一個(gè)是經(jīng)典的Bose-Hubbard模型，另一個(gè)是QAH-Hubbard模型，是在冷原子系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)的QWZ模型的基礎(chǔ)上加入電子相互作用，屬于Fermi-Hubbard模型。兩者的共同之處是都用平均場(chǎng)理論將有耦合的“兩體”問題解耦，簡(jiǎn)化為“單體”問題。不同之處是，前者用朗道的相變理論得到了莫特相到超流相的轉(zhuǎn)變。后者采用自洽計(jì)算來求體系中自旋不同的電子濃度。
我們先看Bose-Hubbard模型，零溫下玻色體系，由下面的哈密頓量來描述，主要包含三項(xiàng)，第一項(xiàng)是粒子在最近鄰格點(diǎn)之間的跳躍，第二項(xiàng)是粒子的在位勢(shì)能，這在我們之前學(xué)習(xí)的模型中經(jīng)常涉及。第三項(xiàng)是同一格點(diǎn)處的粒子間的Hubbard相互作用。（BH模型在零溫下有兩種相，我們?nèi)煞N極限定性分析。當(dāng)t遠(yuǎn)大于U，認(rèn)為U=0，此時(shí)粒子可在格點(diǎn)間任意跳躍，不受束縛，即為超流相；當(dāng)t=0，U>1的時(shí)候，為莫特絕緣相，粒子局域在固定格點(diǎn)）第三項(xiàng)的具體推導(dǎo)如下，將波函數(shù)用實(shí)空間基矢萬(wàn)尼爾函數(shù)做展開，n為能帶數(shù)，i為格點(diǎn)數(shù)，這里我們?nèi)』鶓B(tài)。將展開系數(shù)用二次量子化的形式寫成產(chǎn)生湮滅算符的形式，ai dagger即在第i個(gè)格點(diǎn)產(chǎn)生一個(gè)粒子，aj在第j個(gè)格點(diǎn)湮滅一個(gè)粒子。最后一步采用Hubbard模型的近似方法，只取同一格點(diǎn)處的粒子間的相互作用。
當(dāng)U=0的時(shí)候，我們?cè)贙空間下求解，將產(chǎn)生湮滅算符的傅里葉變換式帶入哈密頓量化簡(jiǎn)，得到對(duì)角化的哈密頓量，對(duì)角元素是epsilon k-mu。其中第一項(xiàng)，以一維為例，化簡(jiǎn)如下。零溫下，所有粒子占據(jù)能量最低的態(tài)，即k=0的態(tài)。當(dāng)體系的粒子數(shù)為N的時(shí)候，基態(tài)波函數(shù)為用N個(gè)產(chǎn)生算符作用在真空態(tài)上。同樣可以用傅里葉變換到實(shí)空間，k=0，e指數(shù)項(xiàng)為1.可以看到所有的玻色子都以1/M的概率分布在任意晶格位置上，如圖所示，表明所有玻色子可以在整個(gè)晶格上自由移動(dòng)。這與我們先前定性分析的一致，為超流相。
當(dāng)t=0的時(shí)候，利用玻色子產(chǎn)生湮滅算符間的對(duì)易關(guān)系和粒子數(shù)算符，可以將哈密頓量在粒子數(shù)表象下用粒子數(shù)算符表示出來?？梢钥吹焦茴D量在每個(gè)格點(diǎn)的形式都一樣，我們只需要拿出一個(gè)格點(diǎn)來分析。局部哈密頓量的本征值可以直接寫出來，而整體的基態(tài)波函數(shù)可以寫成格點(diǎn)波函數(shù)直積的形式。可以看到ni個(gè)粒子局域在第i個(gè)格點(diǎn)。圖片顯示了n=1的情況。
以上我們定量分析了兩種極端的情形，下面我們來求解兩種狀態(tài)轉(zhuǎn)變時(shí)的參數(shù)條件。
利用玻色子產(chǎn)生湮滅算符間的對(duì)易關(guān)系和粒子數(shù)算符，可以將相互作用項(xiàng)改寫為粒子數(shù)算符的形式，從而在粒子數(shù)表象（Fock 空間）下進(jìn)行求解。因?yàn)楣茴D量中含有不同格點(diǎn)間產(chǎn)生湮滅算符的耦合項(xiàng)，利用平均場(chǎng)的方法進(jìn)行解耦。具體的方法是將產(chǎn)生湮滅或者湮滅算符表示成其平均值加上一個(gè)微小的擾動(dòng)（Q：是否可解釋為由跳躍項(xiàng)引起？）。代入上式的即可得到如下的哈密頓量?？紤]最近鄰的跳躍，引入配位數(shù)Z，則哈密頓量進(jìn)一步簡(jiǎn)化為只對(duì)第i個(gè)格點(diǎn)求和?，F(xiàn)在我們可以關(guān)注一個(gè)格點(diǎn)上的局部哈密頓量。在粒子數(shù)表象下我們可以寫出h0的本征值，將Vt視作微擾。然后用微擾論的方法，求解。帶入微擾論的能量以及波函數(shù)修正公式，運(yùn)用產(chǎn)生湮滅算符的本征方程，可以求得能量的二級(jí)和四級(jí)修正，從而得到體系能量的近似解。
可以看到能量可以展開成序參量的偶次冪，依據(jù)朗道的相變理論，當(dāng)a4>0的時(shí)候，在a2=0的時(shí)候，產(chǎn)生相變。體系處于穩(wěn)態(tài)的時(shí)候，能量取最小值，取一階偏導(dǎo)，可以求出可能的極值點(diǎn)，二階偏導(dǎo)大于0的時(shí)候，能量取極小值。當(dāng)a2>0時(shí)，phi=0，當(dāng)a2<0時(shí)，phi=根號(hào)下-a2/2a4。在a2=0的兩側(cè)，序參量取值不同，即a2=0的時(shí)候，系統(tǒng)發(fā)生相變。取特定的粒子數(shù)，可以畫出由其他參數(shù)決定的相變曲線，這里做了一個(gè)參數(shù)變換，縱軸為次mu，橫軸為omega，不同顏色的曲線即粒子數(shù)取不同值時(shí)的相變邊界。右側(cè)為超流相，序參量phi不為0；左側(cè)為莫特相，序參量phi為0。曲線與次mu軸的交點(diǎn)，可以由求根公式得到。莫特葉尖端的omega c的值，將次mu=-b/2a帶入，可以求得。這里以n=1為例，約等于0.172。
第二個(gè)模型是QAH-Hubbard模型，是在QWZ模型的基礎(chǔ)上加入電子相互作用。其中第一項(xiàng)Hk0具有QWZ模型哈密頓量的形式，mz、t0和tso分別是塞曼耦合系數(shù)、自旋守恒和自旋翻轉(zhuǎn)的跳躍系數(shù)。Ck是k空間的旋量算子。第二項(xiàng)是同一軌道上自旋相反的電子間的庫(kù)侖相互作用。同樣地，我們用平均場(chǎng)方法進(jìn)行解耦，并利用傅里葉變換，表示成k空間的形式。與之前類似，我們?nèi)匀粚⑺惴硎境善淦骄导由弦粋€(gè)微小的擾動(dòng)，忽略高階項(xiàng)，再利用產(chǎn)生湮滅算符的傅里葉變換和歸一化條件，得到最終的形式。此時(shí)哈密頓量可以用旋量波函數(shù)基矢下進(jìn)行表示。其中ns是自旋為s的粒子數(shù)濃度。但是我們注意到，在求解該哈密頓量的時(shí)候，對(duì)角項(xiàng)含有未知量ns，而ns又依賴于哈密頓量的本征波函數(shù)。我們采用自洽算法，簡(jiǎn)單來說就是先猜一個(gè)數(shù)值帶入自洽方程求解，將新值與舊值對(duì)比，小于我們預(yù)設(shè)的誤差值，說明我們猜的很對(duì)；否則替換舊值，迭代求解，直到誤差小于預(yù)設(shè)值。這是利用自洽算法求得的粒子數(shù)濃度相圖。步長(zhǎng)不需要很大，否則多重for循環(huán)，程序運(yùn)行很慢，求的離散值之后用matlab自帶的方法進(jìn)行擬合，得到三維曲面，再向xy平面投影后，進(jìn)行著色。
