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超平面的公式

首先明確幾個定義：(1) 超平面是指n維線性空間中維度為n-1的子空間。它可以把線性空間分割成不相交的兩部分。比如二維空間中，一條直線是一維的，它把平面分成了兩塊；三維空間中，一個平面是二維的，它把空間分成了兩塊。(2) 法向量是指垂直于超平面的向量。

在 $\mathbb{R}^3$ 空間中，假如有法向量 $\omega$ ，過原點(diǎn)的平面內(nèi)任意原點(diǎn)出發(fā)的向量 $x$ 必然與之滿足 $w^Tx=0$ 。如果平面沿著法向量的方向上下平移了，那么這個方程就不成立了。

我們假設(shè)平移之后平面經(jīng)過 $x'(x_1',x_2',x_3')$ ，平面內(nèi)任意一點(diǎn)記為 $x(x_1,x_2,x_3)$ ，法向量記為 $\omega(\omega_1,\omega_2,\omega_3)$ ，如下圖。

平面公式示意圖

不難看出， $x-x'$ 在平面內(nèi)，當(dāng)然也就和法向量垂直。于是我們有：
$\begin{aligned} &(x-x')w=0\\ &(x_1-x_1', x_2-x_2',x_3-x_3')\cdot(\omega_1,\omega_2,\omega_3)=0 \end{aligned}$
化簡后得： $x_1\omega_1+x_2\omega_2+x_3\omega_3=\omega_1x_1'+\omega_2x_2'+\omega_3x_3'$ 。即 $\omega^Tx=\omega^Tx'$ 。由于其為常數(shù)項，令 $b=-\omega^Tx'$ ，于是超平面的公式可以寫成：
$\omega^Tx+b=0$

這個結(jié)論同樣適用于 $R^n$ 空間；
無論超平面如何平移，系數(shù)始終是法向量 $\omega$ 。

點(diǎn)到超平面的距離

點(diǎn)到超平面距離

上圖中 $x$ 是平面外的一點(diǎn)。我們要求的距離記為 $d$ ，也就是紅色的線段。根據(jù)三角函數(shù)可以得到： $\cos{\theta}=\dfracu0z1t8os{||x-x'||}$ （空間中一點(diǎn)向超平面作垂線， $\theta$ 只能是銳角，不必?fù)?dān)心正負(fù)）。因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=d" alt="d" mathimg="1">肯定和法向量平行，所以這樣來算夾角： $|(x-x')\omega|=||x-x'||\cdot||\omega||\cdot\cos{\theta}$ （因?yàn)榉ㄏ蛄靠赡芊聪?，所以給等式左邊加上絕對值），聯(lián)立得：
$d = \dfrac{|(x-x')\omega|}{||\omega||}=\dfrac{|\omega x-\omega x'|}{||\omega||}$
因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=x'" alt="x'" mathimg="1">在超平面內(nèi)， $\omega x'=-b$ ，于是最后得到的任意點(diǎn)到超平面的距離公式：
$d=\dfrac{|\omega x+b|}{||\omega||}$