迄今為止，這個(gè)系列都在討論，如何給出"某個(gè)時(shí)段"的排名，比如"過(guò)去24小時(shí)最熱門(mén)的文章

但是，很多場(chǎng)合需要的是"所有時(shí)段"的排名，比如"最受用戶好評(píng)的產(chǎn)品"。

這時(shí)，時(shí)間因素就不需要考慮了。這個(gè)系列的最后兩篇，就研究不考慮時(shí)間因素的情況下，如何給出排名。

一種常見(jiàn)的錯(cuò)誤算法是：

[得分 = 贊成票 - 反對(duì)票

假定有兩個(gè)項(xiàng)目，項(xiàng)目A是60張贊成票，40張反對(duì)票，項(xiàng)目B是550張贊成票，450張反對(duì)票。請(qǐng)問(wèn)，誰(shuí)應(yīng)該排在前面？按照上面的公式，B會(huì)排在前面，因?yàn)樗牡梅郑?50 - 450 = 100）高于A（60 - 40 = 20）。但是實(shí)際上，B的好評(píng)率只有55%（550 / 1000），而A為60%（60 / 100），所以正確的結(jié)果應(yīng)該是A排在前面。

[Urban Dictionary就是這種錯(cuò)誤算法的實(shí)例。

另一種常見(jiàn)的錯(cuò)誤算法是

得分 = 贊成票 / 總票數(shù)

如果"總票數(shù)"很大，這種算法其實(shí)是對(duì)的。問(wèn)題出在如果"總票數(shù)"很少，這時(shí)就會(huì)出錯(cuò)。假定A有2張贊成票、0張反對(duì)票，B有100張贊成票、1張反對(duì)票。這種算法會(huì)使得A排在B前面。這顯然錯(cuò)誤。

Amazon就是這種錯(cuò)誤算法的實(shí)例。

那么，正確的算法是什么呢？

我們先做如下設(shè)定：

（1）每個(gè)用戶的投票都是獨(dú)立事件。

（2）用戶只有兩個(gè)選擇，要么投贊成票，要么投反對(duì)票。

（3）如果投票總?cè)藬?shù)為n，其中贊成票為k，那么贊成票的比例p就等于k/n。

如果你熟悉統(tǒng)計(jì)學(xué)，可能已經(jīng)看出來(lái)了，這是一種統(tǒng)計(jì)分布，叫做"二項(xiàng)分布"（binomial distribution）。這很重要，下面馬上要用到。

我們的思路是，p越大，就代表這個(gè)項(xiàng)目的好評(píng)比例越高，越應(yīng)該排在前面。但是，p的可信性，取決于有多少人投票，如果樣本太小，p就不可信。好在我們已經(jīng)知道，p是"二項(xiàng)分布"中某個(gè)事件的發(fā)生概率，因此我們可以計(jì)算出p的置信區(qū)間。所謂"置信區(qū)間"，就是說(shuō)，以某個(gè)概率而言，p會(huì)落在的那個(gè)區(qū)間。比如，某個(gè)產(chǎn)品的好評(píng)率是80%，但是這個(gè)值不一定可信。根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)，我們只能說(shuō)，有95%的把握可以斷定，好評(píng)率在75%到85%之間，即置信區(qū)間是[75%, 85%]。

這樣一來(lái)，排名算法就比較清晰了：

第一步，計(jì)算每個(gè)項(xiàng)目的"好評(píng)率"（即贊成票的比例）。

第二步，計(jì)算每個(gè)"好評(píng)率"的置信區(qū)間（以95%的概率）。

第三步，根據(jù)置信區(qū)間的下限值，進(jìn)行排名。這個(gè)值越大，排名就越高。

這樣做的原理是，置信區(qū)間的寬窄與樣本的數(shù)量有關(guān)。比如，A有8張贊成票，2張反對(duì)票；B有80張贊成票，20張反對(duì)票。這兩個(gè)項(xiàng)目的贊成票比例都是80%，但是B的置信區(qū)間（假定[75%, 85%]）會(huì)比A的置信區(qū)間（假定[70%, 90%]）窄得多，因此B的置信區(qū)間的下限值（75%）會(huì)比A（70%）大，所以B應(yīng)該排在A前面。

置信區(qū)間的實(shí)質(zhì)，就是進(jìn)行可信度的修正，彌補(bǔ)樣本量過(guò)小的影響。如果樣本多，就說(shuō)明比較可信，不需要很大的修正，所以置信區(qū)間會(huì)比較窄，下限值會(huì)比較大；如果樣本少，就說(shuō)明不一定可信，必須進(jìn)行較大的修正，所以置信區(qū)間會(huì)比較寬，下限值會(huì)比較小。

二項(xiàng)分布的置信區(qū)間有多種計(jì)算公式，最常見(jiàn)的是"正態(tài)區(qū)間"（Normal approximation interval），教科書(shū)里幾乎都是這種方法。但是，它只適用于樣本較多的情況（np > 5 且 n(1 ? p) > 5），對(duì)于小樣本，它的準(zhǔn)確性很差。

1927年，美國(guó)數(shù)學(xué)家 Edwin Bidwell Wilson提出了一個(gè)修正公式，被稱為"威爾遜區(qū)間"，很好地解決了小樣本的準(zhǔn)確性問(wèn)題。

[size=1.6em]在上面的公式中，表示樣本的"贊成票比例"，n表示樣本的大小，表示對(duì)應(yīng)某個(gè)置信水平的z統(tǒng)計(jì)量，這是一個(gè)常數(shù)，可以通過(guò)查表或統(tǒng)計(jì)軟件包得到。一般情況下，在95%的置信水平下，z統(tǒng)計(jì)量的值為1.96。

威爾遜置信區(qū)間的均值為

它的下限值為

可以看到，當(dāng)n的值足夠大時(shí)，這個(gè)下限值會(huì)趨向。如果n非常?。ㄍ镀比撕苌伲?，這個(gè)下限值會(huì)大大小于。實(shí)際上，起到了降低"贊成票比例"的作用，使得該項(xiàng)目的得分變小、排名下降。

Reddit的評(píng)論排名，目前就使用這個(gè)算法。