前言：本文是本人的一些淺薄見解，受水平限制，如有不當(dāng)或者缺漏之處，還望各位內(nèi)行指正補(bǔ)充。
一位老司機(jī)，名字叫羅爾，來到秋名山，喇叭嘀嘀嘀。
羅爾發(fā)車了。
秋名山重巒疊嶂，九曲回腸，就即便是羅爾這樣的老司機(jī)，開起來也是心驚膽戰(zhàn)，不過憑借著逆天般的車技，他還是到了終點(diǎn)。
望著一路上坡下坡，忽高忽低，他突然冒出來一個奇怪的念頭：“起點(diǎn)和終點(diǎn)是等高的，誒？好像無論我怎么上坡下坡，總有那么一個時候，我和起點(diǎn)終點(diǎn)都等高啊！而且，在最高和最低的地方，車身是平行于地平線的。”他很驚訝，但是很快就想明白了：“嗯，我這是汽車，不是潛地機(jī)，也不是火箭，而起點(diǎn)和終點(diǎn)又是等高的，要在這路上走，必須是有升有降，才能到終點(diǎn)，而且最高的，最低的地方，車身確實(shí)很平?！?/p>
羅爾一腳油門，繼續(xù)往前狂飆。
很不幸，他遇到了兩段很奇怪的道路。
一段路是一路上坡，結(jié)果在坡頂路消失了，取而代之的是下方很低的地方的一段路，“奶奶的，這路不連續(xù)也不給個標(biāo)識啊，坑死人了?！绷_爾的車劃過一道完美的拋物線狠狠的拍在了地上。
“呸！這破路，怎么斷開了?！避囎臃藥讉€滾，總算是正過來了，羅爾罵罵咧咧的繼續(xù)開車。
好景不長，前面又是一段及其詭異的路，上下坡的地方尖的像一把刀，可是此時別無選擇，羅爾一咬牙，一腳油門踩了下去，車子在“尖刀”上上上下下，等到出了秋名山的時候，他的車地盤已經(jīng)被扎了n個眼兒了。
羅爾懊惱的抱怨：“垃圾秋名山，老子再也不來飆車了，哎喲喂我的大奔喲！”
二號老司機(jī)，綽號拉格朗，一腳油門踩，咔嚓撞斷樹。
拉格朗日并不害怕，他相信自己的技術(shù)，一腳油門，車速很快提到了200碼。
果然是車神級的人物，拉格朗日開的比羅爾穩(wěn)的多，他放著搖滾開著車，好不愜意。突然，他也意識到了一個問題：“無論自己怎么加速減速，車速在180-220之間來回變動，總有那么一個時刻，他的車速等于這段路自己跑的平均速度?！彼屑?xì)想了想，沒錯，就是這樣，平均速度嘛，終歸是介于最低和最高時速之間的，從低速加到高速，從高速減到低速，都要經(jīng)過這個點(diǎn)，哪怕只有一瞬間。
一個失神，他沒控制好方向，車子狠狠的撞在了樹上，樹斷了。拉格朗日的腦袋狠狠的懟在了方向盤上，他暈頭轉(zhuǎn)向的念叨著：“嗬，這次不行了，撞這一下子，找不到那個點(diǎn)嘍！速度變得太快了，瞬間就歸零了?！?/p>
三號老司機(jī)，名字叫柯西，車穩(wěn)速度高，真是太流弊。
柯西開著車經(jīng)過，嘲諷到：“真菜，讓本座給你演示演示。”
柯西是個新晉車神，可他自己似乎不喜歡這個稱號，自封車魔，不過不得不說，他的車技也是非常棒的。
他非常順利的到達(dá)了終點(diǎn)，在夕陽中抽起了雪茄。
但是他有個怪癖，喜歡查看行車記錄儀，他一邊抽煙，一邊看記錄儀，還順手把拉格朗日和羅爾的記錄儀要了過來。
看著看著，他的眉頭緊皺，似乎發(fā)現(xiàn)了什么不得了的事情。
他的腦海里迅速閃過一個念頭：“看了看三輛車的數(shù)據(jù)記錄，這也太妙了，在我選定的同樣時常的兩段路上，任意兩輛車的平均速度有那么一個比值，而兩輛車的瞬時速度之比，至少有那么一個等于這個值。不過，包含拉格朗日撞樹的那一段過程找不到這個點(diǎn)，包含羅爾飛躍‘?dāng)嘌隆哪且欢蝺哼^程也找不到這樣的點(diǎn)?！?/p>
柯西滿意的晃了晃腦袋，拿著小本本記錄下來這個驚人的發(fā)現(xiàn)。
詮釋：
羅爾遇到的第一段路，就是正常的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，斜率和函數(shù)值均未發(fā)生突變。
第二段路則是斷崖一樣的，函數(shù)值在某個時間點(diǎn)突然改變（高度突然變低），屬于不連續(xù)函數(shù)，于是他就翻車了。
第三段路是尖刀一樣了，把羅爾的車扎的滿目瘡痍。這就是不可導(dǎo)函數(shù)了（斜率突變），行駛的軌跡突然改變，好，這下也翻車了。
這就是傳說中的羅爾定理，在一段起點(diǎn)與終點(diǎn)函數(shù)值相等的函數(shù)曲線上，至少有一點(diǎn)的函數(shù)值和起點(diǎn)終點(diǎn)相同，而且至少有一點(diǎn)的斜率是0，但是，只適用于連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)（在給定區(qū)間內(nèi)）。
拉格朗日遇到的第一段路，開的很穩(wěn)，也是正常的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)。
但是第二段路就慘了，他不小心撞到了樹，導(dǎo)致速度驟降為0，一瞬間，斜率改變了，函數(shù)變成了不可導(dǎo)函數(shù)，他也“翻車了”
這是拉格朗日中值定理，即在一段函數(shù)曲線上，至少有那么一點(diǎn)，該點(diǎn)的斜率等于起終點(diǎn)連線的斜率（就是文中的瞬時速度和平均速度），但是仍然只限于連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，否則還是不成立。
柯西顯然精明的多，他沒有親自去試那些詭異的道路，而是調(diào)出了記錄儀。
他發(fā)現(xiàn)的，就是柯西中值定理了，對于兩個連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，在給定區(qū)間，至少有那么兩點(diǎn)，斜率之比等于兩段函數(shù)端點(diǎn)連線斜率之比。當(dāng)然，如果任意有一個或者兩個函數(shù)都不可導(dǎo)/不連續(xù)，就足以搞砸這一切。
