首先review一下矩陣的基礎(chǔ)知識(shí)：
m×n 矩陣是排列在 m 行和 n 列中的一系列數(shù)。下圖顯示幾個(gè)矩陣。
可以通過(guò)將單個(gè)元素相加來(lái)加合兩個(gè)尺寸相同的矩陣。下圖顯示了兩個(gè)矩陣相加的示例。
m×n 矩陣可與一個(gè) n×p 矩陣相乘，結(jié)果為一個(gè) m×p 矩陣。第一個(gè)矩陣的列數(shù)必須與第二個(gè)矩陣的行數(shù)相同。例如，一個(gè) 4×2 矩陣與一個(gè) 2×3 矩陣相乘，產(chǎn)生一個(gè) 4×3 矩陣。
矩陣的行列的平面點(diǎn)可視為矢量。例如，(2, 5) 是具有兩個(gè)組件的矢量，(3, 7, 1) 是具有三個(gè)組件的矢量。兩個(gè)矢量的點(diǎn)積定義如下：
(a, b) ? (c, d) = ac + bd
(a, b, c) ? (d, e, f) = ad + be + cf
例如，(2, 3) 和 (5, 4) 的點(diǎn)積是 (2)(5) + (3)(4) = 22。(2, 5, 1) 和 (4, 3, 1) 的點(diǎn)積是 (2)(4) + (5)(3) + (1)(1) = 24。請(qǐng)注意，兩個(gè)矢量的點(diǎn)積是數(shù)字，而不是另一個(gè)矢量。另外請(qǐng)注意，只有當(dāng)兩個(gè)矢量的組件數(shù)相同時(shí)，才能計(jì)算點(diǎn)積。
將 A(i, j) 作為矩陣 A 中第 i 行、第 j 列的項(xiàng)。例如，A（3, 2）是矩陣 A 中第 3 行、第 2 列的項(xiàng)。假定 A、B 和 C 是矩陣，且 AB = C，則 C 的項(xiàng)計(jì)算如下：
C(i, j) =（A 的第 i 行）?（B 的第 j 列）
下圖顯示了矩陣相乘的幾個(gè)示例。
以第二個(gè)等式為例，假設(shè)等式兩邊的矩陣分別是a、b、c，1 * 3的矩陣和3 * 2的矩陣相乘，得到的結(jié)果為1 * 2的矩陣。
其中c[0][0] = a[0][0] * b[0][0]+a[0][1] * b[1][0]+a[0][2] * b[2][0]，c[0][1]=a[0][0] * b[0][1]+a[0][1] * b[1][1]+a[0][2] * b[2][1]。
矩陣的加法、乘法，可以用來(lái)做坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。我們通常使用3 * 3(如果不需要旋轉(zhuǎn)，則2*2的矩陣即可)的矩陣來(lái)做平面上的各種坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，包括x/y軸的平移、旋轉(zhuǎn)?，F(xiàn)在來(lái)看一個(gè)簡(jiǎn)單的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的例子：假設(shè)我們的客戶(hù)區(qū)分辨率是100 * 100，要在客戶(hù)區(qū)中心點(diǎn)畫(huà)一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是(x, y)?，F(xiàn)在如果我們調(diào)整了客戶(hù)區(qū)分辨率為400 * 300，此時(shí)如果還需要保持這個(gè)點(diǎn)的相對(duì)位置不變，計(jì)算他的坐標(biāo)應(yīng)該是(x * 400 / 100, y * 300 / 100)。這個(gè)計(jì)算過(guò)程很簡(jiǎn)單，那么用矩陣操作應(yīng)該如何來(lái)實(shí)現(xiàn)呢？
我們將這個(gè)點(diǎn)視為一個(gè)1 * 2的矩陣，將其乘以一個(gè)2 * 2的矩陣，得出的仍然是一個(gè)1 * 2的矩陣，就是新的坐標(biāo)了。由于屏幕分辨率在x、y軸分別擴(kuò)大為原來(lái)的4倍和3倍，那么我們只要將點(diǎn)的x、y軸坐標(biāo)都擴(kuò)大到原來(lái)的4、3倍即可。公式如下：
等式左邊的第二個(gè)矩陣，就是用來(lái)實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的矩陣。其中b[0][0]就是x軸的擴(kuò)大倍數(shù)，b[1][1]就是在y軸上的擴(kuò)大倍數(shù)。這里面b[0][1]和b[1][0]永遠(yuǎn)是0。坐標(biāo)系的這種轉(zhuǎn)換，叫做線(xiàn)性變換。
OK?？赐赀@個(gè)例子，是不是覺(jué)得用矩陣比直接計(jì)算還麻煩？嗯，對(duì)于這種簡(jiǎn)單的情況是這樣的。不過(guò)別急，繼續(xù)看坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)的情況，如果現(xiàn)在要求這個(gè)客戶(hù)區(qū)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30度，要保持這個(gè)點(diǎn)的相對(duì)位置不變，他的新坐標(biāo)應(yīng)該是多少呢？
普通的計(jì)算的公式就不陳述了，這就是個(gè)初中幾何題目。我們直接來(lái)看怎樣通過(guò)矩陣操作實(shí)現(xiàn)。首先看公式：在二維空間中，旋轉(zhuǎn)可以用一個(gè)單一的角 θ 定義。作為約定，正角表示逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。關(guān)于原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) θ 的矩陣是:
也就是說(shuō)，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30度的新坐標(biāo)就是：
當(dāng)然，除此之外，坐標(biāo)系還有平移，但是這個(gè)就簡(jiǎn)單了，只是一個(gè)簡(jiǎn)單的矩陣加法。比如(x, y)向右平移一個(gè)單位，用矩陣就是[x, y] + [1, 0]就是是(x + 1, y)。
下圖顯示了應(yīng)用于點(diǎn) (2, 1) 的幾個(gè)變換：
前圖中顯示的所有變換都是線(xiàn)性變換。某些其他變換（如平移）不是線(xiàn)性的，不能表示為與 2×2 矩陣相乘的形式。假定您要從點(diǎn) (2, 1) 開(kāi)始，將其旋轉(zhuǎn) 90 度，在 x 方向?qū)⑵淦揭?3 個(gè)單位，在 y 方向?qū)⑵淦揭?4 個(gè)單位?？赏ㄟ^(guò)先使用矩陣乘法再使用矩陣加法來(lái)完成此操作。
后面跟一平移（與 1×2 矩陣相加）的線(xiàn)性變換（與 2×2 矩陣相乘）稱(chēng)為仿射變換，如上圖所示。放射變換（先乘后加）可以通過(guò)乘以一個(gè)3*3的矩陣來(lái)實(shí)現(xiàn)，若要使其起作用，平面上的點(diǎn)必須存儲(chǔ)于具有虛擬第三坐標(biāo)的 1×3 矩陣中。通常的方法是使所有的第三坐標(biāo)等于 1。例如，矩陣 [2 1 1] 代表點(diǎn) (2, 1)。下圖演示了表示為與單個(gè) 3×3 矩陣相乘的仿射變換（旋轉(zhuǎn) 90 度；在 x 方向上平移 3 個(gè)單位，在 y 方向上平移 4 個(gè)單位）：
在前面的示例中，點(diǎn) (2, 1) 映射到了點(diǎn) (2, 6)。請(qǐng)注意，3×3 矩陣的第三列包含數(shù)字 0，0，1。對(duì)于仿射變換的 3×3 矩陣而言，情況將總是如此。重要的數(shù)字是列 1 和列 2 中的 6 個(gè)數(shù)字。矩陣左上角的 2×2 部分表示變換的線(xiàn)性部分，第 3 行中的前兩項(xiàng)表示平移。
在使用3 * 3的矩陣做仿射變換時(shí)候，表示點(diǎn)的矩陣變成了一個(gè)1 * 3矩陣，這個(gè)矩陣中的最后一個(gè)值（a[0][2]）必須設(shè)置成1。對(duì)于3 * 3矩陣b，其最后一列的值是多少是沒(méi)有關(guān)系的，因?yàn)樗麄儾粫?huì)影響結(jié)果中的前兩列。不過(guò)如上，經(jīng)常將他們?cè)O(shè)置為0，0，1。這一列對(duì)于坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的結(jié)果并沒(méi)有任何影響，但是他們是必須的，因?yàn)榫仃囅喑吮仨殱M(mǎn)足開(kāi)篇所講的“相乘的兩個(gè)矩陣第一個(gè)矩陣的列數(shù)必須與第二個(gè)矩陣的行數(shù)相同”。
矩陣類(lèi)“Matrix”
在.Net Framework中，又一個(gè)矩陣類(lèi)“Matrix”。其內(nèi)置了點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換（TransformPoints）、平移（Translate）、縮放（Scale）、旋轉(zhuǎn)（Rotate）方法。下面的示例創(chuàng)建了復(fù)合變換（先旋轉(zhuǎn) 30 度，再在 y 方向上縮放 2 倍，然后在 x 方向平移 5 個(gè)單位）的矩陣：
Matrix myMatrix = newMatrix();
myMatrix.Rotate(30);
myMatrix.Scale(1, 2, MatrixOrder.Append);
myMatrix.Translate(5, 0, MatrixOrder.Append);
除了Matrix類(lèi)以外，.Net Framework中也有其他用于坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的類(lèi)，比如System.Drawing.Graphics。具體用法請(qǐng)查閱相關(guān)文檔。
以上只是利用矩陣進(jìn)行平面坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的方法。如果是三位坐標(biāo)系，也是可以利用矩陣來(lái)操作的，但Matrix類(lèi)不行，因?yàn)槠浔旧淼亩ㄎ痪褪恰胺庋b表示幾何變換的 3 x 3 仿射矩陣”。
附上幾個(gè)三維空間的旋轉(zhuǎn)公式：
上面是分別繞單個(gè)軸旋轉(zhuǎn)的公式。復(fù)雜的旋轉(zhuǎn)可以通過(guò)這三個(gè)公式組合而成，任何 3 維旋轉(zhuǎn)矩陣都可以用這三個(gè)角 θx, θy, 和 θz 來(lái)刻畫(huà)，并且可以表示為 roll, pitch 和 yaw 矩陣的乘積。
