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直方圖均衡化（HE）

直方圖均衡化是最簡(jiǎn)單、最方便的低亮度圖片增強(qiáng)的算法。

HE通過(guò)拉伸圖片直方圖的分布，使得圖片的直方圖均勻的分布在[0,255] (8bit圖像)，從而增強(qiáng)圖片的全局對(duì)比度。

適用范圍

對(duì)圖像前景和背景都非常暗（或非常亮）的圖片很有用。

缺點(diǎn)

容易增加背景噪聲的對(duì)比度，并且降低有用信號(hào)的對(duì)比度。
容易造成局部圖片過(guò)飽和。

保持亮度的動(dòng)態(tài)直方圖均衡化（Brightness Preserving Dynamic Histogram Equalization：BPDHE）

在增強(qiáng)圖片對(duì)比度的時(shí)候，需要保持增強(qiáng)后的圖片與增強(qiáng)前的圖片在亮度上是相同的

適用高斯濾波器平滑直方圖

由于數(shù)字圖像的直方圖并不是平滑的，會(huì)出現(xiàn)比較大的波動(dòng)，以及會(huì)在某些數(shù)字上有所缺失，所以在直方圖進(jìn)行下一步處理前，需要先對(duì)直方圖進(jìn)行一個(gè)預(yù)處理。

使用線性插值方法補(bǔ)齊直方圖上的缺損數(shù)值。
使用一維高斯濾波器對(duì)直方圖進(jìn)行濾波。

$G(x)=\exp \left(-x^{2} / 2 \sigma^{2}\right)$
其中 $x$ 是相對(duì)于kernel中心位置的坐標(biāo)， $\sigma$ 是標(biāo)準(zhǔn)差。
文章中使用的kernal大小為 $1\times9$ ， $\sigma$ 的大小為1.0762。

檢測(cè)平滑后直方圖局部最小值的位置

計(jì)算直方圖的一階導(dǎo)數(shù)。
由于直方圖的一階導(dǎo)數(shù)依然可能出現(xiàn)一些不平滑的現(xiàn)象，為此在尋找最小值之前，需要在進(jìn)行一步預(yù)處理。

change +-+ to +++
change -+- to ---

尋找局部的最小值

the local maximums are detected as the points where four successive negative signs are followed by eight successive positive sign

將每局部最小值之間的每一部分映射到一個(gè)新的動(dòng)態(tài)范圍內(nèi)

假設(shè) $m_0, m_1, .......,m_n$ 對(duì)應(yīng)于上述 $n+1$ 個(gè)局部最大值的灰度值。
則這 $n+1$ 個(gè)局部最大值可以將圖像的直方圖分割為：
$[I_{min},m_0],[m_0+1,m_1],......,[m_n,I_{max}]$
現(xiàn)在我們將這些子直方圖的范圍映射到新的動(dòng)態(tài)范圍，映射的方法如下：
$span_{i}=high_{i}-low_{I}$

$factor_{i}=span_{i} \times \log _{10} M$

$range_{i}=(L-1) \times factor / \sum_{k=1}^{n+1} factor _{k}$

其中 $high_i$ 是每個(gè)子直方圖 $i$ 中最高的像素值， $low_i$ 是每個(gè)子直方圖中最低的像素值，M是該子直方圖中所有像素的數(shù)目。

對(duì)于映射后的子直方圖的范圍，可由下式計(jì)算得到：
$start_{i}=\sum_{k=1}^{i-1} range_{k}+1$

$end_{i}=\sum_{k=1}^{i} range_{k}$

均衡化每個(gè)子直方圖

對(duì)于每一個(gè)子直方圖 $[start_i,end_i]$ ，我們使用以下公式得到每個(gè)像素值對(duì)應(yīng)的輸出
$y(x) = start_i+(end_i-start_i)\sum^x_{k=start_{I}}\frac{n_k}{M}$
其中 $n_k$ 對(duì)應(yīng)于像素值
為 $k$ 的像素?cái)?shù)量， $M$ 為該子直方圖所包含的像素總量。

歸一化圖像的亮度

計(jì)算均衡化之前和之后圖像的平均亮度 $M_{i}$ 和 $M_{o}$ 。
用下的公式對(duì)均衡后的圖像進(jìn)行歸一化：
$g(x, y)=\left(M_{i} / M_{o}\right) f(x, y)$
其中 $g(x,y)$ 是最終的輸出圖像， $f(x,y)$ 是均衡化后的圖像。
這一步做的目的是保持增強(qiáng)前的輸入圖片與輸出圖片有著相同的亮度。