1. Monte Carlo 模擬：
特點：
隨機抽樣
獨立
計算量大
相對于historic simulation method（nonparametric method）更精確
可用于任何概率分布，任何情況
generate the data according to the desired data generating process（DGP）
Sampling error：標準誤
Sx=根號下 [Var（X）/ N]
N代表重復(fù)次數(shù)the number of replication
置信區(qū)間：[x拔 - z*Sx，x拔 + z*Sx]
short option → extreme loss → Var（x）↑ → Sx ↑
降低標準誤的方法：
① N ↑：
但是N有可能高到無法令人接受
②對偶變量法：
antithetic variates：
取補集complement，平行模擬 parallel simulation
x拔=（x1+x2）/ 2
Var（x拔）= [? var（x1）+ var（x2）+ 2Cov（x1，x2）] / 4
不用對偶變量法時：
因為x1，x2獨立，所以Cov=0
即Var（x拔）= [? var（x1）+ var（x2）] / 4
用對偶變量法時：
rou（x1，x2） ＜ 0
Cov（x1，x2）＜0
Var ’（x拔）＜ Var（x拔）
③控制變量法：
control variates：
control variable have a high correlation （similar to that used in? the simulation），but which properties are known prior to the simulation.
add values that are mean 0.
x* = y +（x^ - y^）
Var（x*）= Var（x^）+? Var（y^）-? 2Cov（x^，y^）
要降低抽樣誤差，即Var（x*）＜? Var（x^）
即Var（y^）-? 2Cov（x^，y^）＜ 0
2. Boostraping 方法：重抽樣方法
特點：
generate simulated data
sampling repeatedly
和simulation一樣都充分利用了observed data
區(qū)別：
Monte Carlo：
使用observed data來估計key model parameters，比如mean、standard deviation。并且作出關(guān)于它們分布的假設(shè)an assumption of the distribution。
Bootstrapping ：
直接使用observed data 來模擬出一個有相似特征的sample 。不需要模擬 observed data，也不需要作出關(guān)于它們分布的假設(shè)。
One Simple Fact：
反復(fù)抽樣的分布來源于已觀察的數(shù)據(jù)
方法：
①iid method：
observations互相獨立，無自相關(guān)性
②Circular Block Bootstrap：（CCB）
financial data 有自相關(guān)性
block size = 根號下 sample size
Limitations：
過去不能反映未來（太過依賴歷史數(shù)據(jù)）
bootstrapping不能產(chǎn)生在樣本中沒有出現(xiàn)的數(shù)據(jù)
bootstrapping和simulation都會遭受“黑天鵝”（“Black Swan” problem）事件
（a good statistical model：應(yīng)該允許the probability of future losses 大于 have realized in? the past）
Ineffective Situations：
①outliers的發(fā)生和發(fā)生頻率
②bootstrapping假設(shè)數(shù)據(jù)互相是獨立的，而實際上這明顯不成立。因為數(shù)據(jù)有自相關(guān)性。
3. Random Number Generation：
類型：
①truly random number真隨機數(shù)：
time consuming and difficult
②pseudorandom number偽隨機數(shù)：
computer-generated random number are in fact not random at all
formula公式/算法
最簡單的類型：
從uniform distribution N（0，1）中抽取
equal chance
以初始值initial value（seed）開始
解決辦法：
初始值會影響the characteristics of generation distribution，開始影響很大，最后消失
generate more random number than required and discard previous observations
Random number reusage：
優(yōu)點：reduce the variability of the difference in? the estimates across experiments.
缺點：
①不會提高數(shù)據(jù)的精確性
②不太可能節(jié)省大量的時間
Disadvantages of simulation：
①large replications，expensive computationally
②DGP（data generating process）的不切實際的假設(shè)，導(dǎo)致模擬結(jié)果less precise
③results hard to replicate
④results are experiment-specific
