大物 十五講 高斯定理 張云愷

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知識點

  • 電通量

  • 高斯定理

    • 高斯面
    • 矢量積分轉(zhuǎn)化為標量積分
    • Q_內(nèi)

  • 平面對稱的電場

  • 球?qū)ΨQ帶電體的電場

    • (a)做通過某場點的同心球面作為高斯面，隨后將對該面應(yīng)用高斯定理：\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q_{\text{內(nèi)}}}{\epsilon_{0}}；
    • (b)公式中Q_{\text{內(nèi)}}是指的這個高斯面所包圍的體積內(nèi)部的總電量。一定要想清楚電荷到底是如何分布的。在復(fù)雜的問題中，往往需要借助電荷密度來求解。
    • (c) 設(shè)該場點的電場強度，大小為E，則該面的電通量必然為E\cdot4\pi r^{2}，其中4\pi r^{2}是高斯球面的面積。
    • (d)于是得到核心方程：E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{內(nèi)}}}{\epsilon_{0}}，解出E 即可。

  • 軸對稱帶電體的電場

    • (a)通過該場點做同軸圓柱作為高斯面，隨后將對該面應(yīng)用高斯定理：\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q_{\text{內(nèi)}}}{\epsilon_{0}}；
    • (b)公式中Q_{\text{內(nèi)}}是指的這個高斯面所包圍的體積內(nèi)部的總電量。一定要想清楚電荷到底是如何分布的。在復(fù)雜的問題中，往往需要借助電荷密度來求解。
    • (c) 設(shè)該場點的電場強度，大小為E，則該面的電通量必然為E\cdot2\pi rh，其中2\pi rh是高斯面(圓柱)的側(cè)面積。
    • (d)于是得到核心方程：E\cdot2\pi rh=\frac{Q_{\text{內(nèi)}}}{\epsilon_{0}}，解出E 即可。

表達題

  • 一個非閉合面的電通量，其直觀物理意義是貫穿某個面(比如一張紙，一面是紅色，一面是黑色)的電場線的條數(shù)。注意，這里的貫穿，是指的從一面紅色，從黑色穿出；即：電場線必須跟那張紙發(fā)生“交叉”，而不能是平行。則在勻強電場(E)中，如圖所示的半徑為R，高度為H的半圓筒，圓筒的軸線與電場線平行。則其電通量為( )

解答：0.

  • 一個閉合面的電通量，其直觀物理意義是穿出、 穿入它的電場線的次數(shù)。注意，穿出為正貢獻、穿入為負貢獻。則如圖所示，,則其電通量為( )

解答：

  • 勻強電場中，平面的電通量的計算式為：
  • 電通量的積分表達式為：
  • 高斯定理的公式是\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q}{\epsilon_{0}}。如圖所示有三個點電荷，分別為q_{1},q_{2},q_{3}。我們畫一個封閉的曲面，將q_{1},q_{2}圍在里面，而讓q_{3}呆在該封閉曲面的外圍。在此情形下，請分析高斯定理中的各項。

解答：封閉曲面的通量跟______有關(guān)，跟_____無關(guān)。
Q=_________。
根據(jù)場強疊加原理，任一點的\vec{E}跟_____________有關(guān)。

  • 所有無限大的均勻帶電的平面或平板，以及由它們彼此平行合成的各種組合體，均簡稱“平面帶電體”。畫圖描述這類帶電體的場強特征：

解答：

  • 任何無限大均勻帶電平板，做圖示的高斯面，則其通量\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}計算出來必然為

解答：

  • “平板帶電體”求電場\vec{E}的思路是：(a)通過某場點，在平板兩邊對稱地做一個圓柱型表面作為高斯面，隨后將對該面應(yīng)用高斯定理：\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q_{\text{內(nèi)}}}{\epsilon_{0}}；
    (b)公式中Q_{\text{內(nèi)}} 指的這個高斯面所包圍的體積內(nèi)部的總電量。一定要想清楚電荷到底是如何分布的。在復(fù)雜的問題中，往往需要借助電荷密度來求解。
    (c) 設(shè)該場點的電場強度，大小為E，則該面的電通量必然為2ES，其中S是圓柱型表面的底面積。
    (d)于是得到核心方程：2ES=\frac{Q_{\text{內(nèi)}}}{\epsilon_{0}}，解出E 即可。
    現(xiàn)在有一個均勻帶電的平板，電量體密度為\rho，平板的厚度是D。我們想求出該平板外部，距離中心為x處的場點的電場(x>D/2)。我們過該點，做圖示的高斯面。設(shè)該點電場大小為E，則核心方程可能為：

解答：

  • 現(xiàn)在有一個均勻帶電的平板，電量體密度為\rho，平板的厚度是D。我們想求出該平板內(nèi)部，距離中心為x處的場點的電場(x<D/2)。我們過該點，做圖示的高斯面。設(shè)該點電場大小為E，則核心方程可能為：

解答：

  • 無限大均勻帶電平面，電荷面密度為\sigma，則其電場為

解答：
\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}=ES+ES+0=2ES=\frac{\sigma{S}}{\epsilon_0}
即 E=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}

  • 組合帶電體的場強請用疊加原理?？紤]如圖的“組合帶電體”：由一個平面(電荷面密度\sigma)和一個平板(電荷體密度\rho)進行平行組合而成。則P點的場強為( ) ","

解答：

  • 所有均勻帶電的球體，球殼，球面，以及由它們合成的各種“同心”組合體，均叫做“球?qū)ΨQ帶電體”。請畫圖表示這類帶電體的場強特征

提示：距離球心為r的各點，場強的大小都相等，并且方向一定在徑向(球心——場點連線方向)上。

  • 某半徑為R的均勻帶電實心球體，設(shè)某場點到球心的距離是r，場強的大小是E?，F(xiàn)在做半徑為r的虛擬球面(高斯面)，則該面的電通量\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}為( )

解答：

  • 現(xiàn)在有一個均勻帶電的球殼，總電量為Q，球殼的半徑是R，球殼厚度可以忽略。我們想求出該球殼內(nèi)部，距離球心為r的M處的電場(r<R)。我們過該點，做半徑為r 的同心球面作為高斯面。設(shè)該點電場大小為E，則核心方程可能為：
    (1) E\cdot4\pi r^{2}=\frac{0}{\epsilon_{0}}
    (2) E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Q}{\epsilon_{0}}
    (3) E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Qr^{2}}{\epsilon_{0}R^{2}}
    (4) E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Qr}{\epsilon_{0}R}
    解出電場來，觀察其規(guī)律可能為：(請理解、歸納、記憶)
    (5) 均勻帶電的薄球殼，內(nèi)部場強為零。
    (6) 均勻帶電的薄球殼，內(nèi)部場強不為零。
    進而借助疊加原理思考：有厚度的空心帶電球體，空腔里的場強為
    (7) 零。
    (8) 不一定。
    則正確的是( )

解答：

  • 現(xiàn)在有一個均勻帶電的球殼，總電量為Q，球殼的半徑是R，球殼厚度可以忽略。我們想求出該球殼外部，距離球心為r的N處的電場(r>R)。我們過該點，做半徑為r的同心球面作為高斯面。設(shè)該點電場大小為E，則核心方程可能為：
    (1) E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Q}{\epsilon_{0}}
    (2) E\cdot4\pi r^{2}=\frac{0}{\epsilon_{0}}
    (3) E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Qr^{2}}{\epsilon_{0}R^{2}}
    (4) E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Qr}{\epsilon_{0}R}
    解出電場來，觀察其規(guī)律可能為：(請理解、歸納、記憶)：均勻帶電薄球殼的外部場強，( )等效為球心處放一個等電量的點電荷所產(chǎn)生的電場。
    (5) 能
    (6) 不能
    進而借助疊加原理思考：有厚度的空心帶電球體，球外的場強，( )等效為球心處放一個等電量的點電荷所產(chǎn)生的電場。
    (7) 能
    (8) 不能。
    則正確的是( )

解答：

  • 現(xiàn)在有一個均勻帶電的球體，總電量為Q，球的半徑是R。我們想求出該球體外部，距離球心為r的N 處的電場(r>R)。我們過該點，做半徑為r的同心球面作為高斯面。設(shè)該點電場大小為E，則核心方程可能為：
    (1) E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Q}{\epsilon_{0}}
    (2) E\cdot4\pi r^{2}=\frac{0}{\epsilon_{0}}
    (3) E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Qr^{2}}{\epsilon_{0}R^{2}}
    (4) E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Qr}{\epsilon_{0}R}
    解出電場來，觀察其規(guī)律可能為：(請理解、歸納、記憶)
    (5) 均勻帶電球體的外部場強，等效為球心處放一個等電量的點電荷所產(chǎn)生的電場。

    (6) 均勻帶電球體的外部場強，不等效為球心處放一個等電量的點電荷所產(chǎn)生的電場。

    則正確的是( )

解答：

  • 現(xiàn)在有一個均勻帶電的球體，總電量為Q，球的半徑是R。我們想求出該球體內(nèi)部，距離球心為r的M處的電場(r<R)。我們過該點，做半徑為r的同心球面作為高斯面。設(shè)該點電場大小為E，則核心方程可能為：
    (1) E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{內(nèi)}}}{\epsilon_{0}}, with Q_{\text{內(nèi)}}=\frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^{3}}\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}=Q\cdot(\frac{r}{R})^{3}
    (2) E\cdot4\pi r^{2}=\frac{0}{\epsilon_{0}}
    (3) E\cdot4\pi r^{2}=\frac{4r^{2}}{\epsilon_{0}R^{2}}
    (4) E\cdot4\pi r^{2}=\frac{4r}{\epsilon_{0}R}
    結(jié)合以上求解過程知，均勻帶電球體內(nèi)部某場點的場強，可等效為( _ )集中到球心時產(chǎn)生的電場。<font color=""#FF0000"">(請理解、歸納、記憶)</font>
    (5) 所有電荷。
    (6) 高斯面內(nèi)所有電荷。
    則正確的是( )

解答：

  • 組合帶電體的場強請用疊加原理。在上面幾道題中，我們總結(jié)歸納了幾條直觀經(jīng)驗，具體地：
    (1) 均勻帶電的薄球殼，內(nèi)部場強為零。
    (2) 均勻帶電薄球殼的外部場強，等效為球心處放一個等電量的點電荷所產(chǎn)生的電場。
    (3) 均勻帶電球體的外部場強，等效為球心處放一個等電量的點電荷所產(chǎn)生的電場。
    (4)均勻帶電球體的內(nèi)部某場點的場強，可等效為高斯面內(nèi)所有電荷集中到球心時產(chǎn)生的電場。
    結(jié)合以上四點，考慮如圖的“組合帶電體”：由一個實心帶電球體和一個空心帶電球殼進行同心組合而成。其中，實心球體電量為Q_{1}，球殼電量為Q_{2}。應(yīng)用點電荷公式和疊加原理，得帶電體外部場點M處的電場大小為：

解答：

  • 結(jié)合以上四點，考慮如圖的“組合帶電體”：由一個實心帶電球體和一個空心帶電球殼進行同心組合而成。其中，實心球體電量為Q_{1}，球殼電量為Q_{2}。應(yīng)用點電荷公式和疊加原理，得空腔中場點P處電場大小為：

解答：

  • 如圖的“組合帶電體”：由一個實心帶電球體和一個空心帶電球殼進行同心組合而成。其中，實心球體電量為Q_{1}，球殼電量為Q_{2}。應(yīng)用點電荷公式和疊加原理，得球內(nèi)部場點N處的場強電場大小為E為：

解答：

  • 所有無限長、均勻帶電的細桿、空心圓筒、實心圓柱，以及由它們合成的各種“同軸”組合體，均叫做“圓柱型帶電體”。請圖示這類帶電體的場強特征。

提示：距離軸線為r的各點，場強的大小都相等，并且方向一定與軸線垂直。

  • 某圓柱型帶電體(紅色)，設(shè)某場點到軸線的距離是r，場強的大小是E。現(xiàn)在過該場點做一個高度為h的虛擬圓柱(藍色，高斯面)，則該面的電通量\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}為：( )

解答：

  • 現(xiàn)在有一個無限長、均勻帶電的細棒，電荷線密度為\lambda。我們想求出距離軸線(即細棒的中心線)為r的M處的電場。我們過該點，做高度為h的同軸圓柱。設(shè)該點電場大小為E，則核心方程可能為：

解答：

  • 現(xiàn)在有一個無限長、均勻帶電、半徑為R的圓柱體，電荷體密度為\rho。我們想求出帶電體外部、距離軸線(即圓柱的中心線)為r的M處的電場(r>R)。我們過該點，做高度為h的同軸圓柱面。設(shè)該點電場大小為E，則核心方程為：

解答：

  • 現(xiàn)在有一個無限長、均勻帶電、半徑為R的圓柱體，電荷體密度為\rho。我們想求出圓柱帶電體內(nèi)部、距離軸線(即圓柱的中心線)為r的M處的電場(r<R)。我們過該點，做高度為h的同軸圓柱。設(shè)該點電場大小為E，則核心方程為：

解答：

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