歷史尋根復(fù)變函數(shù)的前世今生：

歷史上第一個(gè)遇到‘虛數(shù)’即復(fù)數(shù)的人是印度的數(shù)學(xué)家Bhaskara Achary(約114-1185)他在解方程時(shí)候認(rèn)為 $x^2=-1?$ 是沒有意義的。1484年法國數(shù)學(xué)家N.ChuQuest(約1445-1500)在解方程 $x^2-3x+4=0?$ 時(shí)候得到的根是 $x=\frac 12 \pm\sqrt{\frac 49-4} ?$ ,他被這個(gè)"怪?jǐn)?shù)"弄的不知所措。1545年，意大利數(shù)學(xué)家G.Cardano(1501-1576)在解方程 $x(10-x)=40?$ 時(shí)候，把這個(gè)方程的兩個(gè)根 $5\pm\sqrt{(-15)}?$ ，從而引進(jìn)了復(fù)數(shù)。與他同時(shí)期的另一位意大利數(shù)學(xué)家Rafael Bombelli(1526-1572) 在其《代數(shù)》一書中從已知的實(shí)數(shù)運(yùn)算法則類推出了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算。
1629年，荷蘭科學(xué)家A.Girard(1595-1632)在其《代數(shù)新發(fā)明》一書中引入了符號 $\sqrt {(-1)}?$ 來表示虛數(shù)單位。稍后，法國科學(xué)家R.Descartes(1596-1632)用 $i?$ 來記 $\sqrt{(-1)}?$ ，并且第一次使用“復(fù)數(shù)”，“虛數(shù)”這些概念。1843年，瑞士科學(xué)家L.Euler(1707-1783)發(fā)現(xiàn)了著名的歐拉公式 $e^{i\varTheta}=cos\vartheta+isin\vartheta?$ 。1797年，丹麥數(shù)學(xué)家C.Wessel在坐標(biāo)平面上引進(jìn)了實(shí)軸與虛軸，使得復(fù)數(shù) $a+bi?$ 與平面上的點(diǎn)一一對應(yīng)，從而使得“復(fù)數(shù)”有了“立足之地”。
此后，愛爾蘭數(shù)學(xué)家W.R.Hamilton(1805-1965)發(fā)展了復(fù)數(shù)的一個(gè)代數(shù)解釋：每個(gè)復(fù)數(shù)都可以用一個(gè)實(shí)數(shù)對 $(a,b)?$ 表示。18世紀(jì)以后，以歐拉為首的數(shù)學(xué)家們發(fā)展起來了一門新的數(shù)學(xué)分支—復(fù)變函數(shù)論。19世紀(jì)以后，法國數(shù)學(xué)家柯西，德國數(shù)學(xué)家黎曼，威爾士特拉斯等人使復(fù)變函數(shù)論得到巨大的發(fā)展，并且廣泛地應(yīng)用到空氣動力學(xué)，流體力學(xué)，電學(xué)，熱學(xué)等等方面

寫到這里我要說點(diǎn)題外話了，情不知所起，科學(xué)家真的很偉大我真的很佩服他們，無數(shù)的科學(xué)家嘔心瀝血前赴后繼才有了科學(xué)技術(shù)才有了人類文明的繁榮昌盛，才讓我們?nèi)祟悡碛辛烁脑齑笞匀唬么笞匀坏哪芰?，我想在這里向偉大的數(shù)學(xué)家，偉大的物理學(xué)家，偉大的生物學(xué)家，一切為人類社會做貢獻(xiàn)的人致敬！

（筆者大學(xué)專業(yè)是信息與計(jì)算機(jī)科學(xué)，學(xué)了一半數(shù)學(xué)也學(xué)了一半計(jì)算機(jī)，個(gè)人認(rèn)為我還是對計(jì)算機(jī)更加的感興趣，當(dāng)然數(shù)學(xué)也感興趣但是總體而言我對計(jì)算機(jī)的熱情要高過數(shù)學(xué)，因此筆者學(xué)數(shù)學(xué)主要在吸收數(shù)學(xué)思想知道如何使用數(shù)學(xué)工具，不會去像其他人一樣把每一個(gè)證明過程都牢牢的記在心里，我只注重實(shí)用，會忽略到許多細(xì)枝末節(jié)文章有淺薄之處還請各位高抬貴手放小弟一馬！）

復(fù)變函數(shù)知識樹如下：

復(fù)變函數(shù)與積分變換.png

復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)

淺談復(fù)數(shù)：

復(fù)數(shù)的一般形式為 $z=x+iy$ 具有性質(zhì) $i^2=-1$ 顯然復(fù)數(shù)由實(shí)部（x）和虛部（y）構(gòu)成實(shí)部和虛部（x,y）很自然的對應(yīng)著直角坐標(biāo)系上的一點(diǎn)因此我們就可以把復(fù)數(shù)與向量聯(lián)系起來，如此復(fù)數(shù)的加法和減法都可以類比向量的運(yùn)算，復(fù)平面上的一個(gè)向量的模長就是其對應(yīng)復(fù)數(shù)的模設(shè)若負(fù)向量與x軸的夾角為 $\varTheta$ 則有 $\begin{cases} x=rcos\vartheta\\y=rsin\vartheta\\\end{cases}$ 于是復(fù)數(shù)又可以表示成 $z = x + iy=r(cos\vartheta+isin\vartheta)$ 又由Euler公式 $e^{i\vartheta}=cos\vartheta+isin\vartheta$ 可得 $z=re^{i\vartheta}$ 這種形式稱為復(fù)數(shù)的指數(shù)表達(dá)式

何為復(fù)變函數(shù)？

所謂復(fù)變函數(shù)形如 $\omega=f(z)$ , $z=x+iy$ 復(fù)數(shù)的函數(shù) $\omega=u+vy$ ,復(fù)變函數(shù)的英文拼寫為(Complex Variables)，所謂復(fù)變函數(shù)即為變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)。實(shí)際上 $\omega$ 的實(shí)部 $u$ 和 $v$ 往往可以表示為一個(gè)含 $x,y$ 的二元函數(shù)即 $z=u(x,y)+iv(x,y)$ ,這樣我們研究復(fù)變函數(shù)就只要分別研究復(fù)變函數(shù)所對應(yīng)的實(shí)部函數(shù) $u(x,y)$ 和虛部函數(shù) $v(x,y)$ 。

研究復(fù)變函數(shù)的tools

在數(shù)學(xué)分析或者高等數(shù)學(xué)中我們研究實(shí)變函數(shù)式通過研究函數(shù)的可導(dǎo)性，連續(xù)性，和極限來刻畫實(shí)變函數(shù)的性質(zhì)的，于是我們偉大的數(shù)學(xué)家們希望這些成熟的工具拿過來刻畫復(fù)變函數(shù)，實(shí)踐證明這是可行的，實(shí)際上我認(rèn)為數(shù)學(xué)家們研究復(fù)變函數(shù)并不僅僅是因?yàn)閿?shù)學(xué)游戲好玩興趣使然才驅(qū)使數(shù)學(xué)家絞盡腦汁的去研究這么個(gè)東西，而是因?yàn)?9世紀(jì)-20世紀(jì)物理學(xué)的蓬勃發(fā)展因?yàn)楫?dāng)時(shí)的科學(xué)技術(shù)需要才催生出的這么一門學(xué)科，如果解決了復(fù)數(shù)問題，那么生活中的許多問題都可以迎刃而解了。數(shù)學(xué)本就是和藝術(shù)一樣源于生活又高于生活但是卻與生活息息相關(guān)的一門科學(xué)，而不是什么披著宗教外衣的偽科學(xué)。

解析函數(shù)的概念與解析的充要條件

毫無疑問要想把復(fù)變函數(shù)像實(shí)變函數(shù)那樣研究并且希望找到實(shí)變函數(shù)與復(fù)變函數(shù)橋梁把二者聯(lián)系起來，那么復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性與可導(dǎo)性，復(fù)變函數(shù)的積分性質(zhì)以及復(fù)變函數(shù)在級數(shù)上的表實(shí)就必須弄清

復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性質(zhì)

上文已經(jīng)提到過了要研究復(fù)變函數(shù)的性質(zhì)只需要研究復(fù)變函數(shù)的虛部函數(shù) $u(x,y)$ 和虛部函數(shù) $v(x,y)$ 的性質(zhì)。
復(fù)變函數(shù)在某一點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件:
虛部函數(shù) $v(x,y)$ 與實(shí)部函數(shù) $u(x,y)$ 在某一點(diǎn)可微且滿足Cauchy-Rieman方程： $\frac {\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} and \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac {\partial v}{\partial x}$
復(fù)變函數(shù)解析的概念：
如果復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)且在這點(diǎn)的一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱復(fù)變函數(shù)在這一點(diǎn)解析（注意復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)未必解析即可導(dǎo)是解析的必要不充分條件），如果復(fù)變函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo)則稱復(fù)變函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析。
復(fù)變函數(shù)在區(qū)域D解析的充要條件：
如果復(fù)變函數(shù)的實(shí)部函數(shù)與虛部函數(shù)在D內(nèi)處處可微且滿足柯西—黎曼方程那么稱復(fù)變函數(shù) $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 為區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)。
Laplace方程的導(dǎo)出：
因?yàn)榻馕龊瘮?shù)滿足Cauchy-Rieman條件，由于解析函數(shù)可以求N階導(dǎo)數(shù)，把柯西-黎曼方程:
$\begin{cases} \frac {\partial u}{\partial x} =\frac {\partial v}{\partial y}\\ \frac {\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} \end{cases}$
兩式分別關(guān)于 $x,y$ 求導(dǎo)后可以導(dǎo)出Laplace： $\frac {\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac {\partial^2 u}{\partial y^2}=0$ 同理 $\frac {\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac {\partial^2 v}{\partial y^2}=0$ ，我們把滿足Laplace方程的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù)，顯然解析函數(shù)的實(shí)部函數(shù)和虛部函數(shù)是調(diào)和函數(shù)，于是數(shù)學(xué)家們把滿足C-R條件的一對調(diào)和函數(shù)稱為共軛調(diào)和函數(shù)，事實(shí)上一對共軛調(diào)和函數(shù)也可以構(gòu)成一個(gè)解析函數(shù)，于是我們又得到復(fù)變函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析的一個(gè)充要條件即：復(fù)變函數(shù)的實(shí)部函數(shù)和虛部函數(shù)是一對共軛調(diào)和函數(shù)。于是我們只要知道一個(gè)調(diào)和函數(shù)我們就可以根據(jù)這個(gè)調(diào)和函數(shù)由柯西-黎曼條件我們就可以求出與已知的調(diào)和函數(shù)共軛的另一個(gè)調(diào)和函數(shù)，并且可以把這一對共軛調(diào)和函數(shù)組合成一個(gè)解析函數(shù)。
復(fù)初等函數(shù)：
因?yàn)閷?shí)變函數(shù)與復(fù)變函數(shù)的主要差別就在與復(fù)變函數(shù)的變量為復(fù)數(shù)事變函數(shù)的為實(shí)數(shù)，總所周知在實(shí)變函數(shù)中許多的函數(shù)都是由初等函數(shù)復(fù)合而成，由此我們不難想象許多的復(fù)變函數(shù)也是由復(fù)初等函數(shù)復(fù)合而成的，因此認(rèn)識清楚復(fù)變函數(shù)的初等函數(shù)也是由必要的，下面我只列舉出復(fù)初等函數(shù)的形式，因?yàn)楸容^簡單，在這里不做過多的敘述。
$\begin{cases} 指數(shù)復(fù)函數(shù)：e^z\\ 對數(shù)復(fù)函數(shù)：z=e^{\omega},\omega=lnz\\ 冪復(fù)函數(shù)：\omega=z^\alpha,\omega=e^{\alpha lnz}\\ 三角復(fù)函數(shù)：e^{iy}=cosy+isiny,cosy=\frac 12(e^{iy}+e^{-iy}),siny=\frac {1}{2i}(e^{iy}+e^{-iy}) \end{cases}$
上面研究的復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)性與解析性讓我們對復(fù)變函數(shù)有了一個(gè)初步的了解，本質(zhì)上就是把實(shí)變函數(shù)的性質(zhì)在復(fù)變函數(shù)上推廣，數(shù)學(xué)家們研究復(fù)變函數(shù)也是為了解決實(shí)際問題的，許多在實(shí)變函數(shù)上面問題用現(xiàn)有的實(shí)變函數(shù)上面的性質(zhì)解決的話要么就是過于復(fù)雜計(jì)算困難，要么就是用實(shí)變函數(shù)根本無法啊解決，因此數(shù)學(xué)家門希望從復(fù)變函數(shù)上面找到突破口，成為解決實(shí)際問題的一種新的方法，實(shí)際上實(shí)變函數(shù)于復(fù)變函數(shù)有著很自然的聯(lián)系，這正好從哲學(xué)上應(yīng)驗(yàn)了萬事萬物或多或少都存在著聯(lián)系
上面的知識都只是把實(shí)變函數(shù)的某些性質(zhì)實(shí)在復(fù)變函數(shù)上面做簡單的推廣只是簡單的從函數(shù)的角度來刻畫復(fù)變函數(shù)，下面將展示如何從數(shù)的角度來刻畫復(fù)變函數(shù)

復(fù)變函數(shù)的積分性質(zhì)

積分公式的推導(dǎo)：
容易 $f(z)=u(x,y)+i(x,y)$ 是C上的連續(xù)函數(shù)，且復(fù)積分 $\int_c f(z)dz$ 存在，則： $\int_cf(z)dz=\int_cu(x,y)dx-v(x,y)dy+i\int_cv(x,y)dx+u(x,y)dy$
設(shè)曲線C的參數(shù)方程是 $x=x(t),y=y(t),(a\leqslant t \leqslant b)$
將參數(shù)方程帶入導(dǎo)出可得 $\int_Cf(z)dz=\int^b_af[z(t)]z^\prime(t)dt$
單連通區(qū)域的柯西積分公式：
如果函數(shù) $f(z)$ 在單連通區(qū)域D解析，則 $f(z)$ 在D內(nèi)沿任一簡單曲線C的積分： $\oint_Cf(z)dz=0$
證由格林公式： $\oint_Cf(z)dz=\oint_Cudx-vdy+i\oint vdx+udy=-\underset{D}\iint(\frac {\partial v}{\partial x}+\frac {\partial u}{\partial y})dxdy+i\underset{D}\iint(\frac {\partial u}{\partial x}-\frac {\partial v}{\partial y})$
又由C-R條件則得： $\oint_Cf(z)dz=0$
柯西積分公式是在單連通區(qū)域內(nèi)才滿足，如果是多連通區(qū)域又怎么計(jì)算簡單曲線的積分？如果不是單連通區(qū)域我們只需要做輔助線把多連通區(qū)域變成單連通區(qū)域即可，由此就得到在多連通區(qū)域上的復(fù)合閉路定理： $\oint_Cf(z)dz=\sum\limits_{k=1}^{n}{\oint_{C_k}f(z)dz}$ ,特別的如果D是由內(nèi)外兩條閉路 $C$ , $C_1$ 圍成的環(huán)形區(qū)域，而 $f(z)$ 在D內(nèi)及其邊界上是解析的，則有 $\oint_Cf(z)dz=\oint_{C_1}f(z)dz$
柯西積分公式：
設(shè)函數(shù) $f(z)$ 在簡單閉曲線C上及其D內(nèi)部是解析的， $z_0$ 是D內(nèi)的任意一點(diǎn)則： $f(z_0)=\frac {1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{z-z_0}dz$ (1)
這個(gè)公式是由復(fù)合閉路定理推導(dǎo)而來，其思想是以 $z_0$ 為中心做一個(gè)小圓周K其半徑為r，由復(fù)合閉路定理有： $\oint_C \frac{f(z)}{z-z_0}dz=\oint_K \frac{f(z)}{z-z_0}dz$ ,當(dāng)小圓周K的半徑 $r \rightarrow 0$ 時(shí)候 $\oint_K \frac{f(z)}{z-z_0}dz \rightarrow \oint_K \frac{f(z_0)}{z-z_0}dz$ 而 $\oint_K \frac{1}{z-z_0}dz=2\pi i$ 即求得一式，當(dāng)然這只是思想，證明還需要嚴(yán)格的推理，這里不做敘述。
高階導(dǎo)數(shù)公式
$f^{(n)}(z_0)=\frac {n!}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}$ ,證略
復(fù)數(shù)冪級數(shù)：
解析函數(shù)的泰勒展開定理：
函數(shù) $f(z)$ 在區(qū)域D內(nèi)解析， $z_0$ 是區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)R為 $z_0$ 到D邊界的最短距離則當(dāng) $|z-z_0|\lt R$ 時(shí)候有
$f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n,a_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz=\frac {f^n(z_0)}{n!}$
復(fù)冪級數(shù) $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n$ 如果收斂，一定在某一個(gè)圓域內(nèi)收斂于一個(gè)解析函數(shù)，解析函數(shù)在解析域內(nèi)也能夠展開成一個(gè)復(fù)冪級數(shù)，由此可見復(fù)冪級數(shù)于解析函數(shù)之間有著天然的聯(lián)系
洛朗級數(shù):
解析函數(shù)可以展開成冪級數(shù)這是一個(gè)不爭的事實(shí)，但是在現(xiàn)實(shí)生活中的問題往往是函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)不解析但是在這個(gè)點(diǎn)附近的圓盤區(qū)域內(nèi)解析，此時(shí) $f(z)$ 不能用含有 $z-z_0$ 的冪級數(shù)展開。
我們稱形如 $\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n$ 的級數(shù)稱之為洛朗級數(shù)。數(shù)學(xué)家們證明了洛朗級數(shù)的收斂區(qū)域?yàn)閳A環(huán)而且 $f(z)$ 在圓環(huán)區(qū)域D： $R_1 \lt |z-z_0| \lt R_2$ 內(nèi)解析則 $f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n$ ,其中 $a_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz,(n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots)$ 這里的C為圓環(huán)區(qū)域內(nèi)的任意的圓周: $|z-z_0|=R,R_1 \lt R \lt R_2$
留數(shù)：
解析函數(shù)可以在圓環(huán)域內(nèi)展開為冪級數(shù)，可以在圓環(huán)域內(nèi)展開為洛朗級數(shù)。圓環(huán)的一種退化形式是一點(diǎn)的去心領(lǐng)域，當(dāng)函數(shù)在一點(diǎn)的去心領(lǐng)域內(nèi)解析而在這點(diǎn)不解析的時(shí)候這一點(diǎn)就是復(fù)變函數(shù)的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，所以洛朗級數(shù)就成為研究復(fù)變函數(shù)孤立奇點(diǎn)的一個(gè)有力工具，而解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)是解析函數(shù)論中的重要概念之一，且留數(shù)在計(jì)算上有著巧妙的運(yùn)用，復(fù)變函數(shù)在閉曲線上的積分問題可以轉(zhuǎn)化求其孤立奇點(diǎn)的留數(shù)問題。
孤立奇點(diǎn)的分類：

如果一個(gè)復(fù)變函數(shù)的在其孤立奇點(diǎn)處的洛朗展開式中不包含 $z-z_0$ 的負(fù)冪項(xiàng)，那么就稱這個(gè)奇點(diǎn)為孤立奇點(diǎn)，如果負(fù)冪項(xiàng)次數(shù)絕對值的最大值為m我們就稱這個(gè)奇點(diǎn)為m級級點(diǎn)，如果有無窮多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)那么就稱這個(gè)奇點(diǎn)為本性奇點(diǎn)。
留數(shù)的定義及計(jì)算：
函數(shù) $f(z)$ 在 $z_0$ 的去心領(lǐng)域內(nèi)解析但是在 $z_0$ 不解析，則函數(shù)在 $z_0$ 點(diǎn)可以洛朗展開， $f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}C_n(z-z_0)^n$ 其中 $C_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz$ , $C_{-1}=\frac {1}{2\pi i} \oint_C f(z)dz$ ,相當(dāng)于知道了 $C_{-1}$ 就等于知道了積分 $\oint_C f(z)dz$ 的值由此就有了留數(shù)的概念，若 $z_0$ 是 $f(z)$ 的孤立奇點(diǎn)記 $f(z)$ 在 $z_0$ 處的留數(shù)為 $Res[f(z),z_0]=\frac {1}{2\pi i}\oint_Cf(z)dz=C_{-1}$
留數(shù)定理:
C是一條正向的簡單閉曲線，若 $f(z)$ 在C上及其C的內(nèi)部D除去有限個(gè)孤立奇點(diǎn) $z_1,z_2,\cdots,z_n$ 外處處解析，那么 $\oint_Cf(z)dz=2\pi i \sum\limits_{k=1}^{n}Res[f(z),z_k]$ 定理證明由復(fù)合閉路定理。
極點(diǎn)處的留數(shù)：
如果 $z_0$ 為函數(shù) $f(z)$ 的m級級點(diǎn)則：
$Res[f(z),z_0]=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z=z_0}\frac {d^{m-1}}{dz^{m-1}}[(z-z_0)^mf(z)]$
如果 $z_0$ 為函數(shù) $f(z)$ 的一級級點(diǎn)則:
$Res[f(z),z_0]=\lim_{z=z_0}(z-z_0)f(z)$
上面的知識點(diǎn)分別從函數(shù)性質(zhì)以及數(shù)的角度刻畫了復(fù)變函數(shù)，如果想要更加形象更加直觀的刻畫復(fù)變函數(shù)毫無疑問必須從集合的角度出發(fā)，我們可以從變換和映射的角度去考慮復(fù)變函數(shù)

復(fù)變函數(shù)的幾何特性

在研究許多實(shí)際問題中，往往會遇到區(qū)域的復(fù)雜性，給問題的研究帶來困難，那么我們該怎么辦嘞？在空間解析幾何中我們學(xué)習(xí)過極坐標(biāo)變換，橢球面變換，球面變換，這都可以簡化問題的難度從而更好的解決問題，在復(fù)變函數(shù)中我們可以利用解析函數(shù)所構(gòu)成的變換——共形映射來把復(fù)雜的問題簡單化
共形映射的概念：
共形映射顧名思義，就是經(jīng)過映射后能夠保留之前圖形的特性的映射，那么我們?nèi)绾蝸砻钄⒃窠?jīng)過映射后像保留了原像的特性嘞？偉大的數(shù)學(xué)家們想出了用保持角度不變和伸縮率的不變性（即像與原像的比例）來刻畫“共形”這一精妙絕倫的概念，所謂保角性就是原像中有交與一點(diǎn)A的兩條曲線，這兩條曲線經(jīng)過映射后任然交于一點(diǎn)，且兩條像曲線過交點(diǎn)的夾角與原像曲線中的夾角一致（注意是一致不是相等，一致包括方向大小一樣）那么就稱這種映射在A是保角的，所謂伸縮率的不變性就是原像經(jīng)過映射之后像在某一點(diǎn)的長度與原像在某一點(diǎn)的長度的極限值為一個(gè)定值與原像無關(guān)。綜合以上兩種特性就有了共形映射的概念：
如果 $\omega=f(z)$ 在 $z_0$ 的領(lǐng)域內(nèi)是一一的，在 $z_0$ 處具有保角性和伸縮率的不變性那么稱映射在 $z_0$ 是共形的如果映射在D的沒一點(diǎn)都共形即原像與像的相對位置保持不變，圖形的比列保持不變則稱 $\omega=f(z)$ 在區(qū)域D內(nèi)是共形的。
解析函數(shù)與共形映射：
如果函數(shù) $\omega=f(z)$ 在 $z_0$ 解析且 $f^\prime (z_0)\neq0$ 那么映射 $\omega=f(z)$ 在 $z_0$ 處是共形狀的，如果解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)處處不為零那么映射在D內(nèi)是共形映射。
幾個(gè)初等函數(shù)所構(gòu)成的映射：
冪函數(shù)： $\omega=z^n$ 此映射在將角形域映射成一個(gè)角形域，且在z=0處不保角。
指數(shù)函數(shù)： $\omega=e^z$ 吃映射將X=常數(shù)直線映射成圓周，將Y=常數(shù)映射成射線，將水平帶形域映射成角形域
研究復(fù)變函數(shù)的原本目的在于解決實(shí)變函數(shù)所解決不了的問題或者是簡化實(shí)變函數(shù)的問題，上面的知識都只是把復(fù)變函數(shù)的基礎(chǔ)體系建立起來，而Fourier變換和Laplace變換才是把實(shí)變函數(shù)與復(fù)變函數(shù)聯(lián)系起來的接口

傅里葉變換與拉普拉斯變換

傅里葉變換

我們曾經(jīng)在數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)中學(xué)過Fourier級數(shù)，一個(gè)以L為周期的函數(shù) $f_L(t)$ ,如果在區(qū)間 $[-\frac{L}{2},\frac{L}{2}]$ 上面連續(xù)那么在 $[-\frac{L}{2},\frac{L}{2}]$ 上可以展開成傅里葉級數(shù)：

$f_L(t)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_ncosn\omega t+b_nsinn\omega t)$

$\omega=\frac{L}{2\pi}$ , $a_0=\frac L2\int_{-\frac L2}^{\frac L2}f_L(t)dt$ , $a_n=\frac L2\int_{-\frac L2}^{\frac L2}f_L(t)cosn\omega tdt,n=1,2,3,\cdots$ ?

$b_n=\frac L2\int_{-\frac L2}^{\frac L2}f_L(t)sinn\omega tdt,n=1,2,3,\cdots$

由歐拉公式： $cost=\frac{e^{it}+e^{-it}}{2},sint=\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}$ 將兩個(gè)式子帶入 $f_L(t)$ 可以導(dǎo)出：

$f_L(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{in\omega t},c_n=\frac1L\int^{\frac2L}_{-\frac2L}f_L(t)e^{-in\omega t}dt,n=0,\pm1,\pm2,\cdots$

上面研究的是周期函數(shù)事實(shí)上對于任何一個(gè)非周期函數(shù) $f(t)$ 都可以看成是一個(gè)由某個(gè)周期函數(shù)L的函數(shù) $f_L(t)$ 當(dāng)周期 $L\rightarrow + \infty$ 時(shí)候轉(zhuǎn)化而來的，當(dāng) $L\rightarrow +\infty$ 時(shí)候可以導(dǎo)出一個(gè)等式：

$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\mathcal{F}[f(t)](\omega)e^{i\omega t}d\omega,\mathcal{F}[f(t)](\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$

$\mathcal F[f(t)](\omega)$ 稱為函數(shù) $f(t)$ 的傅里葉變換， $f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\mathcal{F}[f(t)](\omega)e^{i\omega t}d\omega$ 稱為傅里葉逆變換

傅里葉變換的的四個(gè)性質(zhì)：線性性質(zhì)，位移性質(zhì)，微分性質(zhì)，積分性質(zhì)。

卷積的傅里葉變換：

卷積的定義：設(shè) $f,g$ 定義在 $(-\infty,\infty)$ 上，若任意的 $x\in(-\infty,+\infty)$ ,積分

$\int^{+\infty}_{-\infty}f(y)g(x-y)dy$ 收斂。則稱改積分為函數(shù) $f,g$ 的卷積記為 $f*g$ ,卷積滿足交換律與乘法對加法的分配律

卷積傅里葉定理：

$\mathcal F[f*g](\omega)=\mathcal F[f](\omega)\bullet\mathcal F[g](\omega),\mathcal F^{-1}[\mathcal F[f](\omega)\bullet\mathcal F[g](\omega)](t)=f*g(t)$

拉普拉斯變換：

如果想要求一個(gè)函數(shù)的傅里葉變換還需要函數(shù)在區(qū)間上滿足狄氏條件，以及函數(shù)在無限區(qū)間上絕對可積，但是事實(shí)上這個(gè)條件很強(qiáng)很多的函數(shù)都不滿足，因此傅里葉變換的應(yīng)用范圍受到的限制很大，為了然積分變換更具一般性，數(shù)學(xué)家們就引入了一個(gè)新的概念Laplace變換，實(shí)際上Laplace變換是一種特殊的傅里葉變換，他只不過是把一個(gè)不滿足傅里葉條件的函數(shù)通過乘上一個(gè)衰減因子（使得函數(shù)收斂）以及乘上一個(gè)躍階函數(shù)（控制收斂區(qū)間）來使得函數(shù)滿足傅里葉變換的條件，然后把經(jīng)過改造后的函數(shù)在實(shí)行傅里葉變換于是就得到了Laplace變換的概念：

函數(shù) $f(t)$ 當(dāng) $t\geqslant 0$ 時(shí)候由定義而且積分 $\int_{0}^{+\infty}f(t)e^{-st}dt$ 在復(fù)數(shù)s的某一個(gè)區(qū)域內(nèi)收斂則此積分所確定的函數(shù)記為 $F(s)=\mathcal L[f(t)](s)=\int^{+\infty}_{0}f(t)e^{-st}dt$ 稱為函數(shù) $f(t)$ 的拉普拉斯變換， $f(t)=\mathcal L^{-1}[F(s)](t)$ 為拉普拉斯逆變換

利用留數(shù)求拉普拉斯的逆變換：

其思想大致為將乘以躍階函數(shù)與衰減函數(shù)之后的改造函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換逆變換之后就導(dǎo)出式子：

$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int^{\sigma+i\infty}_{\sigma-i\infty}F(s)e^{st}ds\cdots$ (1)

將 $f(t)$ 的積分區(qū)域變成閉曲線積分區(qū)域然后將 $f(t)$ 在新的閉曲線積分區(qū)域上積分，此時(shí)可以將積分分為兩部分，一部分為原有的積分區(qū)間積分，另一部分為新增的使得積分區(qū)間變成閉曲線的積分曲線的積分，然后在證明第二部分當(dāng)積分區(qū)間趨于無窮時(shí)候極限為零，再由函數(shù) $f(t)$ 在簡單閉曲線上的積分等于其奇點(diǎn)的留數(shù)值由此我們可以導(dǎo)出式子：

$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int^{\sigma+i\infty}_{\sigma-i\infty}F(s)e^{st}ds=\sum\limits_{k=1}^{n}Res[F(s)e^{st},s_k],s_k為f(t)在閉曲線內(nèi)部的全部奇點(diǎn)$

Laplace變換的性質(zhì)：

記 $F(s)=\mathcal L[f(t)](s),G(s)=\mathcal L[g(t)](s)$

線性性質(zhì): $\mathcal L[\alpha f(t)+\beta f(t)](s)=\alpha F(s)+\beta G(s)$

? $\mathcal L^{-1}[\alpha F(s)+\beta F(s)](t)=\alpha f(t)+\beta g(t)$

延遲性質(zhì)：對 $t_0 \gt0$ 有 $\mathcal L[f(t-t_0)](s)=e^{-st_0}F(s)$

? $\mathcal L^{-1}[e^{-st_0}F(s)](t)=f(t-t_0)$

位移性質(zhì)： $\mathcal L [e^{s_0t}f(t)](s)=F(s-s_0)$

微分性質(zhì)： $\mathcal L[f^{\prime}(t)](s)=sF(s)-f(0^+)$

? $F^{(n)}(s)=\mathcal L[(-t)^nf(t)](s)$

? $\mathcal L[f^{(n)}](s)=s^nF(S)-s^{n-1}f(0^+)-s^{n-2}f^{\prime}(0^+)-\cdots-f^{n-1}(0^+)$

積分性質(zhì)： $\mathcal L[\int^t_0f(t)dt](s)=\frac 1sF(s)且若積分\int^{\infty}_sF(s)ds收斂則\frac{f(t)}{t}的拉普拉斯變換存在且\mathcal L[\frac{f(t)}{t}](s)=\int^{\infty}_sF(s)ds$

初值定理:若 $\lim\limits_{s\rightarrow+\infty}sF(s)$ 存在則有 $f(0^+)=\lim\limits_{s\rightarrow+\infty}sF(s)$

卷積定理和傅里葉變換一致。

利用Laplace求變系數(shù)線性常微分方程的解

用Laplace變換求變系數(shù)微分方程

$ty^{\prime\prime}-(1+t)y^{\prime}+2y=t-1,y(0)=0,y^{\prime}(0)=0$ 的解

解：對微分方程兩邊求拉式變換可得

$\mathcal L[ty^{\prime\prime}]-\mathcal L[(1+t)y^{\prime}]+\mathcal L[2y]=\mathcal L[t-1]$ 令 $\mathcal L[y(t)]=Y(s)$ ,并且利用微分性質(zhì)可得

$-[s^2Y(s)-sy(0)-y^{\prime}(0)]^{\prime}-sY(s)+y(0)+[sY(s)-y(0)]^{\prime}+2Y(s)=\dfrac{1}{s^2}-\dfrac 1s$

將條件帶入可得：

$-[s^2Y(s)]^{\prime}-sY(s)+[sY(s)]^{\prime}+2Y(s)=\dfrac {1}{s^2}-\dfrac 1s$

方程整理可得：

$Y^{\prime}(s)(s-s^2)+3(1-s)Y(s)=\dfrac {1-s}{s^2}$

可解得： $Y^{\prime}(s)+\dfrac 3sY(s)=\dfrac {1}{s^3},利用一階線性非齊次微分方程公式，得$

$Y(s)=e^{-\int\frac{3}{s}ds}[\int\frac {1}{s^3}e^{\frac 3s}ds+c]=\frac{1}{s^2}+\frac{c}{s^3}$

顯然 $Y(s)只有一個(gè)三級極點(diǎn)s=0$

對方程求拉普拉斯逆變換可得：

$y(t)=\sum\limits_{k=1}^{n}Res[Y(s)e^{st},s_k]=Res[Y(s)e^{st},s=0]=\dfrac {1}{2!}\lim\limits_{s\rightarrow0}\dfrac{d^2}{ds^2}[\dfrac {1}{s^2}+\dfrac {c}{s^3}]e^{st}(s-0)^3=t+\dfrac c2t^2$