理解1
就是有的時候直接積分積不出來,然后利用積法則
即
d(uv)=u'v+uv'
兩邊積分就有
uv=∫ u'vdx+∫uv'dx
例如積∫lnxdx
不是很好直接積,但是利用分部積分就很容易
令u'=1,v=lnx
我們就有u=x
所以
xlnx=∫lnx dx+∫x*(lnx)'dx
xlnx=∫lnx dx+∫1dx
∫lnx dx=xlnx-x+C
此即為分部積分
通常寫成
∫ u'vdx=uv-∫uv'dx
理解2
設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)連續(xù)可導(dǎo),對其乘積求導(dǎo),有：
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
上式兩邊求不定積分,得：
∫[f(x)g(x)]'dx=∫f'(x)g(x)dx+∫f(x)g'(x)dx
得：
f(x)g(x)=∫g(x)df(x)+∫f(x)dg(x)
得：
∫f(x)dg(x)=f(x)g(x)-∫g(x)df(x)
寫的更通俗些
令u=f(x),v=g(x),則微分du = f'(x)dx、dv = g'(x)dx
那么∫udv=uv-∫vdu
分部積分法通常用于被積函數(shù)為冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)的乘積的形式；u=f(x)、v=g(x)的選擇也是容易積分的那個.
分部積分的本質(zhì)
原本的函數(shù)是 udv，可能積分及不出來，但是變成 vdu 之后，
有可能積出來，也有可能被積函數(shù)變得簡單了。最常見的變得
簡單，有兩個特色：對數(shù)函數(shù)消失了，或者冪次降低了。
分部積分的局限
絕大多數(shù)的積分，是無法通過分部積分積出來的。有很多定積
分是不定積分無論如何都積不出來的，一定要在特殊的定積分
的條件下才能積分，而且必須使用復(fù)變函數(shù)、積分變換之類的
特別方法才能解決。
分部積分僅僅只能解決很少的積分，積不出來，有一些可能是分部積分的技巧不到家，更大的可能性是分部積分根本無能為力的。
這里指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)可以交換順序。但是要注意：題目如果要用到多次分部積分法，那么你開始選擇了哪個函數(shù)和dx湊就要專一的一直用這個函數(shù)去湊！
