前言

筆者是一個游戲行業(yè)的程序員，讀書的時候做的基本都是native graphic library的項目，工作了反而對渲染管線細節(jié)接觸少很多，說到底還是現(xiàn)在的商業(yè)引擎都太好用了啊喂。目前絕大多數(shù)的渲染算法在github，shader toy上都能找到非常完整的實現(xiàn)，大量的內(nèi)置函數(shù)和宏隱藏了復(fù)雜的渲染細節(jié)。假如你需要修改unity自帶的復(fù)雜pbr光照，或者實現(xiàn)一個簡單的billboard shader，做為程序員為了能繼續(xù)方便的打磨別人的輪子，搞明白這些內(nèi)置函數(shù)&變量的數(shù)據(jù)計算過程就成了必要條件。

這篇文章包含了左&右手坐標(biāo)系行主序（row major）列主序（column major）左乘右乘坐標(biāo)系變換的相關(guān)推導(dǎo)和使用注意事項。

相信我，我高考數(shù)學(xué)選擇錯了一半都能搞懂，你肯定也可以。

左手坐標(biāo)系&右手坐標(biāo)系

左手坐標(biāo)系是指在空間直角坐標(biāo)系中，讓左手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指能指向z軸的正方向，則稱這個坐標(biāo)系為左手直角坐標(biāo)系。反之則是右手直角坐標(biāo)系。

left_hand_坐標(biāo)系.jpg

定義左右手坐標(biāo)系的作用：

在三維世界中，我們給定一個平面XOY，針對這個平面的旋轉(zhuǎn)角度θ就產(chǎn)生兩種情況--順時針和逆時針。所以對坐標(biāo)系使用左手與右手的命名，這種命名規(guī)則的作用就是用來方便判斷旋轉(zhuǎn)的正方向，這就是左手法則和右手法則。

針對上圖來說，在左手坐標(biāo)系下，XOY面的旋轉(zhuǎn)正方向這樣獲得：大拇指朝向z軸正方向，四指彎曲的方向就是左手坐標(biāo)系下，旋轉(zhuǎn)的正方向。所以本文的所有旋轉(zhuǎn)在給定左右手坐標(biāo)系的情況下，旋轉(zhuǎn)角度θ，就是沿著當(dāng)前坐標(biāo)系的正方向進行旋轉(zhuǎn)θ角度。

測試可知：左手坐標(biāo)下，順時針就是旋轉(zhuǎn)的正方向，右手坐標(biāo)系則正好相反

left_hand_坐標(biāo)系_標(biāo)記.jpg

ps：unity就是基于左手坐標(biāo)系的，我們可以通過簡單的代碼進行觀察物體是否沿著XOZ面順時針旋轉(zhuǎn)

    transform.rotation = Quaternion.Euler(0, 45, 0);

1. 點，向量，齊次坐標(biāo)

為了理解簡單點，本文大部分都會先考慮二維的情況，三維世界的情況其實就是二維世界的擴展

在二維世界中，點P&向量V的定義:

p=\left\{x, y, 1\right\} v=\left\{x, y, 0\right\}

這里你可能會提出兩個問題：

為什么要用三維向量去表示二維世界的P&V

為什么P的第三維度值是1，而V的第三維度值是0

1.1 二維坐標(biāo)系的Rotate Translate Scale Formula

要回答這些問題我們需要考慮這樣的問題，在二維世界中如何對點P完成平移（translate）旋轉(zhuǎn)（rotate）以及縮放（scale）操作。

考慮下圖中的點P移動到P'，有公式如下：

translation.jpg

$x' = x + t_x$ $y' = y + t_y$

考慮下圖中的點P旋轉(zhuǎn)到P'-- 在左手坐標(biāo)系下旋轉(zhuǎn)角度θ的計算公式

rotation.png

$x = R * cosΦ$ $y = R * sinΦ$

$x' = R * cos(Φ-θ) = R * cosθ * cosΦ + R * sinθ * sinΦ=x*cosθ + y * sinθ$ $y' = R * sin(Φ-θ) = R * cosθ * sinΦ - R * sinθ * cosΦ=-x*sinθ + y * cosθ$

接下來我們考慮縮放的情況，對二維坐標(biāo)系內(nèi)上X，Y軸分別進行放縮Sx，Sy，計算公式如下：
$x' = x * S_x$ $y' = y * S_y$

1.2 二維坐標(biāo)系的Rotate Translate Scale Matrix

我們接下來考慮一個問題，如何方便的把RTS運算結(jié)合在一起呢？答案就是矩陣。原因很簡單，矩陣運算天生滿足結(jié)合律，我們把上述公式轉(zhuǎn)換為矩陣運算后就可以用一個矩陣來表示RTS行為了，這為以后的復(fù)雜運算提供了便利。

根據(jù)上述的公式，我們可以很簡單的得到Rotate Matrix&Scale Matrix

Rotate Matirx in left hand coordinate
$\left[ \begin{matrix} x'\\ y' \end{matrix} \right ] = \left[ \begin{matrix} cosθ & sinθ \\ -sinθ & cosθ \end{matrix} \right] * \left[ \begin{matrix} x\\ y \end{matrix} \right]$

Scale Matirx in left hand coordinate
$\left[ \begin{matrix} x'\\ y' \end{matrix} \right ] = \left[ \begin{matrix} R_x & 0 \\ 0 & R_y \end{matrix} \right] * \left[ \begin{matrix} x\\ y \end{matrix} \right]$

在n維坐標(biāo)系中，平移矩陣需要n+1維的向量完成平移操作。所謂的齊次坐標(biāo)就是就是將一個原本是n維的向量用一個n+1維向量來表示。

Translate Matirx in left hand coordinate
$\left[ \begin{matrix} x' \\ y' \\ 1 \end{matrix} \right ] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & T_x \\ 0 & 1 & T_y \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] * \left[ \begin{matrix} x\\ y \\ 1 \end{matrix} \right ]$

注意：以上的計算公式計算結(jié)果都是在同一個坐標(biāo)系內(nèi)部的，當(dāng)我們使用XOY為basic coordinate的情況下，以上公式的計算結(jié)果都是在basic coordinate下的

進而我們把旋轉(zhuǎn)矩陣和平移矩陣也引入齊次坐標(biāo)來使得Rts Matrix可以結(jié)合，公式為：
Rotate Matirx in left hand coordinate
$\left[ \begin{matrix} x'\\ y' \\ 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} cosθ & sinθ & 0 \\ -sinθ & cosθ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] * \left[ \begin{matrix} x\\ y \\ 1 \end{matrix} \right]$

Scale Matirx in left hand coordinate
$\left[ \begin{matrix} x' \\ y' \\ 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} R_x & 0 & 0 \\ 0 & R_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] * \left[ \begin{matrix} x\\ y \\ 1 \end{matrix} \right]$

齊次坐標(biāo)除了方便用于進行仿射（線性）幾何變換以后。它還能夠能夠用來明確區(qū)分向量和點。

向量v是矢量，它沒有平移的概念，通過齊次坐標(biāo)的N+1維 = 0，使得它無法完成平移操作，但是仍然可以受到RS Matrix影響。
$\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ 0 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & T_x \\ 0 & 1 & T_y \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] * \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ 0 \end{matrix} \right]$

點P的齊次坐標(biāo)的N+1維 = 1，這就回答了問題2。

1.3 矩陣運算的左乘和右乘

由于矩陣運算滿足如下規(guī)律：
$(A * B)^T=B^T*A^T$

我們以平移矩陣為例，根據(jù)上述公式可以改寫成如下形式，這就是矩陣左乘：
$\left[ \begin{matrix} x' & y' & 1 \end{matrix} \right ] = \left[ \begin{matrix} x & y & 1 \end{matrix} \right] * \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ T_x & T_y & 1 \end{matrix} \right ]$

我們把向量在左邊的矩陣乘法稱之為：矩陣左乘**
我們把向量在右邊的矩陣乘法稱之為：矩陣右乘**

ps：unity就是基于矩陣右乘的，我們可以通過簡單的創(chuàng)建translate matrix來查看translate系數(shù)的所在位置來推測unity的矩陣是否右乘

     Matrix4x4 m  = Matrix4x4.Translate(new Vector3(5, 6, 7));

左乘和右乘在計算效率上有深入的考量，同時左乘右乘影響著rts矩陣的運算順序，詳情請看下文

1.4 矩陣的存儲方式，行主序&列主序

針對一個特定的矩陣，它在內(nèi)存中的線性存儲的方式有兩種：行主序 & 列主序

$\left[ \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f\\ g & h & i \end{matrix} \right]$

對于一個數(shù)組float[9] array
行主序的存儲方式是：a - b - c - d - e - f - g - h - i
列主序的存儲方式是：a - d - g - b - e - h - c - f - i

ps：unity的matrix4x4就是列主序的，請注意m.xy中x是行位置，y是列位置，他們和行主序列主序無關(guān)

2. 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換

上文講述了在basic coordinate下針對一個點P的Rts Formula，計算結(jié)果一直都在同一個坐標(biāo)系下。

現(xiàn)在我們考慮一個新的問題：

在一個給定的basic coordinate（左手坐標(biāo)系or右手坐標(biāo)系）下有一個點P，計算新的坐標(biāo)系A(chǔ)下的點P'的值

舉個例子，我們提供兩個坐標(biāo)系X''_O'_Y''和X_O_Y，如何計算在X''_O'_Y''坐標(biāo)系下的P''點在X'_O'_Y'中的值呢？

coordinate_world_matrix.png

復(fù)雜的問題簡單化，我們先計算X''_O'_Y''中的P''在X'_O'_Y'中的P'值：

$x'' = R * cosθ_3$ $y'' = R * sinθ_3$

$x' = R * cos(θ_3-θ_2) = R * cosθ_3 * cosθ_2 + R * sinθ_3 * sinθ_2=x''*cosθ_2 + y'' * sinθ_2$ $y' = R * sin(θ_3-θ_2) = R * sinθ_3 * cosθ_2 - R * cosθ_3 * sinθ_2=-x''*sinθ_2 + y'' * cosθ_2$

然后，我們在X'_O'_Y'中的點P'計算 X_O_Y的最后結(jié)果P

$x = x' + a$ $y = y' +b$

把上述公式通過矩陣左乘的方式表達：

$\left[ \begin{matrix} x & y & 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} x'' & y'' & 1 \end{matrix} \right] * \left[ \begin{matrix} cosθ & -sinθ & 0 \\ sinθ & cosθ & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] * \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ a & b & 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} cosθ & -sinθ & 0 \\ sinθ & cosθ & 0\\ a & b & 1 \end{matrix} \right]$

通過矩陣的轉(zhuǎn)置計算公式，我們可以得到矩陣右乘的版本:

$\left[ \begin{matrix} x\\ y \\ 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] * \left[ \begin{matrix} cosθ & sinθ & 0 \\ -sinθ & cosθ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] * \left[ \begin{matrix} x''\\ y'' \\ 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} cosθ & sinθ & a \\ -sinθ & cosθ & b \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] * \left[ \begin{matrix} x''\\ y'' \\ 1 \end{matrix} \right]$

通過上述推導(dǎo)結(jié)果，我們能夠觀察到一些坐標(biāo)系變換必須要注意的性質(zhì)：

矩陣的左乘&右乘直接影響了坐標(biāo)系變化下的rotate translate順序。設(shè)X_O_Y是basic coordinate，X''O''Y''是local coordinate，那么上述公式就成了local 2 world coordinate formula，通過矩陣右乘，局部坐標(biāo)系P''變換到P需要先乘Mt，再乘Mr

$P_w = M_t * M_r * P_l$ $P_l = M^{-1}_r * M^{-1}_t * P_w$

從P_local變換到P_world坐標(biāo)系下，可以分成三個步驟：

X''_O'_Y'' 旋轉(zhuǎn)到與X'O''Y'重合 -- 計算P''在X'O''Y'中的值P'
X'_O'_Y' 縮放到與X_O_Y一致
X'_O'_Y' 平移到與X_O_Y重合 -- 計算P'在X_O_Y的值P

unity中g(shù)ame object的transform.rotation是basic coordinate下旋轉(zhuǎn)θ到transform local coordinate的旋轉(zhuǎn)四元數(shù)。

vector3 p' = Matrix4x4.rotate(transform.rotation).multiPoint(p)

注意：如果p是basic coordinate下， p'仍然是basic coordinate下的，上述這樣使用旋轉(zhuǎn)四元數(shù)并不會讓點實現(xiàn)坐標(biāo)系變換

由于在左手坐標(biāo)系下，世界坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)θ的公式已知

$\left[ \begin{matrix} cosθ & sinθ & 0 \\ -sinθ & cosθ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] = transform.rotation$

將上述公式帶入坐標(biāo)系變換公式，就可以得到
$\left[ \begin{matrix} x\\ y \\ 1 \end{matrix} \right] = transform.position * transform.rotation * \left[ \begin{matrix} x''\\ y'' \\ 1 \end{matrix} \right]$

所以給定一個transform和基于這個transform的local coordinate點P，計算這個P在世界坐標(biāo)系的代碼為：

  protected Vector3 Coordinate2World(Transform a, Vector3 a_local_p)
  {
    // transform.rotation equals FromToRotation(Vector3.forward, a.forward)
    //Quaternion q = Quaternion.FromToRotation(Vector3.forward, a.forward);
    //Matrix4x4 m_q = Matrix4x4.Rotate(q);

    Matrix4x4 m_q = Matrix4x4.Rotate(a.rotation);
    Matrix4x4 m_t = Matrix4x4.Translate(a.position);

    return (m_t * m_q).MultiplyPoint(a_local_p);
  }

這個旋轉(zhuǎn)應(yīng)用于一些特殊的向量就會有特殊的幾何意義，比如vector.forward使用下面的代碼

vector3 v' = Matrix4x4.rotate(transform.rotation).multiVector(v)

得到的V'就是local coordinate下vector.forward在basic coordinate中的值

矩陣右乘的local coordinate <--> world coordinate matrix & 中，矩陣的相關(guān)位置對應(yīng)著相應(yīng)的功能，旋轉(zhuǎn)&縮放相關(guān)的參數(shù)為R，平移相關(guān)的參數(shù)為T

$\left[ \begin{matrix} R & R & T \\ R & R & T \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] * \left[ \begin{matrix} x\\ y \\ 1 \end{matrix} \right ]$

矩陣右乘 --- 在local to world matrix中，T = obj.position - vector3.zero = obj.position = vec2(m02, m12)
矩陣右乘 --- 在world to local matrix中，T = -obj.position + vector3.zero = -obj.position = vec2(m02, m12)

小提示：由于unity是使用矩陣右乘的，我們在shader中可以很方便的在unity_ObjectToWorld獲取物體的world position。

float4 worldCoord = float4(unity_ObjectToWorld._m03, unity_ObjectToWorld._m13, unity_ObjectToWorld._m23, 1);

設(shè)X_O_Y和X''_O'_Y''都是local coordinate，這樣我們就得到了一個廣義的旋轉(zhuǎn)矩陣推導(dǎo)，同時回答了第二章一開始提出的問題

在一個給定的坐標(biāo)系A(chǔ)（左手坐標(biāo)系or右手坐標(biāo)系）下有一個點P，計算新的坐標(biāo)系B下的點P'的值

從上文可以得到坐標(biāo)系變換的頭一步需要將 X''_O'_Y'' 的P''點變換到一個虛擬的坐標(biāo)系X'O''Y'下，這一步需要X'O''Y'下旋轉(zhuǎn)角度θ到X''_O'_Y'' 的矩陣和translate(O''_inworld - O'_inworld)，計算代碼如下：

  protected Vector3 Coordinate2Coordinate(Transform a, Vector3 a_local_p, Transform b)
  {
    Quaternion q = Quaternion.FromToRotation(b.forward, a.forward);

    Matrix4x4 m_q = Matrix4x4.Rotate(q);
    Matrix4x4 m_t = Matrix4x4.Translate(a.position - b.position);

    return (m_t * m_q).MultiplyPoint(a_local_p);
  }

3. 總結(jié)

上文中的公式推導(dǎo)都是基于二維坐標(biāo)系的，但是RTS的順序，坐標(biāo)系變換原理都是一樣的，所有的rts變換在計算目標(biāo)不同的時候公式是不同的。

在baisc coordinate下對P點進行旋轉(zhuǎn)，平移，縮放得到的結(jié)果P'仍然是在basic coordinate中，而basic coordinate下有點P，獲取local coordinate的坐標(biāo)P'是另外一回事，不要搞混了。

下一篇文章會仔細推導(dǎo)一下三維坐標(biāo)系的rts矩陣，和上述兩種情況下的計算公式。

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特效筆記 -- 搞定坐標(biāo)系變換_左乘_右乘_行主序_列主序的倒數(shù)第二篇文章

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前言

左手坐標(biāo)系&右手坐標(biāo)系

定義左右手坐標(biāo)系的作用：

1. 點，向量，齊次坐標(biāo)

1.1 二維坐標(biāo)系的Rotate Translate Scale Formula

1.2 二維坐標(biāo)系的Rotate Translate Scale Matrix

1.3 矩陣運算的左乘和右乘

1.4 矩陣的存儲方式，行主序&列主序

2. 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換

3. 總結(jié)

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前言

左手坐標(biāo)系&右手坐標(biāo)系

定義左右手坐標(biāo)系的作用：

1. 點，向量，齊次坐標(biāo)

1.1 二維坐標(biāo)系的Rotate Translate Scale Formula

1.2 二維坐標(biāo)系的Rotate Translate Scale Matrix

1.3 矩陣運算的左乘和右乘

1.4 矩陣的存儲方式，行主序&列主序

2. 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換

3. 總結(jié)

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1. 點，向量，齊次坐標(biāo)

1.4 矩陣的存儲方式，行主序&列主序

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