數(shù)學(xué) | 泰勒級(jí)數(shù)

泰勒級(jí)數(shù)：只要一個(gè)函數(shù)無(wú)窮光滑，那么泰勒級(jí)數(shù)就存在，但是不一定收斂，而且即使收斂，也不一定收斂于原函數(shù)。

泰勒公式：就是會(huì)有余項(xiàng)，多用在極限計(jì)算和中值定理，應(yīng)用的條件只要函數(shù)在待考察的區(qū)間上有n+1階導(dǎo)數(shù)，就有

（拉格朗日余項(xiàng)），這個(gè)的成立與否不需要考慮自變量的取值問(wèn)題

泰勒展開式：泰勒展開式的方向是從函數(shù)變成級(jí)數(shù)，而且要求級(jí)數(shù)必須收斂，并且必須收斂于被展開函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)所取到的函數(shù)值。所以會(huì)有收斂域

泰勒級(jí)數(shù)定義

如果 f(x) 在點(diǎn) x=x_0

具有任意階導(dǎo)數(shù)，則冪級(jí)數(shù)


稱為f(x) 在點(diǎn)x_0處的泰勒級(jí)數(shù)。

泰勒公式定義

若函數(shù) f(x) 在包含 x_0的某個(gè)閉區(qū)間[a, b]上具有n階導(dǎo)數(shù)，且在開區(qū)間(a, b)上具有(n+1)階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)閉區(qū)間[a, b]上任意一點(diǎn) x，成立下式：

R_n(x) 是泰勒公式的余項(xiàng)

泰勒展開式定義

這個(gè)會(huì)有收斂區(qū)間，這個(gè)就是其和泰勒公式的區(qū)別，比如ln(1+x)

在其定義域內(nèi)泰勒公式都成立，但是泰勒展開式卻只有在(-1,1]

內(nèi)成立，這就是區(qū)別，可以說(shuō)在收斂區(qū)間內(nèi)兩個(gè)是一致，但是不在收斂區(qū)間時(shí)就不一定了。泰勒級(jí)數(shù)可以說(shuō)只是代表一種計(jì)算方式。

所以這三種是有很大區(qū)別的，別再傻傻分不清了

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