人類文明經(jīng)過數(shù)萬年的發(fā)展，今天的數(shù)學(xué)體系已經(jīng)變得無比地豐富與繁雜。
但是數(shù)學(xué)中有趣的故事，總是以最為簡潔和優(yōu)美的形式出現(xiàn)在數(shù)學(xué)王國的每一個(gè)角落。
比如“楊輝三角”，這個(gè)在初中課本中出現(xiàn)過的小故事，卻是流傳于數(shù)學(xué)史上的不老傳說。這到底是怎么回事呢？
還得從賈憲那本《黃帝九章算經(jīng)細(xì)草》說起。
賈憲生于北宋，他撰寫的這本書中記載了一個(gè)神秘的“三角圖形”，這個(gè)圖形名為“開方作法本源圖”，也就是我們今天所說的“賈憲三角（即楊輝三角）”的核心。
有趣的是，在那個(gè)交通工具極不發(fā)達(dá)的遙遠(yuǎn)古代，在同時(shí)期的地球另一端的波斯學(xué)者卡拉吉，也不約而同地發(fā)現(xiàn)了這個(gè)神秘的三角。
雖然卡拉吉的工作與賈憲幾乎處于同一時(shí)期甚至可能稍早，但賈憲最早給出了完整的圖形和系統(tǒng)的方法。
這個(gè)三角在今天之所以被更廣泛地稱為“楊輝三角”，是因?yàn)橘Z憲的原著《黃帝九章算經(jīng)細(xì)草》已經(jīng)失傳。
南宋末年的數(shù)學(xué)家楊輝，在他的著作《詳解九章算法》中，收錄并詳細(xì)地解釋了“開方作法本源圖”，明代以后的學(xué)者，在學(xué)習(xí)這個(gè)三角時(shí)，讀到的都是楊輝的書，所以人們稱之為“楊輝三角”。楊輝在他的書中明確地說明了這個(gè)方法來自于賈憲。
“楊輝三角”為何有如此迷人的魅力？那是因?yàn)樗暮诵氖恰敖M合數(shù)”。
那么，“組合數(shù)”到底是怎么一回事呢？
“組合數(shù)”可以寫成C（n，k），它的意思是從n個(gè)不同元素中任意取出 k 個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)。
如果我們規(guī)定楊輝三角的行數(shù)和列數(shù)都從0開始計(jì)數(shù)，那么第n行第k個(gè)數(shù)字的數(shù)值，恰好等于從n個(gè)不同元素中取出k個(gè)的組合數(shù) C(n, k)。
“組合數(shù)”作為“組合數(shù)學(xué)”這一現(xiàn)代數(shù)學(xué)重要分支的基礎(chǔ)，在概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等諸多領(lǐng)域，甚至在群論、矩陣、微積分等領(lǐng)域都有它的身影。
第一，與“概率論”的關(guān)系
1655年，帕斯卡在一篇論文里提出并系統(tǒng)地探討了這個(gè)三角的“組合數(shù)學(xué)”的性質(zhì)，并且第一次與“概率論”進(jìn)行了深刻的聯(lián)系。
由于帕斯卡在西方的巨大影響力，所以在西方世界里，這個(gè)三角又稱為“帕斯卡三角”。
在“組合數(shù)學(xué)”中，楊輝三角的第n行第k個(gè)數(shù)，正好等于從(n-1)個(gè)不同元素中取出(k-1)個(gè)的組合數(shù)，即 C(n-1, k-1)。
而在“概率論”中，比如拋4次硬幣，得到2正2反的情況有6種（對應(yīng)三角第5行的中間數(shù)6），概率是6/16。
第二，與微積分的關(guān)系
“楊輝三角”是二項(xiàng)式系數(shù)的一種“三角形”排列方式。
牛頓將“二項(xiàng)式定理”(a+b)^n的n擴(kuò)展到“任意有理數(shù)指數(shù)”后，從而發(fā)展出“二項(xiàng)級數(shù)。
這一突破使得許多函數(shù)（如(1+x)^α）能夠表示為冪級數(shù)，這為他后來系統(tǒng)地創(chuàng)立微積分學(xué)（特別是在函數(shù)的近似、求導(dǎo)和積分方面）提供了至關(guān)重要的代數(shù)工具。
在微積分中，萊布尼茨公式用于求兩個(gè)“函數(shù)乘積”的 n 階導(dǎo)數(shù)，而該公式的系數(shù)恰好對應(yīng)“楊輝三角”的第 n 行，進(jìn)一步體現(xiàn)了“二項(xiàng)式系數(shù)”在微積分中的直接應(yīng)用。
18 世紀(jì)早期，數(shù)學(xué)家們在牛頓與萊布尼茨的基礎(chǔ)上，開始探索“函數(shù)的級數(shù)”展開。
英國數(shù)學(xué)家泰勒于 1715 年發(fā)表《正的和反的增量方法》，提出“泰勒級數(shù)”。
在泰勒級數(shù)中，許多函數(shù)的“冪級數(shù)”展開會涉及“組合數(shù)”或“階乘”，而“廣義二項(xiàng)式定理”可視為“泰勒級數(shù)”的一個(gè)特例。二者均為更一般的“冪級數(shù)”展開理論中的特殊形式。
第三，與矩陣的關(guān)系
在“線性代數(shù)”中，“矩陣”是“離散數(shù)學(xué)”和“線性變換”的核心工具。
而數(shù)學(xué)中非常有趣的“帕斯卡矩陣”，它的元素直接取自“楊輝三角”。
在矩陣?yán)碚撝?，存在一種特殊的“帕斯卡矩陣”，其元素直接取自楊輝三角。通過研究這類矩陣，我們可以從“線性代數(shù)”的全新視角來理解和生成楊輝三角中的“組合序列”。
第四，與群論的關(guān)系
在群論中，所研究的是“對稱性”和“抽象代數(shù)”結(jié)構(gòu)。
在“對稱群” Sn 的“表示理論”中，“不可約”表示的“維數(shù)”恰好等于將整數(shù) n 拆分成“不同分拆”的“方法數(shù)”。而這些“分拆數(shù)”可以通過楊輝三角的某種“變體”或“推廣”來研究和計(jì)算。
當(dāng)我們在“素?cái)?shù) p 的模運(yùn)算”下觀察楊輝三角（即盧卡斯定理）時(shí)，它會呈現(xiàn)出規(guī)則的“分形結(jié)構(gòu)”（謝爾賓斯基三角形）。這個(gè)結(jié)構(gòu)深刻地聯(lián)系著 “p-群”等代數(shù)概念。
第五、對未來的展望
直到今天，數(shù)學(xué)家們?nèi)栽谕诰驐钶x三角的深層性質(zhì)。
在量子力學(xué)中的“伊辛模型”中，每個(gè)粒子可以處于“向上”或“向下”態(tài)。在 n個(gè)粒子中，恰好有 k 個(gè)粒子向上的狀態(tài)有多少個(gè)？答案就是組合數(shù) C(n, k)，也就是“楊輝三角”第 n 行的第 k 個(gè)數(shù)字。
在弦理論中，“組合數(shù)學(xué)”和“二項(xiàng)式系數(shù)”作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的一部分，在將來，也許會在復(fù)雜的計(jì)算中作為結(jié)果出現(xiàn)。
