前些天，又看了看高等數(shù)學極限一節(jié)兒，心中疑惑很多。

ha?無窮小

究竟什么是無窮小....比如上面這種。

后來，理清了思路，逐漸發(fā)現(xiàn)，無窮小只是一個工具而已，它的本質(zhì)上還是和泰勒公式的展開式有關(guān)。我們平時用它主要為了好算極限而已。

ha

這個咋來的呢，同濟版高數(shù)上并沒有明說，emmm，于是我用計算繪了個圖，試圖找出不能說的秘密。

原圖

原圖放大了一點點

emmm，主要用小矩形數(shù)量足夠多，那么total area of rects 就會更精確，不清楚這個的可以看看微元法。

當我用無數(shù)個小矩形的面積來表示，這個函數(shù)所圍成的面積時，其中的小矩形面積就會趨于非常小(無窮小)，但是還是不為零

由此可推出:無數(shù)個無窮小量的和不一定是無窮小，

無窮小量是表示一種趨勢，趨于0的一個東西，那么就有快慢大小程度之分啦。

所以，比較無窮小時，一般不會用加減乘，這個真的看不出來無窮小變化的快慢，由此引導(dǎo)出高階無窮小，等價無窮小之類的概念。

那么最關(guān)鍵的問題是，哪兒來的那些等價無窮小呢，emm，一般的似乎說，可以證明的，那么

ha,e

這個又該怎么證明呢。

所以，學的還不夠嘛?？纯刺├照归_式。泰勒公式是一個用函數(shù)在某點的信息描述其附近取值的公式，也就是說可以吧無理函數(shù)變?yōu)橛欣砗瘮?shù)的形式。

泰勒展開式

展開式

O(x^3) 所以這時候的用等價無窮小減法的確是不行的嘛。

從這個式子也可以看出，等價無窮小，當分子分母次數(shù)，即同階時，是可以相加減的。因為最終計算結(jié)果是對的＜（＾－＾）＞。

這種

現(xiàn)在再看看這個百度的定義，是不是理解更深了。

無窮小量是數(shù)學分析中的一個概念，在經(jīng)典的微積分或數(shù)學分析中，無窮小量通常以函數(shù)、序列等形式出現(xiàn)。 [1] 無窮小量即以數(shù)0為極限的變量，無限接近于0。

總結(jié)：

等價無窮小是個計算極限的好工具，它是泰勒展開式的最簡形式，當式子，分子分母為同階時，是可以替代的；

如果不怎么確定極限，可以用泰勒展開式來試試的。

code:https://github.com/Jiangjao/python_learn_demo/blob/master/%E5%BE%AE%E7%A7%AF%E5%88%86

部分圖片來源：百度

其他參考：簡書,知乎,wiki-無窮小，同濟版高數(shù)二

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