Lambek-Moser定理

該定理由J·拉姆貝克(Lambek)與L·莫斯?fàn)?Leo Moser)提出

我們將滿足

? ??????(i){an}∪{bn}=N+　

? ??????　(ii){an}∩{bn}=?

的兩數(shù)列{an}和{bn}稱為互補(bǔ)數(shù)列

對于互補(bǔ)數(shù)列，有如下的：

? ??????Lambek—Moser定理

????????設(shè)f(n) 是一個N+→N+ 的不減函數(shù)。定義f?(n)=|{k|f(k)<n}|,其中|Z|表示集合Z中元素的個數(shù)。記F(N+)和G(N+)分別為函數(shù)F(n)=f(n)+n和G(n)=f?(n)+n的值域。則F(N+) 與G(N+)是互補(bǔ)的.

證明:??沒有學(xué)到…現(xiàn)在還不會證這種鬼東西... 以后再填坑（來自學(xué)生狗的無奈qwq……）

例1:

求證：在正整數(shù)序列中，刪去所有完全平方數(shù)后，第n項(xiàng)等于n+[√n+1/2].其中[x]表示不超過x的最大整數(shù).(第27屆普特南數(shù)學(xué)競賽）

（我不清楚標(biāo)準(zhǔn)答案是什么，但我自己瞎搞搞出來一個...）

證明：

????????令F(n)=n+[√n+1/2]

? ??????G(n)=n2=n+n(n?1)

則根據(jù)原命題，知:

????????F(n)的值域F(N+) 與G(n)的值域G(N+) 互補(bǔ).

考慮構(gòu)造函數(shù):

???????F(n)=n+[√n+1/2]

???????g(n)=n(n?1)

由Lambek-Moser定理,

原命題等價(jià)于求證:

????????g(n)=n(n?1)=|{k|f(k)<n}|

????????考慮maxk使得f(k)<n

????????則[√k+12]<n

? ??????　　√k</p><p>? ??????<img class=

????????得k<=n2?n

????????所以|{k|f(k)<n}|=n(n?1)

證畢.

例2:

刪去正整數(shù)數(shù)列1,2,3,???1,2,3,···中的所有完全平方數(shù)，得到一個新數(shù)列，這個新數(shù)列的第20032003項(xiàng)是（?。?/p>

(A)?20462046?(B)?20472047?(C)?20482048?(D)?20492049

（20032003，全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）

解：

(I)?直接運(yùn)用例11證明出的公式 令n=2003,便得到

? ??????2003+[√2003+12]=2048

(II)直接暴力，由452=2025,462=2116,得

????????第1981項(xiàng)為2026,第2069項(xiàng)為2115

所以第2003項(xiàng)為2048

（第一篇就寫寫數(shù)學(xué)吧qwq...）

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