姓名：崔升? ? 學(xué)號：14020120005
轉(zhuǎn)載自：http://www.cnblogs.com/en-heng/p/5965438.html
【嵌牛導(dǎo)讀】：SVM（Support Vector Machines）是分類算法中應(yīng)用廣泛、效果不錯的一類。《統(tǒng)計學(xué)習(xí)方法》對SVM的數(shù)學(xué)原理做了詳細(xì)推導(dǎo)與論述，本文僅做整理。由簡至繁SVM可分類為三類：線性可分（linear SVM in linearly separable case）的線性SVM、線性不可分的線性SVM、非線性（nonlinear）SVM。
【嵌牛鼻子】：經(jīng)典大數(shù)據(jù)算法之SVM簡單介紹
【嵌牛提問】：SVM是一種怎么的算法，三種SVM分別是什么？
【嵌牛正文】：
1. 線性可分
對于二類分類問題，訓(xùn)練集T={(x1,y1),(x2,y2),?,(xN,yN)}T={(x1,y1),(x2,y2),?,(xN,yN)}，其類別yi∈{0,1}yi∈{0,1}，線性SVM通過學(xué)習(xí)得到分離超平面（hyperplane）:
w?x+b=0w?x+b=0
以及相應(yīng)的分類決策函數(shù)：
f(x)=sign(w?x+b)f(x)=sign(w?x+b)
有如下圖所示的分離超平面，哪一個超平面的分類效果更好呢？
直觀上，超平面B1B1的分類效果更好一些。將距離分離超平面最近的兩個不同類別的樣本點稱為支持向量（support vector）的，構(gòu)成了兩條平行于分離超平面的長帶，二者之間的距離稱之為margin。顯然，margin更大，則分類正確的確信度更高（與超平面的距離表示分類的確信度，距離越遠(yuǎn)則分類正確的確信度越高）。通過計算容易得到：
margin=2∥w∥margin=2‖w‖
從上圖中可觀察到：margin以外的樣本點對于確定分離超平面沒有貢獻(xiàn)，換句話說，SVM是有很重要的訓(xùn)練樣本（支持向量）所確定的。至此，SVM分類問題可描述為在全部分類正確的情況下，最大化2∥w∥2‖w‖（等價于最小化12∥w∥212‖w‖2）；線性分類的約束最優(yōu)化問題：
minw,b12|w|2s.t.yi(w?xi+b)?1≥0(1)(2)(1)minw,b12|w|2(2)s.t.yi(w?xi+b)?1≥0
對每一個不等式約束引進(jìn)拉格朗日乘子（Lagrange multiplier）αi≥0,i=1,2,?,Nαi≥0,i=1,2,?,N；構(gòu)造拉格朗日函數(shù)（Lagrange function）：
L(w,b,α)=12|w|2?∑i=1Nαi[yi(w?xi+b)?1](3)(3)L(w,b,α)=12|w|2?∑i=1Nαi[yi(w?xi+b)?1]
根據(jù)拉格朗日對偶性，原始的約束最優(yōu)化問題可等價于極大極小的對偶問題：
maxαminw,bL(w,b,α)maxαminw,bL(w,b,α)
將L(w,b,α)L(w,b,α)對w,bw,b求偏導(dǎo)并令其等于0，則
?L?w=w?∑i=1Nαiyixi=0?w=∑i=1Nαiyixi?L?b=∑i=1Nαiyi=0?∑i=1Nαiyi=0?L?w=w?∑i=1Nαiyixi=0?w=∑i=1Nαiyixi?L?b=∑i=1Nαiyi=0?∑i=1Nαiyi=0
將上述式子代入拉格朗日函數(shù)(3)(3)中，對偶問題轉(zhuǎn)為
maxα?12∑i=1N∑j=1Nαiαjyiyj(xi?xj)+∑i=1Nαimaxα?12∑i=1N∑j=1Nαiαjyiyj(xi?xj)+∑i=1Nαi
等價于最優(yōu)化問題：
minαs.t.12∑i=1N∑j=1Nαiαjyiyj(xi?xj)?∑i=1Nαi∑i=1Nαiyi=0αi≥0,i=1,2,?,N(4)(5)(6)(4)minα12∑i=1N∑j=1Nαiαjyiyj(xi?xj)?∑i=1Nαi(5)s.t.∑i=1Nαiyi=0(6)αi≥0,i=1,2,?,N
線性可分是理想情形，大多數(shù)情況下，由于噪聲或特異點等各種原因，訓(xùn)練樣本是線性不可分的。因此，需要更一般化的學(xué)習(xí)算法。
2. 線性不可分
線性不可分意味著有樣本點不滿足約束條件(2)(2)，為了解決這個問題，對每個樣本引入一個松弛變量ξi≥0ξi≥0，這樣約束條件變?yōu)椋?/p>
yi(w?xi+b)≥1?ξiyi(w?xi+b)≥1?ξi
目標(biāo)函數(shù)則變?yōu)?/p>
minw,b,ξ12∥w∥2+C∑i=1Nξiminw,b,ξ12‖w‖2+C∑i=1Nξi
其中，CC為懲罰函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)有兩層含義：
margin盡量大，
誤分類的樣本點計量少
CC為調(diào)節(jié)二者的參數(shù)。通過構(gòu)造拉格朗日函數(shù)并求解偏導(dǎo)（具體推導(dǎo)略去），可得到等價的對偶問題：
minα12∑i=1N∑j=1Nαiαjyiyj(xi?xj)?∑i=1Nαi(7)(7)minα12∑i=1N∑j=1Nαiαjyiyj(xi?xj)?∑i=1Nαi
s.t.∑i=1Nαiyi=00≤αi≤C,i=1,2,?,N(8)(9)(8)s.t.∑i=1Nαiyi=0(9)0≤αi≤C,i=1,2,?,N
與上一節(jié)中線性可分的對偶問題相比，只是約束條件αiαi發(fā)生變化，問題求解思路與之類似。
3. 非線性
對于非線性問題，線性SVM不再適用了，需要非線性SVM來解決了。解決非線性分類問題的思路，通過空間變換??（一般是低維空間映射到高維空間x→?(x)x→?(x)）后實現(xiàn)線性可分，在下圖所示的例子中，通過空間變換，將左圖中的橢圓分離面變換成了右圖中直線。
在SVM的等價對偶問題中的目標(biāo)函數(shù)中有樣本點的內(nèi)積xi?xjxi?xj，在空間變換后則是?(xi)??(xj)?(xi)??(xj)，由于維數(shù)增加導(dǎo)致內(nèi)積計算成本增加，這時核函數(shù)（kernel function）便派上用場了，將映射后的高維空間內(nèi)積轉(zhuǎn)換成低維空間的函數(shù)：
K(x,z)=?(x)??(z)K(x,z)=?(x)??(z)
將其代入一般化的SVM學(xué)習(xí)算法的目標(biāo)函數(shù)(7)(7)中，可得非線性SVM的最優(yōu)化問題：
minαs.t.12∑i=1N∑j=1NαiαjyiyjK(xi,xj)?∑i=1Nαi∑i=1Nαiyi=00≤αi≤C,i=1,2,?,N(10)(11)(12)(10)minα12∑i=1N∑j=1NαiαjyiyjK(xi,xj)?∑i=1Nαi(11)s.t.∑i=1Nαiyi=0(12)0≤αi≤C,i=1,2,?,N
4. 參考資料
[1] 李航，《統(tǒng)計學(xué)習(xí)方法》.
[2] Pang-Ning Tan, Michael Steinbach, Vipin Kumar,Introduction to Data Mining.
