在上一篇文章我們推導(dǎo)出了black-scholes方程,然后這是一個(gè)很復(fù)雜的公式,而這一次我們要去解一下一些關(guān)于看漲期權(quán)的實(shí)際的問(wèn)題

首先我們要把解的原理說(shuō)清楚,當(dāng)我們?nèi)ソ鈿W式看漲期權(quán),我們實(shí)際上問(wèn)的一個(gè)問(wèn)題是首先它的看漲期權(quán)隨著時(shí)間演化的那個(gè)動(dòng)力學(xué)方程(black-scholes方程),并且我們的邊界條件也是確定的,學(xué)過(guò)數(shù)學(xué)的我們知道,有數(shù)學(xué)加邊界條件我們就能夠得到現(xiàn)在的值,所以我們現(xiàn)在整體的思想也是這樣,我們需要兩種原料,既要有這樣發(fā)動(dòng)機(jī)是如何運(yùn)作的,然后也要有現(xiàn)在是什么情況推測(cè)出發(fā)動(dòng)機(jī)之后是什么情況.

推理過(guò)程:

1:看漲期權(quán)(call option):u(tx)

2:x:Stock Price

所以在black-scholes方程就可以得到以下的情況:

這時(shí)候的邊界條件是看漲期權(quán)的收益U,首先大家來(lái)思考這樣一個(gè)問(wèn)題:

看漲期權(quán)在他要行權(quán)的前一秒他的價(jià)格應(yīng)該是多少,就是你的收益價(jià)格,因?yàn)槔硇匀藭?huì)在這個(gè)時(shí)候把他換算成收益,但是這時(shí)候如果別人硬是要在此刻買(mǎi)你這張看漲期權(quán)你只會(huì)以你能賺到的收益去賣(mài)掉,所以這時(shí)候看漲期權(quán)的邊界價(jià)格就應(yīng)該是剛才所說(shuō)的收益曲線,所以他的看漲期權(quán)在行權(quán)的哪一個(gè)時(shí)刻T的時(shí)候,他的價(jià)格等于

為了解這個(gè)實(shí)在是太復(fù)雜了,我們要引入一個(gè)擴(kuò)散方程,然后我們?cè)侔堰@個(gè)U拆成幾個(gè)函數(shù)的乘積,然后其中的某一個(gè)函數(shù)滿足擴(kuò)散方程,這些純粹是數(shù)學(xué)技巧,沒(méi)什么好說(shuō)的,

首先我們有一個(gè)函數(shù)y,y是有兩個(gè)變量s和v,他是滿足一個(gè)擴(kuò)散方程:

這是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的擴(kuò)散方程,并且s和v還是兩個(gè)函數(shù),然后我們定義y0和v:

而上邊這個(gè)擴(kuò)散方程實(shí)在是過(guò)于簡(jiǎn)單求解,我們這里直接給出結(jié)果:

而這個(gè)解釋常規(guī)的,現(xiàn)在我們要做一個(gè)很惱人的過(guò)程,而做這個(gè)惱人的過(guò)程有助于化簡(jiǎn)這樣的微分方程,因?yàn)檫@是一個(gè)多元微分,所以我們要反復(fù)化簡(jiǎn).

我們令u(t,x)=f(t)y(s,x),而s是關(guān)于t的函數(shù),v是關(guān)于t,x的函數(shù):

現(xiàn)在我們是想把這個(gè)帶進(jìn)去化簡(jiǎn)出更簡(jiǎn)單的關(guān)于y或者是s和v的微分方程,然后劃到足夠簡(jiǎn)單,然后再帶回去(這個(gè)能夠解出來(lái)),

因?yàn)閯偛诺腷lack-scholes方程是用到了v,s的偏導(dǎo)數(shù),我們便依次為推導(dǎo):

而詳細(xì)的替換過(guò)程實(shí)在是太過(guò)于復(fù)雜,所以只能給出推導(dǎo)的參考文件了:

參考文獻(xiàn):

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