寫在前面
插值問題講的是啥呢？實際上就是求原函數(shù)，但是我們這里只有幾個離散點的值，本章主要研究的就是不同的方法求出不同的插值多項式。

1.1 拉格朗日插值多項式

線性插值：線性插值是最簡單的插值函數(shù)，就是兩點決定一條直線，用兩點式表示了而已。

接下來講一個貫穿整個插值函數(shù)的例題：

現(xiàn)在看這道題可能有點簡單，到了后面再做的時候就明白這道題的霸道啦~

拋物插值：拋物插值就是線性插值的進階版，給出三個點，求出來的插值多項式就是所謂的拋物插值。
從線性插值中推理過來：

那我們再把這個例題掏出來：

很明顯，這個結果比線性插值精度高一些~

一般的：
對于我們的l?:

實際上吧，我覺得這里沒有太大必要這樣表示，但是為了后續(xù)的理解，姑且先記一下叭~繞了個小彎。

1.2 拉格朗日插值多項式余項

啥是余項?
通俗來講，余項就是誤差，所以插值多項式的余項可以表示成：

快看這里的w眼熟不！就是上面那個展開奇奇怪怪的東西~

具體的證明不需要記，但是要記住，余項表達式只有在f(x)的高階導數(shù)存在時才能用。
通常，我們求函數(shù)的n+1階導數(shù)max|f??1(x)| = M???，從而將誤差放縮：

所以，我們直接拿來結果！

• n=1時，即線性插值余項：
  
• n=2時，即拋物插值余項：
  

那我們再把上面那道例題掏出來，這里的運算比較復雜， 考試估計不會這樣，但求誤差估計的方法很典型，看明白就好

這里方法有一個局限性，就是必須要知道導函數(shù)的上界，屬于事前誤差估計，那如果上界不知道呢？

事后誤差估計方法

事后誤差估計是個怎么回事兒呢？通俗來講，就是多算一位，分別把L?和L???的式子算出來，近似相等，可以得到結果和誤差：

1.2 差商

定義： 一階差商就是，函數(shù)值之差比上自變量之差：

性質(zhì)

• K階差商可以表示為f(x0)···f(xk)的線性組合
• 差商與節(jié)點的排列次序無關，具有對稱性

計算：使用差商表最方便

另外還有一個題型無法使用差商表：

這時候要想起來一個和計算有關的性質(zhì)：

則有：

一般這樣的題型求導之后，導數(shù)值都是一個常數(shù)，可以直接計算出結果。

1.3 牛頓插值多項式

實際上牛頓和拉格朗日插值是等價的，拉格朗日插值有高度的對稱性；牛頓插值多項式來自于差商，其意義在于具有承襲性，即增加一項可以從上一項推出來。

Newton插值余項

又雙叒叕掏出來上面那道例題：

在使用Newton插值多項式的時候，先根據(jù)變量值和函數(shù)值計算出差商表，再結合公式帶入即可：

1.4 分段插值

龍格現(xiàn)象：所謂龍格現(xiàn)象，就是當插值多項式的次數(shù)隨著節(jié)點個數(shù)增加時，有可能產(chǎn)生激烈的震蕩從而不符合原函數(shù)。
分段插值：分段插值就是將被插值函數(shù)分成一小段一小段，在每個小段里面逼近，從而達到比較好的效果。

1.4.1 分端Lagrange插值

分段線性插值：將一個區(qū)間化為n個小區(qū)間，記h是所有區(qū)間長度的最大值，則Ih在[a,b]上連續(xù)、存在且在每一段上都是線性多項式，即為分段線性差值函數(shù)。

實際上就是在每個小區(qū)間上的折線，可以用拉格朗日插值多項式表示：

重點要記一下余項的算法：

分段線性插值：

分段二次插值：

1.4.2 分段Hermit插值

為了克服拉格朗日插值中，分段點處不可導的問題

這邊的證明太太太長了，我們記幾個關鍵的公式即可：

三次Hermit插值公式：

其中的四個式子就是三次Hermit插值基函數(shù)

還是用一道例題熟悉吧

方法一：基函數(shù)法

方法二：待定系數(shù)法

我覺得待定系數(shù)好理解一點emm

1.5 樣條函數(shù)

樣條函數(shù)的特點是。充分光滑，即導數(shù)連續(xù)；又有一定的間斷性，即分段的特性。

三次樣條插值

計算三次樣條函數(shù)時，需要的邊界條件：

• 端點處的一階導數(shù)：
• 端點處的二階導數(shù)：
  當二階導數(shù)的兩端點值都為0時，稱為自然邊界條件，樣條函數(shù)稱為自然樣條函數(shù)
• 若f(x)是周期函數(shù)，且xn-x0是一個周期，則要求S(x)也是周期函數(shù)：

整個例題理解一下：

這種題的解法圍繞定義下手，S(x)需滿足在作用域內(nèi)二階連續(xù)可導，且一階和二階導函數(shù)連續(xù)，帶入即可。

接下來講講三次樣條插值函數(shù)的計算方法

三轉(zhuǎn)角方法（題目中給的是端點一階導數(shù)）：
具體的公式推導實在太麻煩，直接上干貨，先記幾個公式：

這是由分段Hermit推來的式子，放在這幫助理解

其中h是劃分每一段的長度，為簡便計算，引入三個已知量：

這里的mi是樣條函數(shù)的一階導數(shù)，結合上面三個式子，就能得到mi

還是整個例題看看吧：

這里把區(qū)間分成三份，首先計算λ、μ、g，由公式代入可得：

這里不要被那個矩陣唬住了，想不明白為什么就帶入上面公式的最后一個求mi，通過λ、μ、g解二元一次方程組。

三彎矩方法（題目中給了端點的二階導數(shù)）
記Mi為S的二階導數(shù)，則有：

再次引入λi、μi、di：

從而求解Mi：

再來個類似的例題：

同樣分為三份區(qū)間，帶入公式：

1.6 數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法

這里就不過多證明，直接上例題尋找考點吧

解法過程如下：

• 先描點畫一個大概的草圖，判斷函數(shù)的次數(shù)，本題可以看出是一次
• 用冪函數(shù)擬合曲線，即用g(x) = 1+x+x2+x3+····作為擬合多項式
• 結合給出的離散數(shù)據(jù)寫出向量，然后兩兩做內(nèi)積
  
  其中系數(shù)分別為φ0和φ0內(nèi)積=8，φ0和φ1內(nèi)積=4、φ1和φ1內(nèi)積44，φ0和f內(nèi)積=3.9，φ1和f內(nèi)積=46

再來一個題型：

這個題型的主要方法就是，把解方程組，轉(zhuǎn)化為求G(x,y)的最小值，即每一項都為零的時候成立，進一步轉(zhuǎn)化成求偏導：

最終求得的是近似解而非精確解。

習題

1.插值多項式的次數(shù)與插值節(jié)點的個數(shù)有關系。正確
2.若n+1個插值節(jié)點互不相同，則滿足插值條件且不大于n次的插值多項式唯一存在。
3.拉格朗日插值基函數(shù)滿足插值條件，lk(xi)= a,(i=k); lk(xi)= b,(i≠k)。則a=1，b=0。
4.用拉格朗日插值法求插值多項式就是對應節(jié)點xk的基函數(shù)lk(x)與相應節(jié)點函數(shù)值yk乘積之和。正確
5.插值多項式余項中的ζ與x無關。錯誤

1.Newton插值法的插值基函數(shù)既有與節(jié)點相關又有升冪的特點，從而改進了拉格朗日插值不具有繼承性的不足。正確
2.差商f[x0,x1,x2] = f[x1,x0,x2] = f[x1,x2,x0]。正確
3.插值節(jié)點從x0到xn，對節(jié)點重新排列之后，對應的Newton插值是否相等？相等
4.n+1個節(jié)點的拉格朗日插值多項式與牛頓插值多項式只是表現(xiàn)形式不同，實質(zhì)上是等價的。正確
5.Newton插值多項式中，每增加一個插值節(jié)點，所有的差商值都需要重新計算。錯誤

1.Runge現(xiàn)象產(chǎn)生的原因是插值節(jié)點不多。錯誤
2.插值多項式的余項隨著節(jié)點的增多而在某些點可能產(chǎn)生激烈的震蕩
3.分段線性插值克服了高次插值多項式誤差可能產(chǎn)生震蕩的不足，但分段線性插值函數(shù)在整個插值區(qū)間上只能保證連續(xù)，但不連續(xù)可導。
4.三次樣條插值函數(shù)S(x)是分段函數(shù)。
5.三次樣條插值要求插值函數(shù)在整個插值區(qū)間上都是三階連續(xù)可導。錯誤
6.已知相同的離散數(shù)據(jù)，插值和逼近(擬合)可獲得相同的函數(shù)表達式。錯誤
7.用最小二乘法進行數(shù)據(jù)擬合時，獲得的正則線性方程組的系數(shù)矩陣是對稱矩陣。正確

書后題：

后記
這一章太難了，太難了，加油兄弟們