前幾天遇到這么一道題，挺有趣的，分享給大家：

題目：

截圖

題目的意思是：對于3的整除性，任何一個(gè)整數(shù)，如果各個(gè)位數(shù)相加能被3整除，那么這個(gè)數(shù)就能被3整除；對于11的整除性，任何一個(gè)整數(shù)，從右數(shù)每隔兩位作為一個(gè)兩位數(shù)進(jìn)行分割，如果各個(gè)兩位數(shù)相加能被11整除，那么這個(gè)數(shù)就能被11整除；是否所有的非2,5的素?cái)?shù)p，都存在這樣偏移位數(shù)r，使得分割后的數(shù)字之和能被p整除。

例如：
112321對11的整除性，
11+23+21 = 55
能被 55能被11整除，那么112321就能被11整除

很容易推導(dǎo)出下面公式：

任意整數(shù)X，可以表示為：
X = a₀ + 10^r * a₁ + 10^2r * a₂ + 10^3r * a₃······
= a₀ + a₁ + a₂ + a₃·····+(10^r-1) * a₁+(10^r-1) *(10^r+1) * a₂ +(10^r-1) *(10^2r+10^r+1) * a₂······
其中a_n為r位整數(shù)。若(10^r-1) 和( a₀ + a₁ + a₂ ···)能被p整除，那X就能被p整除。

引入（純循環(huán)小數(shù)）規(guī)律一：

假設(shè) 1/p為純循環(huán)小數(shù)
1/p = k*(1/10ⁿ+1/10²ⁿ+1/10³ⁿ·····)
其中n為循環(huán)節(jié)長度;k是循環(huán)節(jié),為n位整數(shù)。
=> (10ⁿ - 1) 1/p = k
=> (10ⁿ - 1) = pk

引入（非2 5 素?cái)?shù)的倒數(shù)為純循環(huán)小數(shù)）規(guī)律二：

假設(shè)1/p為混循環(huán)小數(shù)
1/p = k(1/10^m+n+1/10^m+2n+1/10^m+3n·····)+t/10^m
其中k為n位整數(shù)，t為m位整數(shù)，k不等于t
化簡得p=10^m(10ⁿ-1)/[k+(10ⁿ-1)t]
可知k只能被(10ⁿ-1)整除，設(shè)k=a*(10ⁿ-1)，帶入
p = 10^m/(a+t)
=>p為素?cái)?shù)只能取2或5
=> 1/p為純循環(huán)小數(shù)，滿足規(guī)律一。

可以得出結(jié)論

非2 5素?cái)?shù)的倒數(shù)，一定存在整數(shù)r 、k，r為循環(huán)節(jié)長度，滿足：
1/p = k/(10^r-1)
=>p*k = 10^r-1
其中k為純循環(huán)小數(shù)循環(huán)節(jié)，長度為r

所以題目轉(zhuǎn)化為求質(zhì)數(shù)p的倒數(shù)的循環(huán)節(jié)長度：

import java.io.InputStreamReader;

/**
 * @author: hyp
 * Date: 2017-12-08
 */
public class Test {
    static class Expression {
        private int numerator;
        private int denominator;
        private int quotient;
        private int remainder;

        public Expression(int numerator, int denominator) {
            this.numerator = numerator;
            this.denominator = denominator;
            calculate();
        }

        private void calculate() {
            this.quotient = numerator / denominator;
            this.remainder = numerator % denominator;
        }

        public Expression next() {
            return new Expression(this.remainder * 10, denominator);
        }

        @Override
        public boolean equals(Object o) {
            if (this == o) return true;
            if (!(o instanceof Expression)) return false;

            Expression that = (Expression) o;

            if (quotient != that.quotient) return false;
            return remainder == that.remainder;
        }

        @Override
        public int hashCode() {
            int result = quotient;
            result = 31 * result + remainder;
            return result;
        }
    }

    public static void main(String[] args) throws java.lang.Exception {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        String input = br.readLine();
        int value = Integer.parseInt(input);
        Expression cirlcePoint = new Expression(10, value);
        Expression point = cirlcePoint;
        int times = 1;
        while (!cirlcePoint.equals(point = point.next()) && times < value) {
            times++;
        }
        System.out.println(times);
    }
}

解決了從小就被告知的，各個(gè)位數(shù)相加和能被3整除那么這個(gè)數(shù)就能被3整除的原理，而且擴(kuò)展到非2 5的所有素?cái)?shù)，是不是很開心呢~~
證明可能有不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牡胤?，希望大家不吝賜教哦~