在別處看到的一個(gè)有意思的問(wèn)題，大致意思是這樣的：

有三個(gè)不透明盒子，1、2、3，其中一個(gè)盒子裝有一百美元，另兩個(gè)是空的。假設(shè)你選擇了1號(hào)盒子，然后通曉一切的上帝告訴你3號(hào)盒子是空的。那么現(xiàn)在，你會(huì)改變你的選擇嗎？

上網(wǎng)一搜，原來(lái)這是著名的Monty Hall problem，也稱三門問(wèn)題。我研究了好半天，一直沒(méi)法沒(méi)轉(zhuǎn)化成概率模型，因此很難用科學(xué)的方法得出結(jié)論。直覺告訴我，選1選2的概率都是50%，然而維基了一下后，發(fā)現(xiàn)掉入陷阱中去了。既然這個(gè)問(wèn)題這么有趣，那么不妨在這里做個(gè)梳理。

方法一：直覺上的方法
上帝的作用是幫你排除掉一個(gè)選項(xiàng)，本來(lái)盒2或3里有美元的概率為2/3，現(xiàn)在3里沒(méi)有，所以盒2里有美元的概率為2/3。

方法二：更加巧妙的直覺
只需理解一下兩件事情的等價(jià)關(guān)系：
if 換了且最后拿到美元，then 盒1里沒(méi)有美元。
if 盒1里沒(méi)有美元， then 換了且最后拿到美元。
根據(jù)等價(jià)性，P(換了且最后拿到美元)=P(盒1里沒(méi)有美元)=2/3

方法三：數(shù)學(xué)方法
先用我所能接受的最正統(tǒng)的方法來(lái)做這道題：
設(shè)X1為事件“選擇盒1”，Y3為事件“上帝選擇盒3”，Hi表示事件“盒i里有一百美元”。
那么P(Hi)=P( Hi | X1)=1/3，這是顯然的。
那么問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求P( H1 | X1, Y3) = ?
很容易想到Bayes法則，即：

那么現(xiàn)在問(wèn)題就是求得P( Y3 | X1, Hi)。這也是問(wèn)題的核心所在。

• P( Y3 | X1, H2)=1
• P( Y3 | X1, H3)=0
• P( Y3 | X1, H1)=1/2

一旦有了P( Y3 | X1, Hi)，答案也有了：
P( H1 | X1, Y3) = 1/3，P( H2 | X1, Y3) = 2/3

換可以有更大機(jī)會(huì)拿到美元。

方法四：編程( R )：
仿照知乎上一位大神運(yùn)用C語(yǔ)言的做法，我用R跑了一遍。代碼和結(jié)果如下：

x<-sample(1:3, 10000, replace=TRUE) #x表示10000次模擬中，美元藏在哪個(gè)盒子里
for(i in 1:10000)
{
if (x[i]==1)
open[i] <- sample(2:3, 1) #當(dāng)1號(hào)盒子里有美元，上帝隨機(jī)打開2或3號(hào)盒子
else if(x[i]==2)#當(dāng)2號(hào)盒子有美元，上帝打開3號(hào)盒子
open[i]<-3
else
open[i]<-2#當(dāng)3號(hào)盒子有美元，上帝打開2號(hào)盒子
}
table(x)[["1"]]/table(open)[["3"]]#求出當(dāng)open3號(hào)盒子情況下，不換且贏的概率

結(jié)果為：

[1] 0.674777

這種方法其實(shí)本質(zhì)上沒(méi)什么優(yōu)越性，只是看著bigger很高。
如此一來(lái)，我就介紹完我知識(shí)范圍內(nèi)的這幾種做法了。